轴对称图形基本概念
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【本讲教育信息】
一、教学内容:
1. 基本概念:轴对称、轴对称图形,线段的垂直平分线。
2. 轴对称的性质。
3. 线段的垂直平分线的性质及判定
4. 尺规作图:轴对称图形的作法;作线段的垂直平分线
5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。
二、知识要点:
1. 基本概念
(1)轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
(2)轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。
(3)轴对称和轴对称图形的区别和联系:
区别:①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形;轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的,而轴对称图形是对一个图形说的。
联系:①都沿某条直线对折,图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;反过来,把轴对称图形的两部分分别看作两个图形,那么这两个图形成轴对称。
(4)线段的垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
2. 轴对称的性质:
(1)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(2)关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。
轴对称图形的性质:(轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。)
3. 线段的垂直平分线的性质及判定
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
如图①,若PC是线段AB的垂直平分线(AC=BC,PC⊥AB),则PA=PB (2)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
如图②,若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。
4. 尺规作图
(1)如何作轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形;对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形。所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点
(2)作线段的垂直平分线
①分别以点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧交于C、D两点,
②作直线CD。
CD就是线段AB的垂直平分线。
5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(_____,_____);
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(_____,_____)。
三、重点难点:
1. 重点:①轴对称图形的性质;②线段垂直平分线的性质及判定;③关于坐
标轴对称的点的坐标特点。
2. 难点:轴对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特点。
【考点分析】
中考对本节内容考查的热点有轴对称图形的概念和性质,以及用轴对称、平移等知识设计图案。试题的难度较小,以基础题为主,题型以填空题、选择题为主,也有简单的作图题。
【典型例题】
例1.如图是由两个等边三角形组成的图形,它是轴对称图形吗?如果不是,请移动其中一个三角形,使它与另一个三角形一起组成轴对称图形,有几种移法?(至少画四种,相同类型的算一种),怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴?
分析:每个等边三角形都是轴对称图形,都有三条对称轴。要使两个等边
三角形组合的图形仍是轴对称图形,则它们至少有一条对称轴重合,要使组合后的图形的对称轴尽可能多,则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。
解:不是。有以下几种移动方法(如图所示),其中,第3个图的对称轴
最多。
评析:看似没有规律的题目,其实往往蕴含着规律,我们要善于发现其中的内在规律,这样解题才不盲目。
例2. 如图所示,C是线段AB的垂直平分线上的一点,垂足为D,则下列结论中正确的有()
①AD=BD;②AC=BC;③∠A
=∠B;④∠ACD=∠BCD;
⑤∠ADC=∠BDC=90°
A. 2个
B. 3
个 C. 4
个 D. 5个
分析:由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤;由垂直平分线的性质可得出②;由△ADC≌△BDC可得到③和④。
解:D
评析:掌握线段垂直平分线的性质,能提供线段相等的思路,用于证明全等等其它问题。
例3. 写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。
(-2,3),(1,-2),(-2,-4),(0,2)。
分析:求已知点关于坐标轴的对称点时,要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。
解:(-2,3),(1,-2),(-2,-4),(0,2)关于x轴对称的点的坐标分别为(-2,-3),(1,2),(-2,4),(0,-2);关于y轴对称的点的坐标分别为(2,3),(-1,-2),(2,-4),(0,2)。
评析:点关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数;点关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变。
例4.(2007年烟台)生活中,有人喜欢把传送的便条折成形状,折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面):
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26cm,宽为xcm,分别回答下列问题:
(1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P),试求x的取值范围。
(2)如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P 的长度相等,即最终图形是轴对称图形,试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)。
分析:由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形,最后两端交叉处重叠了两个正方形,也就是说在这次折叠中总计有五个正方形,而每个正方形的边长是长方形纸条的宽xcm,那么由长方形的总长可得0<5x<26,即得x 的取值范围。对于第二小题根据图形得AP=BM=26-5x,而AM=AP+PM,PM =x。
解:(1)由折纸过程知:0<5x<26,∴0<x<。
(2)∵图④是轴对称图形,
∴AM=+x=13-x,即点M与点A的距离是(13-x)cm。
评析:图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用,并利用好折叠后图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质,本题中的折纸关键是要注意到所折角度应为45°,由①到④时长方形的长至少不少于宽的5倍。
例5. 如图所示,已知线段AB,画出线段AB关于直线l的对称图形。
分析:如果图形是由直线、射线或线段组成时,只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等)的对称点,然后连结对称点,就可以画出对称图形。
解:(1)画出点A关于直线l的对称点A';
(2)画出点B关于直线l的对称点B':
(3)连结A'B',则线段A'B'即为所求。
评析:画已知图形关于某直线的对称图形:①对称轴是对应点连线的垂直平分线,②若对应线段或延长线相交,则交点一定在对称轴上。
例6.要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水(如图)。修在河边什么地方,可使所用水管最短?