简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

一、简单无理函数的不定积分

对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。 下面总假设),(y x R 表示关于变量y x ,的有理函数。

1．⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++n d cx b ax x R ,型函数的不定积分。其中0≠-bc ad 解法：作变量替换n d cx b

ax t ++=，即dt t dx t ct

a b dt x n

n

)(,)(φφ'==--=,于是 []⎰⎰'=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++dt t t t R dx d cx b ax x R n )(),(,φφ，

转化为有理函数的不定积分。 例1．求

⎰++dx x

x

x

x 14

158217

1

分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。

()2

14

7

7

1x x x =

=

，()7

14

2

1x x x

=

=，()

16

14

7

8

7

8x x x

=

=

，()

15

14

14

15x x

=

作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314

14,==，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。

解：作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314

14,==，则

=++=⋅++=++⎰⎰⎰dt t t dt t t t t t dx x x x x 111414513

15167214

1582

1

71 例2．求

⎰

-⋅+-dx x x x 2

3

)

2(1

22 解：设,223t x x =+- 则33122t t x +-=，dt t t

dx 2

32

)

1(12+-=，所以 ⎰⎰⎰

=-=+-⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--⋅=-⋅+- dt t dt t t t t t dx x x x 323223323

1

43)

1(1212221)2(122 2．()

c bx ax x R ++2,型函数的不定积分，其中042≠-ac b （即方程02

=++c bx ax 无重根）

分两种情况讨论：

（1）042

>-ac b 时，方程02

=++c bx ax 有两个不等的实数根α、β

这时，设)())((2

αβα-=--=++x t x x c bx ax ，即

22t t x --=αααβ，从而有,)()(22

2dt t t dx --=ααβα 22

)(t t c bx ax --=++ααβα 于是，()

⎰⎰--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=++dt t t

t t t t R dx c bx ax x R 22222

)(2)(,,ααβαααβααααβ

这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。

例3．求

⎰-++2

2)

1(x

x x dx

解：方程022

=-+x x 有两个根：11-=x ，22=x ，设)1(22+=-+x t x x ，

则x x t +-=12，即2212t t x +-=，于是dt t t dx 2

2)

1(6+-=，22

132t t x x +=-+ C x x C t dt dt t t t t t t

x x x dx ++--=+-=-=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-++-=-++⎰⎰⎰1232323213121)1(62)1(2222

22 （2）042

<-ac b 时，方程02

=++c bx ax 没有有实数根。此时，a 、c 同号（否则042

>-ac b ），且0>c （否则0=x 时，c bx ax ++2没有意义），从而0>a

设c tx c bx ax ±=++2

，则x c c bx ax t ++=2，或)(22t a

t t

c b x ϕ=-= ，此时

dt t dx )(ϕ'=，从而

()

()

⎰⎰

'±=++dt t c t t t R dx c bx ax x R )()(),(,2

ϕϕϕ 这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。 例4．求

⎰+-+

dx x x x 1

12

解：设112

-=+-tx x x ，或x

x x t 1

12-+-=

，即1122--=t t x

有dt t t t dx 2

22)

1()1(2-+--=，111222

-+-=+-t t t x x ，112-=+-+t t x x x

∴⎰⎰=-+-⋅--=+-+ dt t t t t t dx x x x 2222)1(1

121

1

（3）当被积函数是最简形式时，可用特殊的简单方法计算。 例5．求

⎰-+dx x x 2

6111

例6．求

⎰

++-dx x x x 5

4222

例7．求⎰

++-dx x x x 14)2(2

二、三角函数的不定积分

三角函数有理式的积分，即⎰

dx x x R )sin ,(cos 型的积分，其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分。计算方法多种多样，有一种通用的计算方法——万能代换。 令2x tg

t =，就有.2arctgt x =，,122

t dt

dx +=

且 22122

sec

222cos 2sin 2sin t t x x tg

x x x +===， ,11cos 2

2

t

t x +-= 212t t tgx -= 于是 ⎰⎰+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-=dt t t t t t R dx x x R 222212

12,11)sin ,(cos

化为了有理函数的不定积分。 讲解课本例8、例9。 补充例子：求⎰+=

x dx

I cos 1

解：( 用万能代换 ) ⎰⎰+=+==+-+

+======c x tg c t dt dt t t t I x tg

t 2111122

222

还可以用其它的解法。 解法2：( 用初等化简 ) c x

tg x d x x dx I +===

⎰

⎰2

)2(2sec 2

cos 212

2

.