高等数学：第五讲高阶偏导数

2z xy
fxy (x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
混合偏导数
混合偏导数
高阶偏导数
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z f (x, y) 关于 x 的三阶偏导数为
3z 2z x3 x ( x2 )
z f (x, y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数，再关于 y 的一阶偏导数为
1 x
2z x 1 xy xy y
3z x2y 0
3z xy 2
-
1 y2
内容小结
高阶偏导数
二阶偏导数
( z ) x x
2z x 2
fxx(x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
பைடு நூலகம்
y
( z ) x
2z xy
f xy (x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
谢谢
例题1中，两个二阶混合偏导数相等，即 2 z 2 z . xy yx
这是由于多项式函数在其定义区域内都是连续的函数.
例题2：
设
z x ln(xy),
求
2z , 2z , 3z , 3z . x2 xy x2y xy2
解
z ln( xy) x y ln(xy) 1
x
xy
2z x 2
y xy
y
n1z ( xn1
)
nz x n 1y
二阶及二阶以上的偏导数统称为函数的高阶偏导数.
z ，z x y
也称为函数的一阶偏导数．
例题1：
设 z x3 y2 3xy3 xy 1,
求二阶偏导数
2z 2z 2z 2z x2 , xy , yx , y2 .
解
z 3x2 y2 3y3 y x
z 2x3 y 9xy2 x y
2 z 6xy2 x 2
2z 6x2y 9y2 1 xy
2z 6x2y 9y2 1 yx
2 z 2x3 18 xy y 2
高阶偏导数
注意
当二阶混合偏导数
2z xy
和
2z yx
在区域
D内连续时，
在该区域 D内这两个二阶混合偏导数必定相等，
即求混合偏导数的结果与求导的次序无关．
高阶偏导数
高阶偏导数
设 z f (x, y)在区域 D内存在连续的偏导数
z x
fx(x, y),
z y
f y(x, y),
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是 z f (x, y) 的二阶偏导数.
按求导顺序不同，有下列四个二阶偏导数：
( z ) x x
2z x 2
fxx(x, y);
( z ) y x