《轴对称图形》：轴对称的性质含答案
轴对称知识点及对应例题(经典)
轴对称知识点及对应例题(经典)第十三章轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称与轴对称图形的区别2轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个D．1个3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴3线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点四、线段垂直平分线的性质6．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC 平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。
7．如图，△ABC中，AB＝AC，PB＝PC，连AP 并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC458．如图,DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8厘米，AB ＝10厘米，则∆EBC 的周长为【 】A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米C EB DA9．如图，∠BAC ＝30°，P 是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ，PD ＝30 , 则AM ＝MD P BC A轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）6关于原点对称点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称1．点 A（-3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是( )A （-3 ，-2）B （3 ，2）C （-3 ，2）D （2 ，-3）72．点P（a，b）关于 x 轴的对称点为P＇（1，-6），则A、B的值分别为( )A 1 ，6B -1 ，-6C -1 ，6 D 1 ，-63.点P关于x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点P关于y轴对称点P"的坐标为：A (-4，5)B (4，-5)C (-4，-5)D (-5，-4)4.平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( )A.x轴B.y 轴C.直线y=4D.直线x=-15.下列关于直线 x=1 对称的点是( )A 点（0 ，-3）与点（-2 ，-3）B 点（2 ，3）与点（-2 ，3）C 点（2 ，3）与点（0 ，3）D 点（2 ，3）与点（2 ，-3 )6.已知A(-1，-2)和B(1，3），将点A向______8平移_______个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．7.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点A的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B( ，)，C( ，)，D( ， )。
轴对称图形习题及详细解答
轴对称图形习题及详细解答一．解答题（共30小题）1．（2016•宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．2．（2016•江西）（1）解方程组：．（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt △ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．3．（2016•十堰）如图，将矩形纸片ABCD（AD ＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．4．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．5．（2016•漳州模拟）数学课上，老师要求学生证明命题：“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”，以下是小华解答的部分内容（缺少图形和证明过程）．请你把缺少内容补充完整．已知：点P在∠AOB的角平分线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE．6．（2016•历下区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE 垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．7．（2016•萧山区二模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．8．（2016•怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．9．（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC 的度数．10．（2016•东城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．11．（2016•怀柔区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．12．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．13．（2016•门头沟区一模）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．14．（2016•吉林校级二模）如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB 的面积．15．（2016•门头沟区二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AE为BC边上的中线．求证：△ABE是等边三角形．16．（2016•泗水县一模）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．（1）求证：B′E=BF；（2）若AE=3，AB=4，求BF的长．17．（2016•北京一模）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：，这条性质可用符号表示为：；（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．18．（2016•拱墅区二模）如图，已知等腰直角△ABC，∠A=90°．（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC 于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若将（1）中的△ABD沿BD折叠，则点A 正好落在BC边上的A1处，当AB=1时，求△A1DC的面积．19．（2016春•吉州区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．20．（2016春•金堂县期末）如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．21．（2016春•滕州市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm．（1）求BC的长；（2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE．22．（2016春•淅川县期末）如图，已知：在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．23．（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离？24．（2016春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．25．（2016春•高平市期末）已知a、b满足方程组（1）求a，b的值；（2）若a、b是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．26．（2016春•张家港市期末）若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a+1|﹣|a﹣1|；（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．27．（2016春•吉林期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是边AB的中点，连接DE，若AD=12，BC=10，求DE的长．28．（2016春•安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．29．（2016春•西藏校级期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．30．（2016春•鄄城县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT △DEC中求出EF即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE=DC=2，在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，∴DF=2DE=4，∴EF===2．【点评】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2016•江西）（1）解方程组：．（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt △ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．【分析】（1）根据方程组的解法解答即可；（2）由翻折可知∠AED=∠CED=90°，再利用平行线的判定证明即可．【解答】解：（1），①﹣②得：y=1，把y=1代入①可得：x=3，所以方程组的解为；（2）∵将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C 重合，折痕为DE．∴∠AED=∠CED=90°，∴∠AED=∠ACB=90°，∴DE∥BC．【点评】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到平行线的判定，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．3．（2016•十堰）如图，将矩形纸片ABCD（AD ＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D 的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四边形CEGF 为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；（2）如图1，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四边形CEGD是矩形，根据矩形的性质即可得到CE=CD=AB=3；如图2，当F 与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得AE=CE，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF=∠FEC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，∵图形翻折后BC与GE完全重合，∴BE=EC，∴GF=EC，∴四边形CEGF为平行四边形，∴四边形CEGF为菱形；（2）由（1）得四边形CEGD是菱形，∴CE=CD=AB=3；如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE=CE，∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，∴CE=5，∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．4．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．【分析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG 即可．【解答】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【点评】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．5．（2016•漳州模拟）数学课上，老师要求学生证明命题：“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”，以下是小华解答的部分内容（缺少图形和证明过程）．请你把缺少内容补充完整．已知：点P在∠AOB的角平分线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE．【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定定理，推出△POD≌△POE即可．【解答】证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POD=∠POE，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD与△POE中，，∴△POD≌△POE，∴PD=PE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于找到对应角相等、公共边．6．（2016•历下区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE 垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．【分析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE=DE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC．【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．7．（2016•萧山区二模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，继而证得Rt△BED≌Rt △CFD，则可得∠B=∠C，证得AB=AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴AD是BC的中垂线．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握三线合一性质的应用．8．（2016•怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°，∴∠AED+∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．9．（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC 的度数．【分析】首先由AB=AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出∠ABC与∠C的度数．10．（2016•东城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．【解答】解：∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°，∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等边对等角定理的应用．11．（2016•怀柔区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．CAD，∠ADB=∠ADC=90°，根据等腰三角形的判定定理得到∠CAD=∠ADE．根据余角的性质得到∠BAD=∠BDF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：∵AB=AC，AD是△ABC点的中线，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=AE=EC，∴∠CAD=∠ADE．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°．∵DF⊥AB，∴∠B+∠BDF=90°，∴∠BAD=∠BDF，∴∠BDF=∠CAD，∴∠BDF=∠ADE，【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=BC，AD⊥BC根据角平分线的判定定理即可得到结论．．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．（2016•门头沟区一模）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．14．（2016•吉林校级二模）如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB 的面积．【分析】由三角形的中位线定理得到DE=CF，DE∥CF，证得四边形DEFC是平行四边形，即可证得S△ECF=S△DEC=S△ADE，即可证得S四边形DEFB=S△ABC，求得△ABC的面积即可．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE=BC，DE∥BF，∵CF=，∴DE=CF，DE∥CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴S△ECF=S△DEC=S△ADE，∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，AD=BD=1，BC=2，∴DC==∴S 四边形DEFB=S△ABC=×2×=．【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，证得S△ECF=S△DEC=S△ADE是本题的关键．15．（2016•门头沟区二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AE为BC边上的中线．求证：△ABE是等边三角形．【分析】根据直角三角形的性质得出AE=BE=CE=AB，即可得出答案．【解答】证明：∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴AB=BC，∵AE为BC边上的中线，∴AE=BE=CE，∴AB=AE=BE，∴△ABE是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形．16．（2016•泗水县一模）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．（1）求证：B′E=BF；（2）若AE=3，AB=4，求BF的长．【分析】（1）根据折叠的性质以及平行线的性质可以证明∠B'FE=∠B'EF，根据等角对等边证明B'E=B'F，然后根据折叠的性质可证得；（2）直角△A'B'E中利用勾股定理求得B'E的长，然后根据（1）的结论即可求解．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B'EF=∠EFB，又∵∠B'FE=∠EFB，∴∠B'FE=∠B'EF，∴B'E=B'F，又∵BF=B'F，∴B'E=BF；（2）解：∵直角△A'B'E中，A'B'=AB=4，∴B'E===5，∴BF=N'E=5．【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中认识到相等的角和相等的边是关键．17．（2016•北京一模）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：对角线互相垂直，这条性质可用符号表示为：已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD．；（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．【分析】（1）根据筝形的定义可以证明△BAC ≌△DAC，依据全等三角形的性质即可证得边和对角线的关系；（2）利用△BAC≌△DAC，根据边、角、对角线的性质证得．【解答】解：（1）筝形的性质：两组邻边分别相等；对角线互相垂直，即已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；有一条对角线被另一条平分；有一条对角线平分对角；是轴对称图形．（写出一条即可）；故答案是：对角线互相垂直；已知四边形ABCD 是筝形，则AC⊥BD；（2）筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．已知：四边形ABCD中，AC是一条对角线，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．求证：四边形ABCD是筝形．证明：在△BAC和△DAC中，，∴△BAC≌△DAC，∴AB=AD，BC=CD，即四边形ABCD是筝形．其他正确的判定方法：有一条对角线垂直平分令一条对角线的四边形是筝形；有一组邻边相等且互相垂直的四边形是筝形．【点评】本题考查了图形的对称以及全等三角形的判定，正确证明△BAC≌△DAC是解决本题的关键．18．（2016•拱墅区二模）如图，已知等腰直角△ABC，∠A=90°．（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC 于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若将（1）中的△ABD沿BD折叠，则点A 正好落在BC边上的A1处，当AB=1时，求△A1DC的面积．【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的平分线BD 即可．（2）首先利用勾股定理求出BC，再求出A1C，根据△A 1DC的面积=•A1C•A1D计算即可．【解答】解：（1）∠ABC的平分线BD，交AC 于点D，如图所示，（2）在RT△ABC中，∵∠A=90°，AC=BC=1，∴BC=，∵AB=A1B=AC=1，∴A 1C=，∵∠C=45°，∠DA1C=90°，∴∠C=∠A1DC=45°∴△A1DC是等腰直角三角形，∴=．【点评】本题考查尺规作图、翻折变换、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握基本尺规作图是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．19．（2016春•吉州区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC 和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．20．（2016春•金堂县期末）如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．【分析】（1）先根据AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出结论；（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根据∠EAM=∠FAM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAM=∠FCM，∴AE∥CF；（2）证明：∵AM平分∠FAE，∴∠FAM=∠EAM，又∵∠EAM=∠FCM，∴∠FAM=∠FCM，∴△FAC是等腰三角形，又∵AM=CM，∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．21．（2016春•滕州市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm．（1）求BC的长；（2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，再求解即可；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠C=72°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠ABE=∠A，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，从而得到∠BEC=∠C，然后根据等角对等边求解．【解答】（1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，∵AC=15cm，∴BC=25﹣15=10cm；（2）证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A，由三角形的外角性质得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，∴∠BEC=∠C，∴BC=BE．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，综合题难度不大，熟记各性质并准确识图是解题的关键．22．（2016春•淅川县期末）如图，已知：在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．【分析】本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到∠DBE=60°，∠BEC=90°，再根据等腰三角形的性质可以得出∠EBC=∠ABC﹣60°=∠C﹣60°，最后根据三角形内角和定理得出关系式∠C﹣60°+∠C=90°解出即可．【解答】解：∵△BDE是正三角形，∴∠DBE=60°；∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC则∠EBC=∠ABC﹣60°=∠C﹣60°，∠BEC=90°；∴∠EBC+∠C=90°，即∠C﹣60°+∠C=90°解得∠C=75°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义，解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意的简易方程，从而求出结果．23．（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离？【分析】根据已知条件“上午8时，一条船从A 处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处”可以求得AB=120海里，然后根据三角形的内角和定理求得∠C=32°，所以△ABC是等腰三角形；最后由等腰三角形的两腰相等的性质来求从B处到灯塔C的距离．【解答】解：根据题意，得AB=30×4=120（海里）；在△ABC中，∠NAC=32°，∠ABC=116°，∴∠C=180°﹣∠NAC﹣∠ABC=32°，∴∠C=∠NAC，∴BC=AB=120（海里），即从B处到灯塔C的距离是120海里．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方向角．解答该题时充分利用了三角形的内角和定理．24．（2016春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；（2）由在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；（3）由在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质，即可用∠A表示出∠ABC，又由AB点M，即可求得答案．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；（3）∠NMB=∠A．理由：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．25．（2016春•高平市期末）已知a、b满足方程组（1）求a，b的值；（2）若a、b是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．【分析】（1）直接利用加减消元法，即可求得a，b的值；（2）分别从若7为腰长，2为底边长与若2为腰长，7为底边长，去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1），①+3②得：10a=70，解得：a=7，把a=7代入2a+b=16，得：b=2，∴；（2）①若7为腰长，2为底边长，则周长为：7×2+2=16；②若2为腰长，7为底边长，∵2+2＜7，∴不能组成三角形，舍去；∴这个等腰三角形的周长为16．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及二元一次方程组的解法．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．26．（2016春•张家港市期末）若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a+1|﹣|a﹣1|；（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．【分析】（1）先解方程组用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系得到关于a 的不等式求解即可；（2）根据绝对值的定义即可得到结论；（3）首先用含m的式子表示x和y，由于x、y 的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三角形．【解答】解：（1）解得∴，∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，∴a＞1；（2）∵a＞1，∴|a+1|﹣|a﹣1|=a+1﹣a+1=2；（3）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为9，∴2（a﹣1）+a+2=9，解得：a=3，∴x=2，y=5，不能组成三角形，∴2（a+2）+a﹣1=9，解得：a=2，∴x=1，y=5，能组成等腰三角形，∴a的值是2．【点评】主要考查了方程组的解的定义和不等式的解法．理解方程组解的意义用含m的代数式表示出x，y，找到关于x，y的不等式并用a表示出来是解题的关键．27．（2016春•吉林期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是边AB的中点，连接DE，若AD=12，BC=10，求DE的长．【分析】先根据勾股定理求得AC的长，根据条件可知DE是△ABC的中位线，所以利用中位线定理可知DE的长．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴CD=BC=5，∵AD=12，∴在Rt△ADC中，AC==13，。
第2章《轴对称图形》常考题集：2.2轴对称的性质（含答案）
度．（第1题） （第2题） （第3题）2．如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于 度．3．如图，△ABC 沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A ′处，若点D 为AB 边的中点，∠B=50°，则∠BDA ′的度数为 ．4．如图，三角形纸片ABC 中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1=20°，则∠2的度数为 度．（第4题） （第7题） （第8题） cm．．第2章 《轴对称图形》常考题集：2.2 轴对称的性质填空题1．如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF=5．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是6．把图一的矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上的点P 处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD 的面积为cm ． 度． cm．（第9题） （第10题） （第12题）10．如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC 的长为 ． ．13．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1=64°，那么∠2等于 ．（第13题） （第14题） （第15题） 14．如图，矩形ABCD 中（AD ＞AB ），M 为CD 上一点，若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 沿直线AD 折过来，点C 落到点C 1的位置，如果BC=10，那么BC 1= ．16．如图，长方形纸片ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，则S △AEF = cm 2．（第16题） （第18题）17．如图，△ABC 中∠A=30°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD 沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时∠CDB=82°，则B=原三角形的∠B= 度．7．如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知CE=3 cm ，AB=8 cm ，则图中阴影部分面积为8．如图（1）是四边形纸片ABCD ，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR ，恰使CP ∥AB ，RC ∥AD ，如图（2）所示，则∠C=9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿着直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为11．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D 处，折痕交另一直角边于E ，交斜边于F ，则△CDE 的周长为12．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=70°，则∠2= 度．上，则∠ANB+∠MNC= 度．15．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，把△ADCb 的值为 ． 解答题A 1B 1C 1D 1； （2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线l 对称的四边形A 2B 2C 2D 2．18．如图一张长方形纸片ABCD ，其长AD 为a ，宽AB 为b （a ＞b ），在BC 边上选取一点M ，将△ABM 沿AM 翻折后B 至B ′的位置，若B ′为长方形纸片ABCD 的对称中心，则a19．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 在落在四四边形BCDE 内部时， （1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．20．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB 的两个端点都在格点上，直线MN 经过坐标原点，且点M 的坐标是（1，2）． （1）写出点A 、B 的坐标；（2）求直线MN 所对应的函数关系式；（3）利用尺规作出线段AB 关于直线MN 的对称图形．（保留作图痕迹，不写作法）21．作图题：（不要求写作法）如图，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD （即四边形的顶点都在格点上）．（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 向下平移5格后的四边形的面积．． （3）写出点A 1，B 1，C 1的坐标．的坐标： ； （2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P 的距离．22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （-1，5），B （-1，0），C （-4，3）． （1）求出△ABC（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 123．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始依次关于点A 、B 、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 关于点A 的对称点M 处，接着跳到点M 关于点B 的对称点N 处，第三次再跳到点N 关于C 的对称点处，…如此下去．（1）在图中画出点M 、N ，并写出点M 、N， ）．24．如图所示，在直角坐标系xOy 中，A （-1，5），B （-3，0），C （-4，3）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′； （2）写出点C 关于y 轴的对称点C ′的坐标（25．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． （1）分别写出A 、B 、C 三点的坐标；（2）作△ABC 关于y 轴的对称图形△A ′B ′C ′．（不写作法）26．如图，在正方形网格上有一个△ABC ．（1）作△ABC 关于直线MN 的对称图形（不写作法）； （2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC 的面积27．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图1中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”． （1）求图1中四边形ABCD 的面积；（2）在图2方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为， ）．．轴对称图形．28．下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1． （1）“小猪”所占的面积为多少？（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE 对称的图案（只画图，不写作法）； （3）以G 为原点，GE 所在直线为x 轴，GB 所在直线为y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A 的坐标是（29．认真画一画．如图，在正方形网格上有一个△DEF ．（1）作△DEF 关于直线HG 的轴对称图形△D ′E ′F ′（不写作法）； （2）作EF 边上的高（不写作法）；（3）若网格上的最小正方形边长为1，则△DEF 的面积为30．如图，写出△ABC 的各顶点坐标，并画出△ABC 关于Y 轴的对称图形，并直接写出△ABC 关于x 轴对称的三角形的各点坐标．答案：填空题1．故答案为：70．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：利用折叠的性质求解．利用折叠的性质求解． 解答：解：由折叠的性质知，解：由折叠的性质知，AD=DF AD=DF AD=DF，，∵点D 是AB 的中点，∴AD=BD，由折叠可知AD=DF AD=DF，， ∴BD=DF，∴BD=DF，∴∠DFB=∠B=55°，∠BDF=180°∴∠DFB=∠B=55°，∠BDF=180°--2∠B=70°．2∠B=70°． 故答案为：故答案为：707070．．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，位置变化，对应边和对应角相对应边和对应角相等；②中点的性质，等边对等角，等；②中点的性质，等边对等角，三角形内角和三角形内角和定理求解． 2．故本题答案为50°．°．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：根据折叠的性质可知．根据折叠的性质可知．解答：解：连接AA′，AA′，易得AD=A′D，AE=A′E；AD=A′D，AE=A′E；故∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠A=100°；3．故填80．考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：由折叠的性质可知 点评：本题利用了：本题利用了：11对应边和对应角等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．度． 5．故应填1cm cm．．.考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：有关图形的折叠与拼接最好的解决方法是亲自动手操作．先求第一次折痕，再求第二次，从而求它们的关系．故∠A=50°．故∠A=50°．点评：本题通过折叠本题通过折叠变换变换考查学生的逻辑思维能力，考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，解决此类问题，应结合题意，最好最好实际操作实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． AD=A′D，再根据AD=A′D，再根据中点中点的性质得AD=BD AD=BD，BD=A′D，，BD=A′D，∠DA′B=∠B=50°，从而求解∠BDA'的度数．解答：解：由折叠的性质知，AD=A′D，解：由折叠的性质知，AD=A′D，∵点D 为AB 边的中点边的中点∴AD=BD，BD=A′D，∠DA′B=∠B=50°， ∴∠BDA′=180°∴∠BDA′=180°--2∠B=80°．、折叠的性质：折叠是一种、折叠的性质：折叠是一种对称对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，相等；相等；22、中点的性质，、中点的性质，等边对等角等边对等角，三角形的内角定理求解． 4．故填60．分析：根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合三角形内角和三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．解答：解：∵∠A=65°，∠B=75°，解：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°∴∠C=180°--（65°+75°）（65°+75°）=40=40度，度， ∴∠CDE+∠CED=180°∴∠CDE+∠CED=180°--∠C=140°，∠C=140°， ∴∠2=360°∴∠2=360°--（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°--300°=60度．度．故填6060．．点评：本题通过折叠变换考查三角形、本题通过折叠变换考查三角形、四边形四边形内角和定理．注意折叠前后图形全．故应填1445 ．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压解答：解：由勾股定理得，等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解． 7．故应填30cm 2．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5EF=DE=CD-CE=5，，AD=AF=BC AD=AF=BC，再根据勾股定理列出，再根据勾股定理列出，再根据勾股定理列出方方程求解即可．解答：解：由折叠的性质知，解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5EF=DE=CD-CE=5EF=DE=CD-CE=5，，AD=AF=BC AD=AF=BC，， 由勾股定理得，由勾股定理得，CF=4CF=4CF=4，，AF 2=AB 2+BF 2， 即AD 2=82+（AD-4AD-4））2， 解得，解得，AD=10AD=10AD=10，， ∴BF=6，∴BF=6，图中阴影部分面积图中阴影部分面积=S =S △A B F +S △C E F =30cm 2．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，位置变化，对应边和对应角相对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解． 8．故应填95．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠前后图形全等和平行线，根据折叠前后图形全等和平行线，先求出∠CPR 先求出∠CPR 和∠CRP，和∠CRP，再根据再根据再根据三角形内三角形内角和定理即可求出∠C．定理即可求出∠C．解答：解：第一次折痕的左侧部分比右侧部分短1cm 1cm，，第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm 1cm，，其实这两条折痕是关于纸张的正中间的折痕成轴其实这两条折痕是关于纸张的正中间的折痕成轴对称对称的关系，它们到它们到中线中线的距离是0.5cm 0.5cm，，所以在纸上形成的两条折痕之间的距离是1cm 1cm．．点评：考查图形的拆叠知识及学生动手操作能力和图形的翻折考查图形的拆叠知识及学生动手操作能力和图形的翻折变换变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，它属于轴对称，它属于轴对称，根据根据根据轴对称的性质轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 6轴题．分析：利用折叠的性质和利用折叠的性质和勾股定理勾股定理可知． MN=5MN=5，，设Rt△PMN 的斜边上的高为h ，由，由矩形矩形的宽AB 也为h ， 根据直角根据直角三角形的面积三角形的面积公式得，h=PM•PN÷MN=125， 由折叠的性质知，由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12BC=PM+MN+PN=12BC=PM+MN+PN=12，， ∴矩形的面积=AB•BC=1445． 点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，位置变化，对应边和对应角相对应边和对应角相解答：解：因为折叠前后两个图形全等，故∠CPR=12 ∠B=12 ×120°=60°，×120°=60°，∠CRP ∠CRP==12 ∠D=1250°=25°；50°=25°；∴∠C=180°∴∠C=180°--25°25°--60°=95°；∠C=95度；度；故应填9595．．点评：折叠前后图形全等是解决折叠问题的关键．9．故应填3cm cm．．考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：由折叠的性质知CD=DE 对应边和对应角相等；相等；22、勾股定理求解．、勾股定理求解． 10．故应填3 .考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：根据翻折变换的特点可知．解答：解：根据翻折变换的特点可知：解：根据翻折变换的特点可知：DE=GE DE=GE因为∠CFE=60°，因为∠CFE=60°， 所以∠GAE=30°，所以∠GAE=30°， 则AE=2GE=2DE=2AE=2GE=2DE=2，， 所以AD=3AD=3，， 所以BC=3BC=3．．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，于轴对称，根据轴对称的性质，根据轴对称的性质，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠如本题中折叠前后角相等．前后角相等．11．故应填11或10 ． 考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 解答：解：当角B 翻折时，翻折时，B B 点与D 点重合，点重合，DE DE 与EC 的和就是，AC=AE AC=AE．根据题意在．根据题意在Rt△BDE 中运用中运用勾股定理勾股定理求DE DE．．解答：解：由勾股定理得，解：由勾股定理得，AB=10AB=10AB=10．．由折叠的性质知，由折叠的性质知，AE=AC=6AE=AC=6AE=AC=6，，DE=CD DE=CD，∠AED=∠C=90°．，∠AED=∠C=90°．，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB ∴BE=AB-AE=10-6=4-AE=10-6=4-AE=10-6=4，，在Rt△BDE 中，由勾股定理得，中，由勾股定理得， DE 2+BE 2=BD 2即CD 2+42=（8-CD 8-CD））2， 解得：解得：CD=3cm CD=3cm CD=3cm．． 点评：本题利用了：本题利用了：11、折叠的性质：折叠是一种、折叠的性质：折叠是一种对称对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，BC BC，也就是说等，也就是说等8，CD 为AC 的一半，故△CDE 的周长为8+3=118+3=11；； 当A 翻折时，翻折时，A A 点与D 点重合．同理DE 与EC 的和为AC=6AC=6，，CD 为BC 的一半，所以CDE 的周长为6+4=106+4=10．故△CDE ．故△CDE 的周长为1010．． 点评：本题考查图形的翻折变换．12．故填40．故填4040．．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般．∵∠1=64°，∵∠1=64°，∴∠3=∠1=64°，∴∠3=∠1=64°，∴∠4=180°∴∠4=180°--2∠1=180°∠ANB+∠MNC=180°∠ANB+∠MNC=180°--∠ANM=90°．∠ANM=90°．点评：综合考查了折叠得到的对应角相等及平角定义．15．故应填5．考点：翻折变换（折叠问题）．考点：翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据两根据两直线直线平行内错角相等和同旁内角互补，以及折叠关系列出方程解则可．可．解答：解：根据题意：2∠1与∠2互补，互补，得到：2∠1+∠2=180°，得到：2∠1+∠2=180°，∵∠1=70°，∵∠1=70°，∴140°+∠2=180°，∴140°+∠2=180°，∴∠2=40°∴∠2=40° 13．故应填52°．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：根据根据补角补角的定义、折叠的性质和平行线的性质可求解． 解答：解：由折叠的性质可得∠3=∠1，解：由折叠的性质可得∠3=∠1，-2×64°=52°2×64°=52°∵长方形的对边平行，的对边平行，∴∠2=∠4=52°．∴∠2=∠4=52°．点评：此题主要利用了折叠的性质和平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 14．故应填90°．考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：易得∠ANM=∠ADM=90°，那么根据平角定义即可得到所求的两个角的度数之和．解答：解：根据折叠的性质，有∠ANM=∠ADM=90°；故 专题：应用题．分析：根据AD 是△ABC 的中线，BC=10BC=10，，先求得BD=5BD=5，，由折叠的性质知BC 1=BD=5=BD=5．． 解答：解：由折叠可知DC=DC 1，∠ADC=∠ADC 1=60°，∴∠BDC 1=60°，=60°，又∵AD 是△ABC 的中线，的中线，BC=10BC=10BC=10，，∴BD=DC=DC 1=5=5，，∴△B ∴△BDC DC 1为等边三角形，∴BC 1=BD=5=BD=5．．16．故本题答案为7516． 考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：由翻折的性质知D′F=DF，D′F=DF，CE=AE CE=AE CE=AE，且，且CE=BC-BE 长，再证得△ABE≌△AD′F，有AF=AD-FD AF=AD-FD，则，则S△A E F =12AF•AB．AF•AB． 解答：解：由题意知，D′F=DF，解：由题意知，D′F=DF，CE=AE CE=AE CE=AE，， 在Rt△ABE 中，中，AB AB 2+BE 2=AE 2，AB 2+BE 2=（BC-BE BC-BE））2，即32+BE 2=（4-BE 4-BE））2，解得：解得：BE=BE=78， ∵∠D′AF+∠EAF=∠EAF+∠BAE=90°，∴∠D′AF=∠BAE ∴∠D′AF=∠BAE又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB 又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB∴△D′AF≌△BAE ∴△D′AF≌△BAE∴FD=D′F=BE=78． ∴AF=AD ∴AF=AD-FD=4- -FD=4- 78 =258∴S △A E F =12 AF•AB=12 ×258 ×3=7516 ． 故本题答案为7516 ．考点：翻折变换（折叠问题）．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．，故由，故由勾股定理勾股定理求得BE 的点评：本题考查了翻折的性质，本题考查了翻折的性质，全等三角形全等三角形的判定和性质、勾股定理． 17．故应填78°． 专题：压轴题．分析：在图①的△ABC 中，根据中，根据三角形内角和三角形内角和定理，可求得∠B+∠C=150°；结合折叠的性质和图②③可知：∠B=3∠CBD，即可在△CBD 中，得到另一个关于∠B、∠C 度数的等量关系式，联立两式即可求得∠B 的度数．的度数．解答：解：在△ABC 中，∠A=30°，则∠B+∠C=150°…①；根据折叠的性质知：∠B=3∠CBD，∠BCD=∠C；在△CBD 中，则有：∠CBD+∠BCD=180°中，则有：∠CBD+∠BCD=180°--82°，即：82°，即：13 ∠B+∠C=98°…②；①-②，得：23∠B=52°，∠B=52°， 故应填 3 ．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压：解：连接CB′．cos∠ACB=cos30°=a：解答题19．考点：全等三角形的判定；三角形内解得∠B=78°．解得∠B=78°．点评：此题主要考查的是图形的折叠此题主要考查的是图形的折叠变换变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．关系是解答此题的关键．18．轴题． 分析：连接CB′．由于B'B'为长方形纸片为长方形纸片ABCD 的对称中心，∴AB′C 是矩形的对角线．角线．由折叠的性质知可得△ABC 三边关系求解．三边关系求解．解答由于B'B'为长方形纸片为长方形纸片ABCD 的对称中心，∴AB′C 是矩形的是矩形的对角对角线．线．由折叠的性质知，AC=2AB′=2AB=2b，由折叠的性质知，AC=2AB′=2AB=2b，∴sin∠ACB=AB：∴sin∠ACB=AB：AC=1AC=1AC=1：：2，∴∠ACB=30°．∴∠ACB=30°．b= 3 3 ．．点评：本题利用了：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，锐角三角函数的概念求解．角和定理；翻折变换（折叠问题）． 专题：操作型；探究型．分析：（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点顶点是对应点，重合的角是对应角；点，重合的角是对应角；（2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；（3）根据（）根据（22）中的表示方法，可以求得∠1+∠2，再找到∠A 和x 、y 之间的关系，就可建立它们之间的联系．系，就可建立它们之间的联系．解答：解：（1）△EAD≌△EA'D，其中∠EAD=∠EA'D，∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE；（2）∠1=180°）∠1=180°-2x -2x -2x，∠2=180°，∠2=180°，∠2=180°-2y -2y -2y；；（3）∵∠1+∠2=360°）∵∠1+∠2=360°-2-2-2（（x+y x+y）=360°）=360°）=360°-2-2-2（180°（180°（180°--∠A）=2∠A．∠A）=2∠A．规律为：∠1+∠2=2∠A．）（8分）分）点评：根据图形，找出需要的点的坐标即可根据图形，找出需要的点的坐标即可21．考点评：在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质．20．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题；压轴题；网格型．分析：考查平面直角坐标系的基本知识，但同时也考查了考查平面直角坐标系的基本知识，但同时也考查了待定系数法待定系数法， 解答：解：（1）A （-1-1，，3），B （-4-4，，2．（2分）分）（2）解法1：∵：∵直线直线MN 经过坐标原点，经过坐标原点，∴设所求函数的关系式是y=kx y=kx，，又点M 的坐标为（的坐标为（11，2）， ∴k=2．（3分）分）∴直线MN 所对应的函数关系式是y=2x y=2x．．（4分）分）解法2：设所求函数的关系式是y=kx+b y=kx+b，，则由题意得：îïíïìb ＝0 k +b ＝2， 解这个解这个方程组方程组，得îïíïìk ＝2 b b＝＝0 ，（6分）分）∴直线MN 所对应的函数关系式是y=2x y=2x．．（3）利用）利用直尺直尺和圆规，作线段AB 关于直线MN 的对称图形A′B′，如图所示．点：作图-轴对称变换．专题：作图题；压轴题；网格型．分析：在平移时要注意平移的方向和平移的距离．确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的确定图形中的关键点关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后所得到的图形即为平移后的图形．的图形．轴对称图形轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，对应点到对称轴的距离相等，利用此性质找对应点，利用此性质找对应点，利用此性质找对应点，顺次连顺次连接即可．接即可．解答：解：作图如右图：解：作图如右图：分析：（1）根据网格可以看出三角形的底AB 是5，高是C 到AB 的距离，是3，解：（1）画出对应点的位置，连接即可．画出对应点的位置，连接即可．点评：本题考查的是平移变换与轴对称变换本题考查的是平移变换与轴对称变换作图作图．作平移图形时，作平移图形时，找找关键点的对应点也是关键的一步．的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：平移作图的一般步骤为：平移作图的一般步骤为：①①确定平移的方向和距离，确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；先确定一组对应点；先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；②确定图形中的关键点；②确定图形中的关键点；③利用第③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作轴对称后的图形的依据是作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质轴对称的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用轴②利用轴对称性对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．22．考点：作图-轴对称变换．专题：综合题．利用面积公式计算．利用面积公式计算． （2）从三角形的各）从三角形的各顶点顶点向y 轴引轴引垂线垂线并延长相同长度，找对应点．顺次连接即可．可．（3）从图中读出新三角形三点的坐标．）从图中读出新三角形三点的坐标．解答：S △A B C =12 ×5×3=152（或7.57.5））（平方单位）．（2）如图．）如图．（3）A 1（1，5），B 1（1，0），C 1（4，3）．点评：本题综合考查了三角形的面积，网格，本题综合考查了三角形的面积，网格，轴对称图形轴对称图形，及直角坐标系，学生对所学的知识要会灵活运用．对所学的知识要会灵活运用．23．故本题答案为（-2，0），（4，4）． 考点：作图-轴对称变换．专题：压轴题；规律型．分析：（1）点P 关于点A 的对称点M ，即是连接PA 延长到M 使PA=AM PA=AM，所以，所以M 的坐标是，N （4，4）； 故答案为：故答案为：M M （-2-2，，0），N （4，4）；（2）棋子跳动3次后又回点P 处，且2008÷3=669…1，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M 处，处，∴PM ∴PM==OM 22+OP 22 =22+22 ＝2 2 2 ．．答：经过第2008次跳动后，棋子落点与P 点的距离为2 2 2 ．．点评：考查学生对点对称意义的理解及学生在新的知识环境下运用所学知识的能力．本题着重考查学生探索规律和计算能力．24．考点：作图-轴对称变换．专M （-2-2，，0），点M 关于点B 的对称点N 处，即是连接MB 延长到N 使MB=BN MB=BN，，所以N 的坐标是N （4，4）；（2）棋子跳动3次后又回点P 处，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M 处，根据处，根据勾股定理勾股定理可知PM 的值．的值．解答：解：（1）M （-2-2，，0）题：网格型．分析：（1）从三角形的三边向y 轴引轴引垂线垂线，并延长相同的距离找到三点的对称点，顺次连接．顺次连接．（2）从图形中找出点C′，并写出它的坐标．C′，并写出它的坐标．解答：解：（1）如图；）如图；（2）根据）根据轴对称图形轴对称图形的性质可：C′（的性质可：C′（44，3）． 点评：本题主要考查了轴对称图形的作法，注意本题主要考查了轴对称图形的作法，注意画轴对称图形画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是关键．然后顺次连接是关键．25．考点：作图-轴对称变换．专题：网格型．分析：根据点关于y 轴对称的特点找出各点的对称点，然后顺次连线即可． 解答：解：（1）A （-3-3，，3），B （-5-5，，1），C （-1-1，，0）；（3分）分）（2）如上图．）如上图．26．考点：作图-轴对称变换．专题：网格型．分析：（1）分别作A、B 、C 关于MN 的对称点，顺次连接即可；的对称点，顺次连接即可；（2）可在△ABC 所在的2×3的网格中求面积．解答：解：（1）作图正确给5分；分；（2）此三角形面积为：）此三角形面积为：S △A B C =S 矩形D E C F -S △A B D -S △A C F -S △B E C=2×3=2×3--2×（较到位，学生需要学会触类旁通，举一反三．27．考点：作图-轴对称变换．专题：网格型．分析：（1）用矩形面积减去周围三角形面积即可；（2）画一个面积为解答：解：（1）根据面积公式得：方法一：）根据面积公式得：方法一：S=S=12×6×4=12；×6×4=12； 方法二：S=4×6方法二：S=4×6- - 12 ×2×1×2×1- - 12 ×4×1×4×1- - 12 ×3×4×3×4- - 12×2×3=12；×2×3=12； （2）（只要画出一种即可）（只要画出一种即可） 12 ×1×2）×1×2）- - 12 ×1×3=6×1×3=6-2- -2- 32 =52．（5分）分） 点评：此题考查此题考查轴对称图形轴对称图形的作法、动手操作、面积的计算，对综合能力考查比12的等腰三角形，即底和高相乘为24即可．即可．（8分）对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．28．故应填-4,1．考点：作图-轴对称变换．点评：解答此题要明确：如果一个图形沿着一条解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是完全重合，这个图形就是轴对称图形轴对称图形；专题：网格型．分析：将“小猪”所占的面积转化为三角形和将“小猪”所占的面积转化为三角形和四边形四边形面积的和来解答，合理地进行图形的移动和变换是做此题的关键．解答：解：（1）4×4×12 +8×3×12 +1×1×12=32.5 =32.5；；（3分）分） （2）（画图）（6分）分）（3）（-4-4，，1）．（7分）分）点评：解答此题要明确解答此题要明确轴对称的性质轴对称的性质：①对称轴是一条直线．①对称轴是一条直线．②垂直并且平分一条②垂直并且平分一条线段线段的直线称为这条线段的垂直平分线，的直线称为这条线段的垂直平分线，或中或中或中垂线垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．③在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等． ④在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．⑤如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．直平分线．29．故应填3 ．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题．。
八(上)数学第2章《轴对称图形》教案(含答案)
八（上）数学第2章《轴对称图形》教案（含答案）一．轴对称图形二．镜面对称三．轴对称的性质四．作图-轴对称变换五．翻折变换（折叠问题）六．利用轴对称设计图案七．角平分线的性质八．线段垂直平分线的性质九．等腰三角形的性质十．等腰三角形的判定十一．等腰三角形的判定与性质十二．等边三角形的性质十三．等边三角形的判定十四．等边三角形的判定与性质十五．含30度角的直角三角形十六．直角三角形斜边上的中线一．轴对称图形（共6小题）（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列银行的标识中，是轴对称图形的是（）A．中国建设银行B．招商银行C．交通银行D．中国农业银行3．下列四个图形中，是轴对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．线段、正三角形，平行四边形、菱形中，只是轴对称图形的是．5．平行四边形，长方形，等边三角形，半圆这几个几何图形中，对称轴最多的是．6．如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有个．二．镜面对称（共4小题）1、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．2、关于镜面问题动手实验是最好的办法：写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．1．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是．2．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是．3．开车时，从后视镜中看到后面一辆汽车车牌号的后四位数是“”，则该车号牌的后四位应该是．4．室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：20三．轴对称的性质（共10小题）（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．1．下列说法错误的是（）A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合B．线段是轴对称图形C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称D．轴对称图形的对称轴至少有一条2．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，点E，F分别在线段BD、CD上，点G 在EF的延长线上，△EFD与△EFH关于直线EF对称，若∠A＝60°，∠BEH＝84°，∠HFG＝n°，则n＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB＝15，DE＝10，∠D＝70°．求∠B的度数及BC、AD的长度．5．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（）A．AC＝DF B．BO＝EO C．AD⊥l D．AB∥EF第5题第6题第7题第8题6．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（）A．5个B．6个C．7个D．8个7．如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为．8．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．9．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．10．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA，有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA 平分∠BOC；其中正确的结论个数是（）A．0个B．3个C．2个D．1个四．作图-轴对称变换（共6小题）几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．1．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）求△ABC的面积．2．已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；（3）若点B的坐标为（4，2），请写出点B经过两次图形变换的对应点B2的坐标．3．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）作出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A1B1C1．（2）说明三角形A2B2C2可以由三角形A1B1C1经过怎样的变换而得到？（要说明变换过程）4．已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣P A|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣P A|的最大值．5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1．6．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）顶点A关于x轴对称的点的坐标A'（，），顶点C先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标C'（，）；（2）将△ABC的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1得△DEF，请你直接画出图形；（3）在平面直角坐标系xOy中有一点P，使得△ABC与△PBC全等，这样的P点有个．（A点除外）五．翻折变换（折叠问题）（共8小题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．1．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝65°，那么∠2等于．2．如图，E是AB边上的中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长等于（）A．4+B．8C．4D．6第2题第3题第4题3．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕，若∠DBA＝80°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（）A．30°B．45°C．74°D．75°5．如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且ED′在∠A′EF内部，如图2，设∠A′ED'＝n°，则∠FEG的度数为（用含n的代数式表示）．32．如图，图①是一个四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为边AB，CD上的两点，且∠BEF＝27°，将纸条ABCD沿EF所在的直线折叠得到图②，再将图②中的四边形BCFM沿DF所在直线折叠得到图③，则图③中∠EFC的度数为．6．如图已知，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上．有下列结论：①EF平分∠MED；②∠2＝2∠3；③∠1+∠3＝90°；④∠1+2∠3＝180°其中一定正确的结论有．（填序号）7．如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A．B．C．D．六．利用轴对称设计图案（共6小题）利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．1．如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．2．如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有种不同的涂法．3．如图所示，在4×4的正方形网格中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．△ABC是一个格点三角形，请你在图1，图2，图3中分别画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图不能重复．）4．如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，小明用n个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．（1）用含a、b的式子表示c；（2）当n＝2时，求小明拼出来的图形总长度；（用含a、b的式子表示）（3）当a＝4，b＝3时，小明用n个这样的图形拼出来的图形总长度为28，求n的值．5．如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形．并画出它的一条对称轴（如图例．画对一个得1分）6．如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个七．角平分线的性质（共11小题）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点第1题第2题第3题第4题2．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC3．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2.5，则两平行线AD与BC间的距离为（）A．3B．4C．5D．64．已知：DA平分∠CAB，DB平分∠ABC，DE⊥AB于点E，△ABC的周长是12，面积是6，则DE的长是．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求出此时t的值；（2）若点P使得PB+PC＝AC时，求出此时t的值．6．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：P A平分∠MAN．7．如图，△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD ⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为cm．8．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4B．5：3C．4：3D．3：410．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（）A．8B．6C．5D．411．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．八．线段垂直平分线的性质（共12小题）（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．1．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线2．若P是△ABC所在平面内的点，且P A＝PB＝PC，则下列说法正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条角平分线的交点C．点P是△ABC三边上高的交点D．点P是△ABC三边中线的交点3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC 三个顶点距离相等的点是（）A．点E B．点F C．点G D．点H第3题第4题第5题4．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．105．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm6．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC 于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BD于点E，连接CE，若∠A＝60°，∠ACE＝24°，则∠ABE的度数为（）A．24°B．30°C．32°D．48°8．如图，在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠BAD＝15°，BD＝18cm，则AC的长是cm．9．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．10．已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D 为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连结AE．（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；（2）证明：l垂直平分AE．11．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．12．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．九．等腰三角形的性质（共6小题）（1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．1．如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是（）A．16 cm B．20cm C．21 cm D．16或20cm2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等3．等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，等腰三角形的周长为（）A．7B．11或7C．11D．7或104．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为（）A．5B．7.5C．9D．105．已知，等腰三角形的一边是3，另一边是方程+＝1的解，则这个三角形的周长是（）A．10B．11C．10或11D．7或86．如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其它两个内角为（）A．50°，80°B．65°，65°C．50°，65°D．50°，80°或65°，65°十．等腰三角形的判定（共11小题）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．1．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的小正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，现已知A、B、C、D都是格点，则下列结论中正确的是（）A．△ABC、△ABD都是等腰三角形B．△ABC、△ABD都不是等腰三角形C．△ABC是等腰三角形，△ABD不是等腰三角形D．△ABC不是等腰三角形，△ABD是等腰三角形2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．（1）若BE﹣EC＝2，求CE的长；（2）若∠A＝36o，求证：△BEC是等腰三角形．4．下面叙述不可能是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形5．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（）A．120°B．75°C．60°D．30°35．在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D②取BC边的中点D，连接AD③过点A作AD⊥BC，垂足为点D④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点DA．1个B．2个C．3个D．4个36．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的点P 有个．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：AD∥EF；（2）求证：△AFG是等腰三角形．38．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的项点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．739．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组40．如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是．十一．等腰三角形的判定与性质（共15小题）1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线【“三线合一”】，3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．1．用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（）A．9个B．7个C．6个D．5个3．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是．4．如图，点G在CA的延长线上，AF＝AG，AD⊥BC，GE⊥BC．求证：AD平分∠BAC．证明：∵AF＝AG（已知），∴∠AGF＝∠AFG（）．∵AD⊥BC，GE⊥BC（已知），∴∠ADC＝∠GEC＝90°（）．∴AD∥GE（）．∴∠CAD＝（两直线平行，同位角相等）．∠BAD＝∠AFG（）．∴∠CAD＝∠BAD（等量代换）．∴AD平分∠BAC（）．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC 交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，DE经过点O，且DE∥BC，DE分别交AB、AC于D、E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2B．3C．4D．57．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，BE⊥BD，DE∥BC，BE与DE交于点E，DE交AB于点F．（1）若∠A＝56°，求∠E的度数；（2）求证：BF＝EF．10．（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF 之间的关系．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．13．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？十二．等边三角形的性质（共7小题）（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．1．如图，在△ABC中，点D，E在边上，DE∥BC，若△ADE是等边三角形，AD＝2，BD＝3，则△ABC的周长为（）A．6B．9C．15D．182．如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF 的值是（）A．12B．8C．4D．33．如图，直线l1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝°．第3题第4题第5题4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC为等边三角形，则∠ADC的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形△ACD，连接BD．则BD 的最大值是．6．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°7．如图，在等边△ABC中，BD＝2DC，DE⊥BE，CE，AD相交于点P，则（）A．AP＞AE＞EP B．AE＞AP＞EP C．AP＞EP＞AE D．EP＞AE＞AP十三．等边三角形的判定（共9小题）（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．1．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．2．如图，△ABC中，∠A＝60°，分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交AC于点D，连结BD，则△ABD是三角形．3．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC4．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（填序号）．5．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．6．如果三角形的三边a、b、c适合（a2﹣2ac）（b﹣a）＝c2（a﹣b），则a、b、c之间满足的关系是；有同学分析后判断△ABC是等边三角形，你的判断是．7．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②④C．①③D．②③④8．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．9．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，。
轴对称知识点及习题
第十三章轴对称轴对称知识要点1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠;直线两旁的部分能够互相重合;这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠;如果它能够与另一个图形重合;那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称;这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称;那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点;在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点x;y关于x轴对称的点的坐标为x;－y；点x;y关于y轴对称的点的坐标为－x;y；温馨提示1．轴对称图形是针对一个图形而言;是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言;它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中;关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同;纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数;纵坐标相同．等腰三角形知识要点1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角”；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合简写成“三线合一”．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等;那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边”．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等;并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中;如果一个锐角等于30°;那么它所对的直角边等于斜边的一半．温馨提示1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中;在两个三角形中时;上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：1必须是在直角三角形中；2必须有一个锐角等于30°．方法技巧1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法;当要证明同一个三角形的两个内角相等时;可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法;当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时;可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题;本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．2012·连云港下列图案是轴对称图形的是2．众所周知;几何图形中有许多轴对称图形;写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．答案不唯一3．如图;阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形;请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形;使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图;△ABC和△ADE关于直线l对称;下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图;∠A=90°;E为BC上一点;A点和E点关于BD对称;B点、C点关于DE对称;求∠ABC 和∠C的度数．6．如图;△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．1结合图形指出对称点．2连接A、A′;直线m与线段AA′有什么关系3延长线段AC与A′C′;它们的交点与直线m有怎样的关系其他对应线段或其延长线的交点呢你发现了什么规律;请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图;在Rt△ABC中;∠ACB=90°;AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F;若∠F=30°;DE=1;则EF的长是A．3 B．2 C D．18．如图;在△ABC中;BC=8;AB的垂直平分线交BC于D;AC的垂直平分线交BC与E;则△ADE的周长等于________．9．如图;AD⊥BC;BD=DC;点C在AE的垂直平分线上;那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P－2;3关于y轴的对称点为Qa;b;则a+b的值是A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P23－2a;2a－5是第三象限内的整点横、纵坐标都为整数的点;称为整点;则P1点的坐标是__________．13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中;BF、CF是角平分线;DE∥BC;分别交AB、AC于点D、E;DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．填序号3．如图;已知△ABC是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BE是∠ABC的平分线;DE⊥BC;垂足为D．1请你写出图中所有的等腰三角形；2请你判断AD与BE垂直吗并说明理由．3如果BC=10;求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图;在等边△ABC中;AC=9;点O在AC上;且AO=3;点P是AB上一动点;连接OP;以O为圆心;OP长为半径画弧交BC于点D;连接PD;如果PO=PD;那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中;∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O;且OD∥AB;OE∥AC．1试判定△ODE的形状;并说明你的理由；2线段BD、DE、EC三者有什么关系写出你的判断过程．6．如图;△ABC中;AB=BC=AC=12 cm;现有两点M、N分别从点A、点B同时出发;沿三角形的边运动;已知点M的速度为1 cm/s;点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时;M、N同时停止运动．1点M、N运动几秒后;M、N两点重合2点M、N运动几秒后;可得到等边三角形△AMN3当点M、N在BC边上运动时;能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN 如存在;请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图;A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置;直线a表示输水总管道;直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点;安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼;要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中;点A′是点A关于直线b的对称点;A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点;B′A 分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图;现准备在一条公路旁修建一个仓储基地;分别给A、B两个超市配货;那么这个基地建在什么位置;能使它到两个超市的距离之和最小保留作图痕迹及简要说明。
轴对称的性质
B′
B A A′ l B
B′
●
O
A′
B′ A′ A l
●
l
活 1.如图，画出△ABC关于直线MN的对称图形 动 Aˊ 2 M
Bˊ B A C
N
Cˊ
作法:1、作AP⊥直线m于P，延长AP至Aˊ,使 APˊ=AP,则点Aˊ就是点A关于直线m的对称点,同理 点B和点C一样作. 2、连结AˊBˊ，BˊCˊ，CˊAˊ
点A，A′是对称点，设 AA′交对称轴MN于点P， 将△ABC和 △A′B′C′沿直 线MN折叠后，点Ａ与Ａ′ 重合，于是有：
B
M
A
P
A′
C
C′ B′
N
ＡＰ＝ＰＡ′，∠ＭＰＡ＝ ∠ＭＰＡ′＝９0° 对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中 M 点，并且垂直于这条线段。
A
p
A′
P.
.Q
C
Q
C′
B
G
N
B′
轴对称的性质
1、轴对称图形：
如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的 部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做对称轴，对折后图形上能够互 相重合的点叫对称点。 2、轴对称： 如果把一个图形沿某一条直线折叠后，能够与另 一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直 线成轴对称。这条直线叫做它们的对称轴，折叠 后两个图形上互相重合的点叫对称点。
｛ ｛b=4 2a+b=-8 a=6 ｛-3a=b+2 b=-20 ｛
2a+b=8 3a=b+2
a=2
■轴对称图形的对称轴的条数( A.只有1条 B.2条 C.3条 D.至少一条
)
欣赏大自然风景， 说说图中的对称轴.
1.3探索轴对称的性质——1.1认识三角形
知新篇一.轴对称的性质及其应用（1）轴对称的性质：①对应点所连的线段被对称轴 。
②对应 相等，对应 相等。
（2）如图是一个轴对称图形，直线AO 是对称轴， 则相等的线段有： = ， = 。
线段CD 被直线AO 。
量得30B∠，则∠E= 。
（3）设A 、B 两点关于直线MN 对称，则_____垂直平分______。
（4）等腰三角形是轴对称图形，它的底边被对称轴_________。
提醒：（1）对称轴上的点即是对应点所连线段的垂直平分线. （2）找准对应线段和对应角。
二.轴对称在实际中的应用 1.按边分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 2.按角分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 三.三角形的三边关系1.AB+AC BC, AB-AC BC.2.结论：三角形两边的和______第三边．三角形两边的差____第三边．【典例】【思路分析】判断三条线段能否组成三角形可根据三角形三边关系：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行判断.最简单方法是：看较短两边的和是否大于最长边. 【解析】【点睛】在判断已知三条线段是否能够组成三角形，必须满足下列两个条件之一：（1）如果选最长边作第三边，则需判断其余两边之和大于第三边，（2）如果选最短边作第三边，则需判断其余两边之差小于第三边.三角形三边关系靓题拾贝三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和大于第三边．（2）三角形任意两边之差小于第三边．注意：这里的“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值． 一、 判断三条已知线段能否组成三角形【例1】已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 （ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，10解：选C ．对于A ，1+2=3，所以A 不能，对于B ，2+5＜8，所以B 不能，对于D ，4+5＜10，所以D 不能． 二、已知三角形的周长，判断三边能否组成等腰三角形【例2】将长度为12m 的一根铁丝，截成三段，能围成等腰三角形的是 （ ） A.8m ，2m ，2m B.7m ，2.5m ，2.5m C.6m ，3m ，3m D.1m ，5.5m ，5.5m 解：选D ．根据三边关系，三个选项A 、B 、C 均有两边之和小于或等于第三边． 三、已知三角形的两边长，求第三边取值的个数【例3】已知三角形的三边长分别是3、8、x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个解：选D ．根据三角形三边关系有：8-3＜x ＜8+3即5＜x ＜11，若x 为偶数，则x=6，8，10.1.探新知 预习乐园提素能 自测自评A B ECD O214版北师七上学案教用P12左上T22.如图，ABC △与A B C '''△关于直线l 对称，则B ∠的度数为（ ） A ．30B ．50C ．90D 100．3.下列图形中，哪一幅成轴对称（ ）4.已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ）A.6个B.5个C.4个D.3个5.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取 了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）A.5mB.15mC.20mD.28m6.一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示，则这辆汽车的牌号应为______．7.如图，三角形纸片ABC ，10cm 7cm 6cm AB BC AC ===，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则AED △的周长为 cm ．8.两根木棒的长分别是8cm ，10cm ，要选择第三根木棒将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长x 的取值范围是________.9.如图所示，在△ABC 中，D ，E 是BC ，AC 上的两点，连结BE ，AD 交于F ，（1）图中有几个三角形?并表示出来;（2）△BDF 的三个顶点是什么?三条边是什么? （3）AB 边是哪些三角形的边? （4）F 点是哪些三角形的顶点?10.一个等腰三角形的周长是36 cm ．（1）已知腰长是底边长的2倍,求各边的长； （2）已知其中一边长8cm ，求另外两边的长．11.已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ．（1）求第三边的取值范围； （2）已知第三边长是偶数，求第三边长；（3）求周长的取值范围．12.（全家总动员）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？答案探新知，预习乐园:一、1.互相重合 对称轴2.（1）（2）（4）（5）是轴对称图形，都有2条对称轴，（3）是轴对称图形，有无数条对称轴。
七年级数学下册轴对称图形(湘教版)
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十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。——佚名
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二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德
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二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利
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二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底
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二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩
4.下列图形中对轴称只有两条的是( )
A.圆
B.等边三角形
C.长方形
D.等腰梯形
【解析】选C.圆有无数条对称轴,故A选项错误;等边三角形有3
条对称轴,故B选项错误;长方形有2条对称轴,故C选项正确;等腰
梯形有1条对称轴,故D选项错误.
5.如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
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四十三、梦想家的缺点是害怕命运。——斯·菲利普斯
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四十四、从工作里爱了生命，就是通彻了生命最深的秘密。——纪伯伦
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四十五、穷人并不是指身无分文的人，而是指没有梦想的人。——佚名
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四十六、不要怀有渺小的梦想，它们无法打动人心。——歌德
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四十七、人生最苦痛的是梦醒了无路可走。做梦的人是幸福的；倘没有看出可以走的路，最要紧的是不要去惊醒他。——鲁迅
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二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁
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二十九、梦想家命长，实干家寿短。——约·奥赖利
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三十、青年时准备好材料，想造一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚。——佚名
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三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。——毛姆
-轴对称例题与讲解
13.1 轴对称1．轴对称图形(1)概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．(2)理解：轴对称图形是对一个图形而言，是一种具有特殊性质的图形，它能被一条直线分割成两部分，沿这条直线折叠时，其中一部分能与这个图形的另一部分重合．(3)对称轴：对称轴是一条直线，有的轴对称图形只有一条对称轴，而有些轴对称图形有几条甚至无数条对称轴．“圆的对称轴是圆的一条直径”为什么不对呢?对称轴是一条直线，而直径是线段，所以圆的对称轴是直径所在的直线．并且圆有无数条对称轴．一定要注意哦！解技巧轴对称图形的识别判断一个图形是否是轴对称图形可以根据定义，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够重合．另外还可以观察是否有对称轴，能找到对称轴也说明是轴对称图形．【例1】下列图形中，是轴对称图形的是()．A．①②B．③④C．②③D．①④解析：观察图形，①④的图形都能找到一条直线，沿这条直线对折，图形两边能够重合，而②③的图形中找不出这样的直线，因此只有①④是轴对称图形．答案：D2．轴对称(1)概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线叫做对称轴．(2)含义：轴对称图形是两个图形之间的关系，这两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，即全等．(3)对称点：折叠后重合的对应点叫对称点，两个图形正是由无数个对称点组合而成的，也正是无数个对称点的重合构成了图形的重合．(4)与轴对称图形的异同：a．区别：轴对称图形指的是一个图形本身的特点，而轴对称指的是两个图形之间的关系．b．联系：都关于某条直线对称，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体图形，那么它就是一个轴对称图形，如果把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称．析规律轴对称的特点图形的轴对称和平移一样，都是图形位置的变换，共同的特点是变化后图形的大小、形状都没有改变，不同点是变换的方式不同，所以性质也不尽相同，判断的方法关键看变换方式．【例2】如图所示，下列每组中两个图形成轴对称的是()．解析：图A、B、C沿某一条直线折叠，左右两个图形不能重合，所以它们不构成轴对称．如图，D 沿右图所画直线折叠，左右两个图形能够重合，所以成轴对称．答案：D3．线段的垂直平分线(1)概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．(2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(3)判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．(4)线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合．这是线段垂直平分线的集合定义．谈重点 线段垂直平分线及性质与判定的理解和应用 ①线段的垂直平分线必须同时具备两个条件：过线段的中点和垂直于这条线段．②线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段其中的一条对称轴．③线段垂直平分线的性质是证明线段相等的一种方法，运用过程中可以省去证明三角形全等，使得过程更简便．【例3】 已知线段AB ，直线CD 是AB 的垂线，垂足为O ，且OA ＝OB ，若点M 在直线CD 上，则MA ＝__________；若NA ＝NB ，则点N 在__________．解析：本题是线段垂直平分线性质和判定的最基本的应用，根据CD ⊥AB ，又经过线段AB 的中点O ，所以CD 为线段AB 的垂直平分线，所以有MA ＝MB ，因为NA ＝NB ，由线段垂直平分线的判定定理可知点N 在直线CD 上，即线段AB 的垂直平分线上．答案：MB 线段AB 的垂直平分线CD 上4．线段垂直平分线的画法(1)折叠法：将线段两端点对齐，沿线段折叠重合，折痕就是线段的垂直平分线．(2)尺规作图法：如图，①分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C 、D 两点；②作直线CD ；CD 即为所求作的直线．【例4】 如图，在某条公路的同旁有两座城市A 、B ，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么位置，能使两座城市到这个医院的路程一样长？分析：两座城市A 、B 到这个医院的路程一样长，说明这所医院要建在AB 的垂直平分线上，又要在公路边，所以应是AB 垂直平分线与公路的交点处．解：如图所示，(1)连接AB ，分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C ，D 两点；(2)作直线CD ，交公路所在直线于P ，则点P 即为所建医院的位置．5．轴对称(轴对称图形)的性质(1)关于某条直线轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角相等，只要是对应的部分就全等．(2)对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．(3)对应线段所在的直线的交点在对称轴上．谈重点 成轴对称的两个图形的性质特征 (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够相互重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．(2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等，正如全等的两个三角形对应边上的高、中线也相等一样．【例5】如图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线l 对称，下列结论中：①△ABC ≌△A ′B ′C ′；②∠BAC ′＝∠B ′AC ；③l 垂直平分CC ′；④直线BC 和B ′C ′的交点不一定在l 上．正确的有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个解析：①由轴对称性质可知，关于某条直线对称的两图形重合，所以△ABC≌△A′B′C′；②由轴对称性质可知对应角∠BAC＝∠B′A′C′，等号两边同时都加上∠CAC′，可得∠BAC′＝∠B′AC；③点C与点C′为对称点．对称轴垂直平分对称点连线，所以也正确；④BC和B′C′为对应线段，由性质可知，所在直线的交点一定在对称轴上．由以上分析可知①②③都正确，只有④错误，所以选B.答案：B6．轴对称(轴对称图形)对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．(1)两个图形成轴对称或轴对称图形的对称轴是对应点连线的垂直平分线，这是画图形的对称轴的依据.(2)作已知图形的对称轴的步骤：找特殊对称点→作对称的两点的垂直平分线.【例6】如图，试作出下列图形中的一条对称轴．分析：作图的关键在于找到对称点，等边三角形ABC中B、C是一对对称点，所以作BC的垂直平分线即可得到△ABC的一条对称轴；同样在正五边形ABCDE中，B与E、C与D是对称点，所以作BE 或CD的对称点都能得到正五边形ABCDE的对称轴．解：如图．7．线段垂直平分线性质的应用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，在这个性质中，它的条件是“一条直线垂直平分一条线段”，结论是“这条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等”，它是证明线段相等常用的一种方法．析规律利用线段垂直平分线的性质证明线段相等用线段垂直平分线性质解决问题，一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段(常用的添加辅助线的方法)，从而由性质可以直接得到相等的两条线段，因为它省去了证明三角形全等，所以较为简便，它通常和三角形周长，等腰三角形知识相结合运用．8．线段垂直平分线判定的应用与一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，它的题设是“一个点到一条线段的两个端点的距离相等”，结论是“这个点在这条线段的垂直平分线上”，这与线段垂直平分线性质的题设和结论正好相反；线段垂直平分线的判定是为数不多的证明点在线上的定理，很多时候用在作图中，用来确定到两固定点距离相等的点．破疑点判定线段垂直平分线的方法判断一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明该直线上有两个点到线段两端点的距离相等，因为只有两点才能确定一条直线．【例7】如图1，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC 的关系如何？请用一句话表示：________________________________.图1图2 解析：如图2，连接OA 、OB 、OC ，因为EF 垂直平分AB ，所以OA ＝OB .因为GH 垂直平分AC ，所以OA ＝OC . 所以OB ＝OC ，即点O 到边BC 两端点的距离相等．答案：点O 到边BC 两端点的距离相等(答案不唯一，也可以说成点O 在BC 的垂直平分线上)【例8】 (综合应用题)如图，AD 为△ABC 的角平分线，AE ＝AF ，请判断AD 是否是EF 的垂直平分线？如果不是请说明理由，如果是，请给予证明．解：AD 是EF 的垂直平分线．证明：因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AE ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，所以△AED ≌△AFD .所以DE ＝DF ，所以D 在EF 的垂直平分线上．同样AE ＝AF ，A 也在EF 的垂直平分线上．所以AD 是EF 的垂直平分线．9．生活中的镜面对称生活中的倒影，镜子中的影像是日常生活中最常见的轴对称，它们都具备轴对称的特点，如果沿某一条直线折叠一样能够重合．因而实物和图形大小形状也完全一样．只要注意观察，会有很多有趣的现象和规律．解技巧 镜面问题的解决方法①镜面对称问题可以看作是沿镜子的左右边沿轴对称，镜子的边沿所在的直线就是对称轴，判断标准是沿镜子左或右边沿折叠就会重合，如果是在透明纸上的图案，从反面看到的影像，就是原来的图案；②对于倒影问题，水面所在的直线是对称轴，沿这条直线折叠观察，就可得到原来图案．【例9－1】 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如下图所示，则实际时间是( )．A ．21：10B ．10：21C ．10：51D ．12：01解析：镜面中的影像问题是以镜面的左边沿或右边沿所在的直线为对称轴的轴对称，假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到10：51，或将此图案从反面观察，也可得到10：51.答案：C【例9－2】 一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是__________．解析：只需将倒影沿图案上沿或下沿某一条直线翻折，即可得到该车牌的号码为W5236499.同样在纸上也可以从反面，倒看也能得到它的轴对称图形W5236499.答案：W5236499.10.折叠问题中的轴对称折叠问题是近几年中考的热点，它主要分为两类：(1)一类是图形的折叠问题，一般是将矩形、正方形、三角形沿某条线段所在的直线折叠，求角的度数．这类问题，条件隐蔽，要仔细观察图形，善于运用隐含条件解决问题．(2)另一类是折纸问题，大多是将一个正方形纸片，经过几次轴对称折叠，挖取其中的一小部分，观察展开后的图形，观察得到的是哪种图案．解决方法一般是将所给图案按逆顺序复原，看是否能得到折叠后的图案，另一种方法是折叠、观察、想象，最好的办法是动手按题目要求折叠、裁剪、展开观察．析规律利用轴对称性质解决折叠问题解决这类问题的关键是，折叠前后重合的部分全等，即折叠前和折叠后盖上的部分重合，所以对应角、对应线段相等．【例10－1】如图，把一个长方形沿EF折叠后，点D、C分别落在D1、C1的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED1＝__________度．解析：因为AD∥BC，所以∠DEF＝∠EFB＝65°.又因为折叠前后重合的部分全等，所以∠AED1＝∠DEF＝65°.所以∠DED1＝130°.所以∠AED1＝180°－∠DED1＝50°.答案：50【例10－2】如下图所示，把一个正方形纸片对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是()．解析：解题关键是明确两条折痕都是对称轴，故本题可借助空间想象，将两次对折后的图形沿两条折痕展开，易知展开后的图形应是B.注意折叠方向和剪去的角度．答案：B。
轴对称图形及性质专项练习30题(有答案)ok
25．如图，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，若△PEF的周长是30cm，求MN的长．
26．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．
轴对称图形及性质专项练习30题（有答案）
1．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
2．如本题图所示，这是我国四所著名大学的校微图案，如果忽略各个图案中的文字、字母和数字，只关注图形．其中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．小明从镜子中看到对面电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（ ）
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3；
故选：C
2．解：根据轴对称图形的概念可得：A、B和C选项中的图案是轴对称图形，D选项中的图案不是轴对称图形，
故选D
3．解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：51成轴对称，
所以此时实际时刻为10：51．
故选C
4．解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子，则应该在C和D选项中选择，D更接近8点．
A．
2种
B．
3种
C．
4种
D．
5种
13．下列说法错误的是（ ）
A．
线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线
《轴对称与轴对称图形》知识点总结
轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
lA B⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
轴对称整章知识点+复习试题[含答案解析]
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m CA B P 图3图2mC A B第十二章 轴对称知识点总结 我保证认真独立地完成今天的作业！签名：____________一、知识梳理1、轴对称图形____________________ ____________________________ 这条直线叫做________________。
互相重合的点叫做________________。
轴对称_______________________________________________ _ 这条直线叫做________________。
互相重合的点叫做________________。
2、轴对称图形与轴对称的区别与联系：区别________________________________________________。
联系________________________________________________。
3、轴对称的性质：_______________________________________________。
_______________________________________________。
4、线段的垂直平分线定义：________________________________________________如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
5、线段的垂直平分线性质:_______________________________________________。
如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
6、等腰三角形定义:___________________________________________：7、等腰三角形性质:___________________________________________：___________________________________________：8、等腰三角形判定。
中考复习 轴对称与图案设计(含答案)
中考系列复习之（1）轴对称一、基础知识梳理（一）主要概念1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，•直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．2．线段的垂直平分线：线段是轴对称图形，•它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．3．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（二）主要性质1．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．3．等腰三角形是轴对称图形等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等．4．两个图形关于某条直线成轴对称，•则对应点所连的线段被对称轴垂直平分．对应线段相等，对就角相等．二、考点与命题趋向分析（一）能力1．通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，•理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．2．能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；•探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．3．探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、•圆）的轴对称性及其相关性质．4．欣赏现实生活中的轴对称图形，•结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计．5．了解角平分线及其性质．6．了解线段垂直平分线及其性质．7．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质．（二）命题趋向分析1．中考中常在拼图中考查轴对称的有关概念，考查学生动手操作能力．【例1】（2001年福建省福州市）两个全等的三角板，•可以拼出各种不同的图形，图中已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．【思路分析】只要对轴对称图形的概念清楚，弄清题意，本题还是很容易完成的，现举几例如下．【解】2．有些找规律题也利用轴对称图形出题．【例2】（2004年烟台市）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5•个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）①F R P J L G □；②H I O □③N S □；④B C K E □⑤V A T Y W U □A．Q X Z W D B．D M Q Z X C．Z X M D Q D．Q X Z D M 【思路分析】第①组不是中心对称图形，也不是轴对称图形，应填Q；第②组既是中心对称图形，也是轴对称图形，应填X；第③组是中心对称图形，不是轴对称图形，应填Z；第④组不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条水平线，应填D；第⑤组也不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条竖线，应填M．【解】选D三、解题方法与技巧方法1：转化方法【例1】如图所示，已知等腰三角形ABC ，AB 边的垂直平分线交AC 于D ，AB=•AC=8，BC=6，求△BDC 周长．【解】∵DE 是AB 的垂直平分线∴点B 、A 关于BD 轴对称∴AD=BD∴△BCD 的周长=BC+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC ∵AC=8，BC=6∴△BCD 周长=8+6=14．【规律总结】本题的思路主要是将线段转化代换，把三角形周长转代为已知线段的和，这种转化的思想是解决数学问题的重要思想方法．【例2】如图所示，在公路a 同侧有两个居民小区A 、B ，•现需要在公路旁建一个液化气站，要求到A 、B 的距离之和最短，这个液化气站应建在哪一个地方？【解】已知直线a 和a 的同侧两点A 、B ，如同所示．求作：点C ，使C 在直线a 上，并且使AC+BC 最小．作法：1．作A 点关于直线a 的对称点A ′．2．连结A ′B 交直线a 于点C ，则C 就是所求作的点． 【规律总结】本题通过作点A 关于直线a 的对称点A 把AC+BC 的和最短问题转化为A ′、B 两点之间线段最短的问题．方法2：分类讨论法【例3】如图所示，在四个正方形拼接的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？请在下面简要写出你的探究过程．______________________________________________________________________________________________________。
轴对称图形的性质
5. 下面说法中正确的是（ Ｃ）
Ａ.设Ａ，Ｂ关于直线MN对称，则 AB垂 直平分MN。 Ｂ.如果△ABC≌△DEF,则一定存在 一条直线MN，使△ABC与△DEF关 于MN对称。 C.如果一个三角形是轴对称图形，且 对称轴不止一条，则它是等边三角形。 Ｄ.两个图形关于MN对称，则这两个 图形分别在MN的两侧。
3个 D.
下面说法中正确的是（ ）
线的垂直平分线） B B' (2)在上面扎字的过程中，点E与点E´重合，点F与点F´重合．折痕所在直线为l，连接点E与点E´的线段与l有什么关系? (对应点,对称点
) 右图是一个轴对称图形：
C
C'
（3）线段AD与线段A′D′有什么关系？
D．这直线两旁或这直线上
（2）连接点A与点A′的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B′的线段呢？
右图是一个轴 对称图形：
（2）连接点A 与点A′的线段 与对称轴有什 么关系？连接 点B与点B′的线 段呢？
右图是一个轴 对称图形：
对应点所连的 线段被对称轴 垂直平分。
右图是一个轴 对称图形：
（3）线段AD 与线段A′D′有 什么关系？ 线段BC与 B′C′呢？为 什么？
对应线段相等，
右图是一个轴 对称图形：
轴对称图形的性质
轴对称图形
把一个图形沿着某条直线对折， 直线两旁的部分能够完全重合， 那么这个图形叫做轴对称图形
成轴对称
两个图形沿着某条直线对折，如果 直线两旁的部分能够互相重合，那 么，我们就说这两个图形关于这条 直线成轴对称。
全等图形
两个能够完全重合的图形称为全等 图形
1、轴对称图形和轴对称的区别
轴对称图形
图
A
轴对称经典中考试题及答案解析一
轴对称经典中考试题及答案解析一知识点1：轴对称图形定义：如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的局部能够互相，.这时我们就说这个图形关于这条直线〔或轴〕对称.如图12-2所示，△ABC是轴对称图形.【答案】直线、对称轴、1.〔2006广东深圳〕以下图形中，是．轴对称图形的为〔 D 〕ＡＢＣＤ知识点2：两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称〔也叫轴对称〕，这条直线叫做，折叠后的点是对应点，叫做对称点.如图12-3所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，直线l叫做对称轴.A和A′,B和B′，C和C′是对称点.【答案】另一个图形、对称轴、互相重合2.如图12－8所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.【答案】图〔1〕〔3〕〔4〕〔6〕〔8〕〔10〕是轴对称图形；图〔2〕〔5〕〔7〕〔9〕成轴对称.知识点3：轴对称的性质：〔1〕如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 .〔2〕成轴对称的两个图形，如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形，这两个图形。
3.〔2006扬州〕如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形， OC是对称轴，∠A=35°，∠ACO=30°，那么∠BOC=°．∆≅∆,【提示】由轴对称图形的性质可知：ACO BCO得∠BOC＝∠AOC=180°－∠A－∠ACO=115°知识点4：线段的垂直平分线定义和性质及判定定义：经过线段并且于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 .判定:与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的上. 【答案】中点、垂直、相等、垂直平分线4.〔2006淮安〕如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，那么△CDE的周长是〔 B 〕A．6 B．8 C．9 D．10,【答案】由垂直平分线的性质可知：EA EC所以△CDE的周长＝CD+DE+EC=CD+DE+EA=CD+DA=AB+BC=3+5=8,选B。
第二章 轴对称图形
提示：从水中看物体——上下颠倒
轴对称的性质： 成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分； 成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称； 成轴对称的两个图形全等.
【要点诠释】 ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等， 是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段 或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到 如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分 展开后的平面图形是（ A ）
小试牛刀
指出下列图形的对称轴：（注意有的图形可能不 止一条）
■轴对称图形的对称轴的条数( D )
A.只有1条 B.2条 C.3条 D.至少一条
■下列图形中对称轴最多的是( A )
ABCDEFG HIJKLMN OPQRSTU
VWXYZ
例1、电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（C ）
A.21：10 B.10：21 C.10：51 D.12：01 【思路点拨】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与 现实中的事物恰好左右或上下颠倒，且关于镜面对称. 【答案与解析】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片 与10:51成轴对称，所以此实际时刻为10:51，故选C. 【总结升华】本题考查镜面反射的原理与性质，从镜子里看物体 ——左右相反. 【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应
第二章
动手做一做
观察下面的图形，动手折一折，把它们 剪出来并与同学交流你的剪法。
2.1 轴对称与轴对称图形
观察下面的图形，你能发现它们有 什么共同的特征吗？
轴对称、轴对称图形与轴对称的性质
Day1：轴对称与轴对称图形、轴对称的性质【知识梳理】知识点1：轴对称与轴对称图形如图所示，左边的三角形如果沿着中间的直线翻折，它将可以和右边的三角形完全重合．也就是说将一个图形沿着某条直线翻折，它能和另一个图形完全重合，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；重合的角是对应角；重合的线段是对应线段．轴对称描述了两个图形之间的关系．如图所示，这些都是目前世界上著名品牌的商标．通过观察我们不难发现，第一行和第二行的第四个商标与前三个不一样，前三个似乎都有着一种奇特的样貌．如果一个图形沿着某条直线翻折，直线两旁的部分能完全重合，我们把这样的图形称为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果把轴对称图形沿对称轴分成两个图形来看，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．如果把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形．知识点2：轴对称的性质1、成轴对称的两个图形全等．2、成轴对称的两个图形，如果对应线段所在直线有交点，交点必在对称轴上．3、成轴对称的两个图形，对称点连线被对称轴垂直且平分．【典型例题】1.下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（）A．1B．2C．3D．42.已知线段AB和''A B轴对称，求画出对称轴l．3.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150°B．210°C．105°D．75°4.如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴（保留作图痕迹）．5.点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE=．参考答案1、【答案】C【解析】第一个是轴对称图形，有2条对称轴；第二个是轴对称图形，有2条对称轴；第三个是轴对称图形，有2条对称轴；第四个是轴对称图形，有3条对称轴；∴对称轴的条数为2的图形的个数是3.2、【答案】见解析【解析】连接'AA，画出'AA的垂直平分线即为对称轴l．3、【答案】A【解析】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．故选A．4、【答案】如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）．5、【答案】80°。
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第2章《轴对称图形》：2.2 轴对称的性质选择题1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．55°C．45°D．50°（第1题）（第3题）（第4题）2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°3．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°填空题4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=度．（第5题）（第6题）（第7题）6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=度．7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为度．8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度．9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2=度．（第8题）（第9题）（第10题）10．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=．11．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．13．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．14．如图，点P关于OA OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OBCD为厘米．（第14题）（第15题）（第16题）15．如图，已知正方形的边长为6cm，则图中阴影部分的面积是 cm2．16．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．17．如图，a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度．18．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于度．（第18题）（第19题）（第20题）19．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．20．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．21．如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=度．（第21题）（第22题）（第23题）22．如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为．23．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= 度．24．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为．2（第24题）（第25题）（第26题）25．如图，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF=度．26．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，BC=2cm，把△ACD沿AD对折，使点C落在E的位置，则BE= cm．27．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠θ的度数是度．（第27题）（第28题）28．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为cm．答案：选择题1．故选A．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据对折，对折角相等，由直线平行，内错角相等，根据角的等量关系，求得∠1．解答：解：作图如右，∵图形对折，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3=130°，∴∠1=65°，故选A．点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．2．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠前后对应角相等可知．解答：解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．填空题4．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：因为平行所以有∠EFG=∠CEF，又由题意可知∠FEC和∠FEG本就是同一个角，所以相等，根据平角概念即可求出∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFG=∠CEF=58°，∵∠FEC=∠FEG，∴∠FEC=∠FEG=∠EFG=58°，∴∠BEG=180°-58°-58°=64°．点评：此题主要考查了折叠的性质和平行线的性质．学生平时要多进行观察，总结规律．明白折叠后等角是哪些角．5．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．解答：解：根据长方形的对边平行，得AD∥BC，∴∠DEF=∠1=58°．再根据对折，得：∠GEF=∠DEF=58°．再根据平角的定义，得：∠AEG=180°-58°×2=64°．点评：运用了平行线的性质，还要注意折叠的题目中，重合的两个角相等，结合平角的定义即可求解．6．故填52．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答．解答：解：∵该纸条是折叠的，∴∠1的同位角的补角=2×64°=128°；∵矩形的上下对边是平行的，∴∠1=∠1的同位角=180°-128°=52°．点评：本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质．7．故填55．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：利用平行线的性质和翻折变换的性质即可求得．解答：解：∵∠ABC=110°，纸条的上下对边是平行的，∴∠ABC的内错角=∠ABC=110°；∵是折叠得到的∠1，∴∠1=0.5×110°=55°．故填55．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等．8．故填65．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．解答：解：根据题意得2∠1与130°角相等，即2∠1=130°，解得∠1=65°．故填65．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般． 9．故填110°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题． 分析：如图，因为AB∥CD，所以∠BEM=∠1（两直线平行，内错角相等）；根据折叠的性质可知∠3=∠4，可以求得∠4的度数；再根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数． 解答：解：∵AB∥CD，∴∠BEM=∠1=140°，∠2+∠4=180°， ∵∠3=∠4，∴∠4=12∠BEM=70°，∴∠2=180°-70°=110°． 点评：此题考查了折叠问题，注意折叠的两部分全等，即对应角与对应边相等．此题还考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．10．故填115°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．解答：解：∵四边形EFGH 是四边形EFBA 折叠而成， ∴∠2=∠3，∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，∴∠2=∠3=12 （180°-50°）=12 ×130°=65°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB=180°，∴∠AEF=180°-65°=115°．点评：解答此题的关键是明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角便可轻松解答．11．故答案为：40°．考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．解答：解：∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°，∴80°+2（180°-∠B）=360°，∴∠B=40°．故答案为：40°．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．12．故阴影部分的面积为8cm2．考点：轴对称的性质．专题：压轴题．分析：正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．解答：解：依题意有S阴影=12×4×4=8cm2，故阴影部分的面积为8cm2．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．13．答案为5个．考点：轴对称的性质．专题：压轴题；网格型．分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．解答：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．点评：本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．14．故答案为：8．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．解答：解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；。