3.2.1几个常用函数的导数及运算律

1 解 : y f ( x) , x y f ( x x) f ( x)
y 1 , x ( x x) x
1 1 x x x x ( x x) x
1 y 1 1 f ( x) ( ) ' lim lim 2. x 0 x x 0 ( x x) x x x
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
解 : y f ( x) C,
y f ( x x) f ( x) C C 0,
y 0, x y f ( x) C lim 0. x 0 x
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差), 即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
由法则2:
C f ( x) C ' f ( x) C f ( x) C f ( x)
三.典例分析 题型一：导数公式及导数运算法则的应用
例1:求下列函数的导数:
(1) y x3 2 x 3
1 2 ( 2) y 2 x x
答案: (1) y 3x2 2;
'
n 1 公式: ( x ) nx ( n Q ) .
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N * 的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a(a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) (a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
这又说明什么? 这又说明什么?
y'＝2x表示函数y＝x2图象上每点(x,y)处的切线的斜率为 2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化 探究：画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在点（1,1） x+y-2=0
处的切线方程。
猜想？ 当f ( x) x 时
n
n
f(x)=?
1 1 公式三：（ ） ' 2 x x
1) y f ( x) C 2) y f ( x) x, 3) y f ( x) x ,
2
y' 0 y ' 1
y ' 2x
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0 表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
1 4) y f ( x) , 1 x y' 2 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数.
解 : y f ( x) x,
y f ( x x) f ( x) ( x x) x x,
y 1, x y f ( x) x ' lim 1. x 0 x
(2) y 1 4 3; 2 x x
x (3) y 1 x2
公式二：x ' 1
二、几种常见函数的导数
3) 函数y=f(x)=x2的导数.
解 : y f ( x) x2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x2 2x x x2 ,
y 2 x x x 2 2 x x, x x
3.2.1几个常用函数的导数及运算律
一、回顾复习
1.求函数的导数的方法是：（三步走：求增量，算比值，求极限）
说明:上面的方 法中把x换成x0 即为求函数在 点x0处的导数.
2.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 )就是导函数 f ( x )在x=x0处的函数 值,即 f ( x0 ) f ( x) |x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
0
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点 P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
4.求切线方程的步骤： (1)求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ,得到曲线在点(x0,f(x0))的切 线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
2 y 2 x x x f ( x) ( x 2 ) ' lim lim lim (2 x x) 2 x. x 0 x x 0 x 0 x
公式三：（x ） ' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方. 即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)