线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

、求线性目标函数的取值范围

x _2

例1、若x、y满足约束条件八2 ，则z=x+2y的取值范围是

I

x y -2

（）

A、[2,6]

B、[2,5]

C、[3,6]

D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线丨：x+2y = 0，将

l向右上方平移，过点A （2,0 ）时，有最小值

x=2 2，过点B （2,2 ）时，有最大值6，故选A

、求可行域的面积

2x y -6 一0

例2、不等式组

"2

A、4

B、1

C、5

D、无穷大

如图，作出可行域，△ ABC的面积即为所求，

梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，

三、求可行域中整点个数

例3、满足凶 + |y| < 2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）

A 、9 个

B 、10 个

C 、13 个

D 、14 个

'x + y 兰 2 (x 启 0, y 兰 0)

解：|x| + |y| < 2等价于厂心2

-x + y W2 (x Y 0, y 兰 0)

-x-y_2 (xY 。，yV 。)

作出可行域如右图，是正方形内部(包括边界)

容易得到整点个数为13个，选D

四、求线性目标函数中参数的取值范围

丄x y _ 5

y 满足以下约束条件彳x-y+5E0，使

x 兰3

取得最小值的最优解有无数个，则

解：如图，作出可行域，作直线丨：x+ay = 0，要使目标函数

z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则将I 向右上方

平移后与直线x+y = 5重合，故a=1，选D

五、求非线性目标函数的最值

工2x y - 2 _0

例5、已知x 、y 满足以下约束条件x-2y ，4_0

3x _ y _3 _ 0 大值和最小值分别是()

A 、13， 1

B 、13，2

C 、13， 4

D 、

，二 5 5

例4、已知x 、 z=x+ay(a>0)

的值为 A 、 一 3 B 、 3 C 、 一 1 D 、 1

贝H z=x 2+y 2

的最 3x - y - 3=0 /

、 " 2 2 , , __

解：如图，作出可行域,x +y是点(x, y)到原点的距离的平方，故最大值为点A ( 2,3 )到原点的距离的平方，即|A0| 2=13 ,最小值为原点到直线2x + y —2=0的距离的平方，即为4,选C

5

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x —y + m| v 3表示的平面区域

由右图可知m 3 3,故0v m< 3，选C

-3 cO

七•比值问题

当目标函数形如z=^^时，可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线的斜x -b 率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。

例已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是()

(A) [，6] (B)(—汽]U [6 ,D

(C)(—汽3] U [6 ,D( D) [3，6]

解析是可行域内的点M( x，y)与原点O

(0，0)连线的斜率，当直线OM过点(，)时，取得

最小值；当直线OM过点(1，6)时，取得最大值6.