结构动力学之结构的稳定计算

第二类稳定问题（极值点失稳）
特征：结构受力开始 就有变形，当力大于
P
eP P
Pcr时，结构变形发展
很快，在此过程中无
Δ B Pe C Pc r
A
突然变化，但是由于
变形的增大或材料的 应力超出许可值导致
P
O
Δ
偏心受压杆及荷载--位移曲线 第二类稳定问题应按大挠度理论建立应力应变关系，并 且在荷载达到临界值之前，结构部分进入塑性状态，不在讨 论之列。
无限自由度体系的稳定 静力法
p pcr pcr R
解：建立坐标系、取隔 离体、写平衡方程
M p y R (l x ) (1)
l-x
EI
l
y
M(x)
x
x
将 M EIy 代 入 式 （ 1） ： EIy py R( l x )
p , EI 则：y 2 y R (l x ) ( 2) EI
稳定方程（特征方程： ） D 1 0 0

l 1 0 0
cos l si n l
R cosαl A sinl B 0 0 p
l cos l sin l 0 tg l l
无限自由度体系的稳定 静力法
tg l l
左式为“超越方程”
能量法
（3）直杆稳定（刚性杆）
p
pcr

依能量准则： U Tr
即 1 k ( l sin )2 pl(1 cos ) 2
3 5 7 sin ... 1 3! 5! 7! 2 4 5 2 cos 1 ... 1 2! 4! 6! 2
图3 图2 图1
（体系的总势能） U（变形势能） W（外力势能）
W Tr ( 外力的功） U Tr
（2）当体系偏离平衡位置，发生微小移动时
若U Tr , 则原体系处于稳定平衡 。
若U Tr , 则原体系处于不稳定平 衡。
若U Tr , 则原体系处于随遇平衡 ，利用此条件确定临界 荷载。
k l
EI

2 1 k ( l )2 pl 2 2
pcr kl
能量法计算公式（单杆）
x
pcr
1 l M2 1 l kQ2 1 l N2 (1)变 形 能 ： U ds ds ds 0 0 0 2 EI 2 GA 2 EA
不计剪力、轴力影响， EIy M
M p( y ) (1)
将 M EIy 代入式（ 1）： EIy py p
令 p , EI 则：y 2 y 2 (2)
解为： y A cos x B sin x y A sin x B cos x
( 3 )依 能 量 准 则 ， 令 式 （ A） 式 （B） ： pcr

l
0
EI ( y )2 dx
( y ) dx
2 0
l
( 14 24 )
无限自由度体系的稳定
设弹性曲线为多参数曲线：
能量法
（二）用势能原理建立的能量准则（适用于多自由度体系）
y( x ) aii a11 ( x ) a22 ( x ) a33 ( x )
无限自由度体系的稳定 静力法
解为： y A cos x B sin x y A sin x B cos x
2、 边 界 条 件 ： （1）x 0 （2）x 0 （3）x l y 0 y 0 y Δ- y l 1 A 0 B 1 Δ 0 0 A B 0 Δ 0
A P cr
稳定平衡 不稳定平衡 B 随遇平衡
sin cos 0 即 tan
k tan k 1 因此， P l sin l cos
O
θ
不考虑分枝点后P的增加，则 Pcr k / l
按小挠度理论分析
0 1、
由小挠度理论：
0 2、
P为任意值，即无外界干扰时， 结构无挠度，不会失稳。
能量法
求图示结构的临界荷载. 解: 应变能
l
P k
EI
y
P

Ve
外力势能
1 ky y 2
22 2 1 y 2 y 2 2l( ) l( ) Py 2 2 l 2l 2l lk P 2 * y 结构势能 EP Ve VP 2l dEP lk P 由势能驻值原理 y0 dy l 得临界荷载 Pcr lk
EI
A
x y
A
y
M A p
p
解：建立坐标系后，以 下半部为隔离体写平衡方程
M py M A py p p( y )
亦得同样结果。
能量法
（一）用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系） 1、三种平衡状态 （1）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。 （2）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。 （3）随遇平衡： 偏离平衡位置，总势能不变。 2、解题思路 （1）当外力为保守力系时
1）若结构能够回到原来的平衡位置， 则原来的平衡状态成为稳定平衡状态。
2）若结构继续偏离，不能够回到原来的平衡位置，
则原来的平衡状态成为不稳定平衡状态。 3）结构由稳定平衡过渡到不稳定平衡的中间状态 则为中性平衡状态。
稳定计算的两类问题
稳定是指对结构施加一微小干扰，使其离开初始位置，当 干扰力撤去以后，结构能恢复到原来的平衡位置。反之，若干 扰力撤去以后不能回到原来的位置，则称结构失稳。 工程中通常有两类失稳问题，即第一类稳定问题和第二类 稳定问题。对于没有缺陷的完善体系，属于第一类失稳问题； 对于存在初弯曲或初偏心等缺陷的结构，其失稳时一般遵循第 二类稳定问题的规律。 研究稳定问题是考虑变形后的状态来进行分析的，分析时 有大变形和小变形两种理论。
按大挠度理论分析
结构变形后的平衡状态如 图（b），由B点平衡得：
Pl sin k 0
方程有两解： 0 P k l sin 1、 0
（a ） lsin θ B
P<k θ /l
（b）
Lsin θ
P>Pcr
Hd
θ θ
k θ
θ
H’d
A
k 时，稳定平衡 当P l
5 2
2
0
3 2
EI 2 EI 得 ：pcr 4.493 EI 20.19 2 l (0.7l )2
2
4.493
2
l
无限自由度体系的稳定 静力法
例14-1 试求图示结构的临界荷载
p
C
pcr

pcr
l l
B
EI
x M(x) x y y
EI
A
解： 1、建立坐标系、取隔 离体、写平衡方程
第一类稳定问题（分支点失稳）
特征：当荷载小于 P<P cr 临界荷载时，结构 无初始位移，受到 B 干扰力作用时，变 形可恢复；当荷载 大于临界荷载时， 结构受到一微小干 A 扰就会突然产生较 大的侧移而失稳。 稳定平衡
P>P cr
B
P
不稳定
大挠度
Δ m B`
P2 Pc r
C B A P1 O
小挠度
xl
1 α sin l A cos l B ( cos l A sin l B ) l 即：(l sinl cosl)A (l cosl sinl)B 0
1 于是： 0 (l sinl cosl)
0
1 0 0 0
解“超越方程”的两种方法： 1、逐步逼近法（试算法）：
给初值后，代入方程，计 算tg l l , 使其逐渐逼近于零，从 而求得 。
2、图解法：
以l为自变量，分别绘出z= l和z=tg l的图形，求大于零的第一个交点，确定l。
z tg l
z l
z
将 l 4.493代 入 pcr 2 EI
m y ( x)
COMPANY NAME
结构动力学
第八讲 结构的稳定计算
工程学院海洋工程系 刘臻
结构的平衡状态
从稳定性角度考虑，平衡状态具有三种情况： （1）稳定平衡状态； （2）不稳定平衡状态；
（3）中性平衡状态；
结构的平衡状态
假设结构原来处于某个平衡状态，后来由于受到 轻微扰动而稍微偏离原来位置。当干扰消失后
i 1 n
总势能： U W U Tr 1 1 2 2 EI ( y ) dx p EI ( y ) dx 2 2 1 1 EI ( a ii)2 dx p EI ( a ii )2 dx 2 2

de dx
e
l

y
1 l U EI(y)2 ds (A) 2 0
l 0
(2)外力的功： Tr pe p de
de dx(1 cos ) dx Tr p
l
2
2

1 ( y ) 2 dx 2
1 ( y ) 2 dx ( B ) 0 2

(l cosl sinl)
1 l
EI l2
3、 展 开 、 整 理 后 ， 得 定 稳方 程 ： tgl
4、 解 稳 定 方 程 ， 得 ： pcr 2 EI 0.74
无限自由度体系的稳定 静力法
（另法）试求图示结构的临界荷载
p
C
pcr
x
y
l l
B
EI
x
M(x)
D D'
A
不稳定平衡
稳定 Δ
中心压杆的荷载位移曲线
Pcr称为临界荷载，它对应的状态称为临界状态，因为B点为 稳定平衡与不稳定平衡的分支点，所以Pcr又称为分支荷载，又由 于结构破坏的突然性，Pcr又称屈曲荷载。 压杆和梁等结构屈曲后所承担的荷载可略有增加，但由于变 形迅速增大，故不考虑此部分承载力。
结构不能工作。
(a) 偏心受压杆
(b) 荷载——位移曲线（P—Δ 曲线）
结构的稳定计算
稳定验算与强度验算区别
稳定验算 目的 防止出现不稳定的平衡状态 强度验算 保证结构的实际最大应力不超过 相应的强度指标
内容
研究结构同时存在的两种本质 不同的平衡状态的最小荷载值， 求解结构在荷载下的内力问题 即临界荷载
P
C
平衡方程可以简化为：
Pl k 0 P k / l
P cr
cos 1 tan sin
A
随遇平衡
B
即有外界干扰时，结构失稳时的临界荷载为：
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O
θ
Pcr k / l
θ可以为任意值，即结构处于随意平衡状态。大小挠度 理论求出的分枝点荷载临界值是相同的，但是失稳后的承载 能力结论是不同的。
* e
V P i i P
l l cos 2l sin
2

无限自由度体系的稳定 静力法
无限自由度体系的典型代表：压杆稳定问题
静力法解题思路：
1）先对变形状态建立平衡方程； 2）根据平衡形式的二重性建立特征方程； 3）由特征方程求出临界荷载 无限自由度体系的平衡方程为微分方程 而不是代数方程，是区别于有限自由度体系 的不同点
k P 不稳定平衡 l k P 随遇平衡 l
k θ θ
稳定平衡
不稳定平衡
按大挠度理论分析
k 时 0 2、 P l sin
(1)
P D C
为求Pθ最大值，令 dP 0 d
dP k 1 (sin cos ) 0 2 d l sin
代入时式（1）可以得到：
y
令
式（2）为常系数二阶非齐次 微分方程，其解： y A cos x B sin x
R (l x) p
由边界条件确定微分方 程中的常数：
x 0 y 0 x 0 y 0 x l y 0 1 A 0 B l R 0 p R 0 A α B 1 0 p
分析方法 实质
根据结构变形后的状态建立平 采用未变形前的状态建立平衡方 衡方程求临界荷载 程及变形协调条件求内力
是变形问题 是应力问题
静力法
以下图所示单自由度体系为例研究
（a） P<P cr B l （b） cr Lsin θ P>P
θ
A kθ θ
P Pcr
P Pcr
时，体系处于稳定平衡状态 时，体系处于不稳定平衡状态