高等代数北大版教案-第5章二次型

第五章 二次型

§1 二次型的矩阵表示

一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示

二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.

三 教学重点：矩阵表示二次型

四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.

五 教学过程：

定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次

多项式

++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(

+++n n x x a x a 2222222 …2n nn x a + (3)

称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.

例如：23322231212

13423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型.

定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的

一组关系式

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n

nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x

22112222121212121111 (4)

称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.

如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.

二次型的矩阵表示：

令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为

++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(

++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+22211n nn n n n n x a x x a x x a +++

∑∑===n i n

j j i ij x x a 11 (5)

把(5)的系数排成一个n n ⨯矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221

112

11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以

A A ='.

我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.

令⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， ()n x x x AX X 21='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 2122221

11211⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n x x x 21 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221

12222121121211121 ∑∑===n i n

j j i ij x x a 11.

故 AX X x x x f n '=),,,(21 .

显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型

BX X AX X x x x f n '='=),,,(21

且 B B A A ='=',，则，B A =

线性替换的矩阵表示

令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c C 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n y y y 21 或者CY X =.

显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.

设 AX X x x x f n '=),,,(21 ，A A ='， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换

CY X = (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y '.

现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系

把(8)代入(7)有

AX X x x x f n '=),,,(21 ACY C Y CY A CY ''='=)()(BY Y Y AC C Y '=''=)(. 容易看出，矩阵AC C '也是对称的，事实上，

AC C C A C AC C '=''''='')(.

由此，即得

AC C B '=.

定义2 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使

AC C B '=.

合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有

(1)反身性 AE E A '=.

(2)对称性 由 AC C B '=，即得)()(11--'=C B C A .

(3)传递性 由111AC C A '=，2122C A C A '=，即得)()(21212C C A C C A '=.

因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.

§2 标准形

一 授课内容：§2 标准形

二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.

三 教学重点：化普通的二次型为标准形.

四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.

五 教学过程：

I 导入

可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型

2222211n n x d x d x d +++ (1)

II 讲授新课

定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的.

2222211n n x d x d x d +++ =()n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛n d d d 00000021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.

定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的一个标准形.