第四章 趋势面分析

地质变量观测值 趋势 随机干扰分量 局部特征(异常 局部特征 异常) 异常 偏差∆Z 偏差 i
因偏差包括了随机干扰， 因偏差包括了随机干扰，若将偏差的正负直接 视为正、负异常区，则会受到随机分量r 的影响， 视为正、负异常区，则会受到随机分量 i的影响， 降低结果的可靠性。 降低结果的可靠性。 异常限时 应该尽量消除或者抑制 确定异常限 确定异常限时，应该尽量消除或者抑制ri 。 15
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海平面
地层层面 构造层层面深度 一次趋势面
Z -1000m
ˆ Z
ˆ ∆z = z − z > 0
-1100m
趋势面深度
∆z(偏差 大于 为局部突起，小于 为局部洼陷 偏差)大于 为局部突起，小于0为局部洼陷 偏差 大于0为局部突起
图4-3 偏差示意图
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图4-4 趋势面与趋势面偏差图
一次
二次
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中划分正异常时， 或 为异常下限 为异常下限， 从∆zi+中划分正异常时，e+ (或2s+)为异常下限， ∆zi+ >异常下限为正异常点 。 异常下限为正异常点 异常下限为 为异常上限， 中划分负异常时， 或 从∆zi-中划分负异常时，e-(或-2s-)为异常上限， 为异常上限 ∆zi- <异常上限为负异常点 。 异常上限为负异常点 异常上限为 根据异常上、下限可以在偏差图上圈出正、负异 根据异常上、下限可以在偏差图上圈出正、 常区，即趋势面异常分布图。 常区， 趋势面异常分布图。 注意：异常限仅仅是一个统计估计值， 注意：异常限仅仅是一个统计估计值，因此它可 统计估计值 以被修正。实际工作中可根据资料情况改变其大小。 以被修正。实际工作中可根据资料情况改变其大小。 一般控制异常点数<总点数的 总点数的20% 。 一般控制异常点数 总点数的
更高次的趋势面方程容易按规律写出。 略 更高次的趋势面方程容易按规律写出。(略) 对于k次多项式，其系数的个数L=(k+1)×(k+2)/2 对于 次多项式，其系数的个数 × 次多项式
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三、趋势面的拟合度 趋势面的拟合度是指观测值与趋势值在总体上 逼近程度。 的逼近程度。记
Q = ∑ ( zi − z ) ;
2tπ x 2kπ y 2tπ x 2kπ y + Ctk sin z = F(x, y) = ∑∑[ Etk cos cos cos L H L H t =0 k =0 2tπ x 2kπ y 2tπ x 2kπ y +Ptk cos sin +Wtk sin sin ] L H L H
r s
20
地层界面的波状起伏、沉积旋回、 地层界面的波状起伏、沉积旋回、地球磁场的 变化等都表现出不严格的周期性重复。因此,调和 变化等都表现出不严格的周期性重复。因此 调和 趋势面有时更有利于把具有波状特征的地质变量 的趋势部分和异常分开,进而研究地质变量的波动 的趋势部分和异常分开 进而研究地质变量的波动 特征。 特征。
方法原理及研究过程与多项式趋势面相同， 方法原理及研究过程与wenku.baidu.com项式趋势面相同 ， 不 付立叶级数。 同之处是数学模型 — 付立叶级数。故仅对作如下 说明： 说明： 一、趋势面分析的功能 调和趋势面分析的数学模型是正弦和余弦函数的 调和趋势面分析的数学模型是正弦和余弦函数的 组合，它具有波动的特征。 组合，它具有波动的特征。
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§ 1 多项式趋势面分析
一、多项式曲面的一般形式 一般形式为： 一般形式为：
z = β1 + β2 x + β3 y + β4 x + β5 xy + β6 y + ⋯ (4-1)
2 2
式中 z —地质变量； 地质变量； 地质变量 x , y —观测点的地理坐标。 观测点的地理坐标。 观测点的地理坐标 若多项式中自变量的最高次数为 最高次数为k， 若多项式中自变量的最高次数为 ，则称这种多 项式为k次多项式 多项式曲面的形态将随着k的 次多项式。 项式为 次多项式。多项式曲面的形态将随着 的 增大而趋向复杂，如图4-2所示 所示。 增大而趋向复杂，如图 所示。
第四章 趋势面分析
§1 多项式趋势面分析 §2 调和趋势面分析(参考内容) §3 趋势面分析应用实例
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引言
某些区域化地质变量，如地层面的深度、 某些区域化地质变量，如地层面的深度、地层 厚度、储层油气粘度和比重、地层水矿化度、 厚度、储层油气粘度和比重、地层水矿化度、油 气地表化探指标等， 气地表化探指标等，均可认为其分布在三维空间 的某个曲面G 上。若已知G，则可根据它来研究这 些地质变量在区域上的分布规律和局部特征。 些地质变量在区域上的分布规律和局部特征。 实际的工作中无法得到准确的G ，但却可以根据 的观测数据： 已知的观测数据：Mi (xi , yi , zi) (i=1,2,…,n)，构造 ， (拟合 一个近似于G 的数学曲面L。一般把这个拟 拟合)一个近似于 拟合 合的曲面L称为趋势面。 称为趋势面 合的曲面 称为趋势面。
( k = 1, 2 , ⋯ , L )
(4-4)
上式中L为多项式系数及常数项的个数。 上式中 为多项式系数及常数项的个数。 为多项式系数及常数项的个数
8
整理后可得： 整理后可得： A⋅ B = C
A = X T X , B = (b1 b2 ⋯bL )T , C = X T Z , Z = ( z1 z2 ⋯ zn )T
3
地质变量的实测数据M 地质变量的实测数据 i (xi , yi , zi) 分布在趋势面 上或趋势面上下，如图4-1所示 所示。 上或趋势面上下，如图 所示。
z
M i ( xi , yi , zi )
∧
M i ( xi , yi , z i )
趋势面
实测点 实测点在趋势面上的投影
y
x
图4-1 趋势面示意图
1
0
k
1 2 3 4
图4-6
方法2：进行 次 次 趋势面分析， 方法 ：进行1次、2次 … 趋势面分析，相应的 拟合度为C1、C2 …。预先给定一个小正数 ,当 。预先给定一个小正数δ 当 Ci+1-Ci<δ时，取Ci对应的 为趋势面的次数。 对应的k为趋势面的次数 为趋势面的次数。 时
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调和趋势面分析(参考内容 参考内容) §2 调和趋势面分析 参考内容
17
40
30
20
10
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80
图4-5 某地质指标正异常分布示意图
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六、关于趋势面的次数选择
C
方法1:进行 次 次 方法 进行1次、2次 … 趋势 进行 面分析,相应拟合度为 相应拟合度为C 面分析 相应拟合度为 1 ,C2…,作 作 图标出点(1,C1),(2,C2),(3,C3)…,连 图标出点 连 接各点构成一条折线,在折线上取 接各点构成一条折线 在折线上取 斜率最大的线段末对应的k为趋 斜率最大的线段末对应的 为趋 势面的次数，如图4-6所示 所示。 势面的次数，如图 所示。
1 1 X= ⋮ 1
x1 ⋮
y1 x12 ⋮ ⋮
x1 y1 ⋮
3 y12 x1 x12 y1 x1 y12
2 2 3 2 2 x2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2
⋮
⋮
⋮
⋮
2 2 3 2 2 xn yn xn xn yn yn xn xn yn xn yn
四、趋势面偏差图
ˆ 偏差: 观测值与趋势值之差， 偏差 观测值与趋势值之差，即 ∆zi = zi − zi ; 趋势面偏差图是以偏差为数据绘制的等值线图 是以偏差为数据绘制的等值线图; 趋势面偏差图是以偏差为数据绘制的等值线图 正偏差区(正剩余区 正残差区): 偏差图上大于0 正剩余区、 正偏差区 正剩余区、正残差区 偏差图上大于 的等值线圈出的区域； 的等值线圈出的区域； 负偏差区(负剩余区 负残差区): 偏差图上小于0 负剩余区、 负偏差区 负剩余区、负残差区 偏差图上小于 的等值线圈出的区域； 的等值线圈出的区域； 偏差的地质解释： 要依据偏差的内涵对异常进 偏差的地质解释 ： 行合理的地质解释。 行合理的地质解释。 利用趋势面分析，可以把地质变量的背景(趋势 趋势) 利用趋势面分析，可以把地质变量的背景 趋势 和与偏差分开，偏差是油气勘探的有用信息。 和与偏差分开，偏差是油气勘探的有用信息。
ˆ = b1 + b2 x + b3 y + b4 x2 + b5 xy + b6 y2 2次趋势面方程 z 次趋势面方程: 次趋势面方程
3次趋势面方程 次趋势面方程: 次趋势面方程
ˆ z = b1 + b2 x + b3 y + b4 x2 + b5 xy + b6 y2 + b7 x3 + b8 x2 y + b9 xy2 + b10 y3
2
趋势面分析就是在空间中已知点 趋势面分析就是在空间中已知点Mi (xi , yi , zi) 的 就是在空间中已知点 控制下，拟合一个连续的数学曲面， 控制下，拟合一个连续的数学曲面，并以此研究 地质变量在区域上和局部范围内变化规律的一种 统计方法。 统计方法。 拟合的数学曲面叫做趋势面。多项式和付立叶 拟合的数学曲面叫做趋势面。 级数是趋势面分析常用的数学模型。 级数是趋势面分析常用的数学模型。 最常用的是多项式趋势面分析。 最常用的是多项式趋势面分析。 多项式趋势面分析
四次
一次偏差
二次偏差
四次偏差
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五、趋势面异常分布图 趋势面异常分布图是根据趋势面偏差值绘制的 图件，它是研究地质变量局部特征的图件。 图件，它是研究地质变量局部特征的图件。其中 偏差的异常限。 的关键是确定偏差的异常限 的关键是确定偏差的异常限。 地质变量的观测值通常由三部分组成， 地质变量的观测值通常由三部分组成，即 z i = u i + v i + ri
个正偏差∆z 简单的处理方法:取m个正偏差 i+的平均值 个正偏差
1 m + + e = ∑ ∆z i m i =1
做为异常限。 做为异常限。 异常限 或取2s+为异常限。其中 +为∆zi+的标准差： 的标准差： 或取 为异常限。其中s
s =
+
1 m + + 2 ∑ ( ∆z i − e ) m − 1 i =1
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确定多项式系数的原则是使
ˆ Q1 = ∑ ( zi − zi ) 2
i =1 n
达到最小(回归分析中的偏差平方和 。 达到最小 回归分析中的偏差平方和)。 回归分析中的偏差平方和
Q1是关于 1, b2, b3,… 的二次函数，且Q1>0，因 是关于b 的二次函数，
此有： 此有：
∂Q1 =0 ∂bk
2 i =1 n
i =1
n
ˆi ) 2 ; Q1 = ∑ ( zi − z
i =1
n
ˆi − z ) 2 ;并且 Q = Q1 + Q2 Q2 = ∑ ( z
定义
Q2 C= ×100% Q
为趋势面的拟合度。拟合度越高， 为趋势面的拟合度。拟合度越高，说明趋势面 拟合度 拟合程度越好。 拟合程度越好。 11
ˆ = b1 + b2 x + b3 y + b4 x2 + b5 xy + b6 y2 +⋯ (4-2) z
代入上式,可得地 把地理坐标 (xi , yi) (i=1,2,…, n )代入上式 可得地 质变量的趋势值： 质变量的趋势值：
ˆi = b1 + b2 xi + b3 yi + b4 xi2 + b5 xi yi + b6 yi2 + ⋯ (4-3) z
5
z k=1
z k=2
z k=3
x y y
x y
x
图4-2 1-3次多项式趋势面示意图 次多项式趋势面示意图
6
二、多项式系数的确定及系数的个数 确定多项式曲面，就是根据观测值M 确定多项式曲面，就是根据观测值 i (xi , yi , zi) 确定多项式中的系数。 (i=1,2,…, n )确定多项式中的系数。 确定多项式中的系数 1. 多项式系数的确定 假设β 的估计值为b 假设 1、β2、β3…的估计值为 1、b2、b3,…则近 的估计值为 则近 似可得多项式趋势面方程： 似可得多项式趋势面方程：
y13 ⋯ 3 y2 ⋯ ⋮ ⋯ 3 yn ⋯
解上述L阶线性方程组，可得 解上述 阶线性方程组，可得b1, b2, … bL， 从 阶线性方程组 而确定趋势面方程。 而确定趋势面方程。
9
2. 多项式系数的个数 1次趋势面方程 z = b1 + b2 x + b3 y 次趋势面方程: ˆ 次趋势面方程
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二、正弦波的调和与叠加