北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题
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一、选择题(满分25分,每小题只有一个正确答案,答对得5分)
1.当16m =-时,代数式2221539933m m m m m m m m ---÷---++的值是( ) A.-1 B.12- C.12 D.1
2.一个正八边形中最长的对角线等于a ,最短的对角线等b ,则这个正八边形的面积为( )
A.22a b +
B. 22a b -
C.a b +
D.ab
3.11111161111161621212626313136
+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是( ). A.118 B.136 C.133 D.166
4.若n 是正整数,记1×2×3×…×n =n !,比如1!=1,4!=1×2×3×4=24,等等,若M =1!×2!×3!×4!×5!×6!×7!×8!×9!,则M 的约数中是完全平方数的共有( )
A.504个
B.672个
C.864个
D.936个
5.将2009表示成两个整数的平方差的形式,则不同的表示方法有( )
A.16种
B.14种
C.12种
D.10种
二、填空题(满分35分,每小题7分)
1. 22
45.113.945.113.931.2
-+⨯的值等于 . 2.平行四边形ABCD 中,AD=a ,CD=b ,过点B 分别作AD 边上的高a h 和CD 边上的高b h ,已知a h a ≥,b h b ≥,
对角线AC=20厘米,平行四边形ABCD
的面积为 平方厘米.
3.已知01a <<,并且1232829183030303030a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++⋅⋅⋅++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦⎣⎦,则[]10a 等于 .(其中[]x 表示不超过x 的最大整数)
4.已知△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的外角度数之比为α∶β∶γ(α,β,γ均为正数),则∠A ∶∠B ∶∠C 等于 .(用含α,β,γ的式子之比表示)
5.当12x ≤≤
等于 .
三、(满分10分)
已知0a b c ++=,2221a b c ++=.
(1) 求ab bc ca ++的值
(2) 求444a b c ++的值
四、(满分15分)
如图所示,六边形ABCDEF 中,AB=BC=CD=DE=EF=FA , 并且∠A+∠C+∠E=∠B +∠D +∠F ,
求证∠A =∠D ,∠B=∠E ,∠C=∠F.
五、(满分15分) (1)证明:由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数;
(2)试说明,存在最左边2009位都是1的形如200911111***个的自然数
(其中*代表阿拉伯数码)是完全平方数. F E D
C B A