人教版数学高二备课资料构造数列证明不等式

构造数列证明不等式

不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。另外,在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。下面通过举例加以说明构造数列在不等式证明中的应用.

例1.设,,21a a ……，)2(≥

n a n 都大于1-且同号，求证：

)1)(1(21a a ++……+++>+211)1(a a a n ……n a +.

证明：构造数列： =n

x )1)(1(21a a ++……+++-+211()1(a a a n ……)n a + 则 )1)(1(211

a a x x n n ++=-+……11)1(++-+n n n a a a

1+=n a [)1)(1(21a a ++……]1)1(-+n a .)2(≥n 若,2,1(0=>i a i

……)1,+n ，则易知01>-+n n x x ；

若,01<<-i

a 则2,1(110=<+

<<-+n a ，故01>-+n n x x .

因此，对一切,2≥n 有,1n n x x >+但

,01)1)(1(2121212

>=---++=a a a a a a x

所以，对一切,0,22>>≥x x n n

从而原不等式成立.

说明：涉及与自然数有关的不等式的证明时，可以用数学归纳法，但若用构造递增(或递减)数列的方法，有时会更简便一些.

例2：求证：C n 1+C n 2+…+C n n >21-n 2·

n

简析与证明：不等式左边即为 2n －1=

2

121--n

从而联想到等比数列的求和公式，于是左

边=1+2+22+…+ 2 n －

1=2

1[(1+2n-1) + (2+2n-2) + … (2n-1+1)≥21·n ·122-n =21

-n 2·

n 例3：设任意实数a 、b 均满足| a | < 1，| b | < 1 求证：

ab

b a -≥-+-12

111122

简析与证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（| q | < 1）各项和公式S ＝

q a -11，则：2

211

11b

a -+-=（1 + a 2 + a 4 + …）+（1 +

b 2 + b 4 + …）

2

=2+（a2 + b2）+ ( a4 + b4) + …≥2+2ab+2 a2b2 + 2a4b4 + …=

ab

1

小结：从以上几例还可以看出：（1）构造法不仅是证明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函数值域或最值的重要思想方法。（2）运用构造法解题，必须对基础知识掌握的非常熟练，必须有丰富的联想和敢于创新的精神。（3）不时机地运用构造法，定能激发和培养学生的探索精神与创新能力。