数学与艺术

数学与艺术 1

少先队员发表于2008-2-28 17:47:00

数学与艺术

1 建筑设计

在古代埃及和巴比伦，新庙址的测量乃是按严格的几何和天文方法进行的，而且是法老和僧侣阶级的特权。因此宗教以及官方建筑都呈现规则的几何形状，而世俗的建筑常常被有意地设计成倾斜的和不规则的。在埃及，几何仪器和基本的几何图形，如犹太人的大卫星形，被看作是神圣的符号而被用作护身符。

古埃及Ramses II（1388-1322BC）与测量女神Seschat用木桩标出新庙址

古埃及墓中的几何仪器形状的护身符

说到古埃及建筑，我们不能不提及金字塔。关于约建成于公元前2575年的吉萨胡夫金字塔，人们至少提出过九种理论对其形状进行解释，其中至少有四种与实

测结果相符。1855年，德国学者洛贝（F. R?ber）最先提出：金字塔的建筑中使用了黄金数。洛贝发现，胡夫金字塔侧面与底面的夹角（51o50￠）

的余割恰好等于黄金数！

古希腊毕达哥拉斯学派发现，音的和谐与弦长的整数比有密切关系：1 : 2、2 : 3和3 : 4分别对应八度、五度和四度音程。有理由相信，这一发现，连同该学派“万物皆数”的信条对于古希腊的建筑产生过深远的影响。让我们来看著名的雅典卫城帕提农神殿的尺寸。神殿台基的长（东西向）为69.5米，宽（南北向）为3 0.9米；圆柱的底径为1.9米，高为10.44米；圆柱中心轴距离为4.29米。不难发现：台基的宽和长之比、圆柱底径与中心轴间距之比、水平檐口高（柱高加上檐部高

3.29米）与台基宽之比均为4: 9！

雅典卫城

帕提农神殿

帕提农神殿平面图

自古希腊以来，规则的几何图形一直都被用来表达美与和谐。希腊语中，“对称”这个术语原来指的就是从一个建筑、一座雕塑或一幅绘画的最小部分到整体的

形状和比例的重复。

在欧洲中世纪，教堂和修道院的建筑都必须符合一定的规则。在这些建筑的设计中，正多边形（尤其是等边三角形、正方形、正六边形和正八边形）占据着统治地位，而修道院的世俗部分则建成倾斜的形状。在Assisi的圣佛朗西斯低教会教堂内由Giotto di Bondone和他弟子所作的一副画显示了分别代表顺从（Obedientia）、谦卑（Humilitas）和智慧（Prudentia）三种德行的人物，人物头上带着正方形和正六边形的光环。在中世纪建筑的几何规则里往往包含象征意义，具有神秘主义色彩。

在古典希腊时期和古罗马时期，建筑师必须同时也是数学家。查士丁尼大帝统治时期（527-565）建成的拜占庭帝国最辉煌的建筑、首都君士坦丁堡的圣索菲亚大教堂即是有两位小亚细亚数学家伊西多鲁洛斯（Isidoros）和安泰缪斯（Anthemius）负责设计的。当时的拜占庭历史学家普洛可比乌斯（Procopieus, 约490～56

2）这样描述该教堂：

圣索菲亚大教堂

“人们觉得自己好像来到了一个可爱的百花盛开的芳草地，可以欣赏到紫色的花、绿色的花；有些是艳红的，有些闪着白光。大自然像画家一样把其余的染成斑驳的色彩。

一个人到这里来祈祷的时候，立即会相信：并非人力、并非艺术，而是只有上帝的恩泽才能使教堂成为这样，他的心飞向上帝，飘飘荡荡，觉得离上帝不远……”

人走进教堂的这种异乎寻常的感受恰恰说明了数学与艺术的神奇力量！

13世纪，神圣罗马帝国皇帝弗雷德里克二世所建造的著名的山城即呈正八棱柱形，而外墙的每一个角上又分别建有一个正八棱柱。从空中拍摄的图形来看，过城堡内八边形的每一边的直线构成一个八角星，八角星的每一个顶点恰恰位于相应角上正八边形的中心；而角上正八边形的朝内的一的顶点正是城堡外八边形的一个顶点。外八边形、内八边形和角上八边形的边长之比为。如果在按同样的方法不断在每一个小八边形外作出八个更小的正八边形，并保留朝外的五个，

那么最后所得的图形乃是一个漂亮的分形图案。

南部意大利Apulia的Monte城堡

分形图案

公元1世纪罗马建筑师维特鲁威（Vitruvius）在所著《建筑十书》（Ten Books on Architecture）中宣扬数学在艺术和建筑中的作用。这部著作对建筑理论和实践的影响一直延续到18世纪末。另一位著名的建筑师帕拉第奥（Palladio）于1570年写道：

“音调的纯粹比例乃是听着和谐，空间的纯粹比例乃是看着和谐。这样的和谐给予我们快乐的感觉；但是除了寻求事物原因者外，没有人知道为什么这样。”

《建筑十书》中米兰大教堂立视图

16世纪著名建筑师Wentzel Jamnitzer发现，正多面体、半正多面体和星形多面体用于建筑设计很吸引人。他曾经总结了120种正多面体的漂亮图案。早在1 8世纪，建筑师Etienne-Louis Boullée就试图将规则几何形状用于建筑中，但直到1928年，才有一座球形建筑在德累斯顿诞生，可惜毁于二战。几何形状还被广泛用

于桥梁建筑、屋顶和墙面上。分形几何诞生必会激发建筑师们新的灵感。

我们非常熟悉某些用于建筑的数学形式，诸如正方形、矩形、锥形和球形等等．但有一些建筑结构却以人们知之甚少的形状设计．一个引人注目的例子便是旧金山圣母玛利亚大教堂所用的双曲抛物面设计．该设计出自P·A·鲁安、J·李以及罗马的工程顾问P·L·奈维、马萨诸塞州工程学院的P·比拉斯奇等人．

在剪彩仪式上，当人们问到对于该教堂米开朗基罗会怎么想时，奈维回答道：“他不可能想到它，这个设计是来自那时尚未证明的几何理论．”

建筑物的顶部是一个2135立方英尺的双曲抛物面体的顶阁，楼面的上方有200英尺上升的围墙，由四根巨大的钢筋混凝土塔支撑着，该塔延伸到94英尺的地下．每座塔重达九百万磅．墙由1680间钢筋混凝土结构的库房组成，含有128种不同的规格．正方形基础的大小为255×255平方英尺．

一个双曲抛物面是抛物面(一条抛物线绕它的对称轴旋转)和一条三维的双曲线的结合．