光的干涉习题课

e r 2 （2）
2R
R
代入式（1）得
r R(k 2e0 )
rA
e e0
k 为正整数，且
k
2e0
3．折射率为n =1.20的油滴在
平面玻璃（折射率为n 1.50)上
形成球形油膜，以 600nm光
垂直入射，观察油膜反射光的干涉条纹，
求若油膜中心最高点与玻璃平面相距
1200nm，能观察到几条明纹？
S S2
r0'
（8）光源的非单色性的影响？
j
该干涉级对应的光程差为实现相干的最大光程差
max
j( )
2
相干长度
3．图示，设单色光垂直入射，画出干涉 条纹（形状，疏密分布和条纹数）
（1）上表面为平面，下表面为圆柱面的 平凸透镜放在平板玻璃上。
由 2nd 得明纹条件
2
2nd k
7
当 d 7 时,2 k 4 4
4
可观察到第四级明条纹，即
d 0
d 7 4
k 1,
d1
1 4
k 2,
d2
3 4
k 3,
d3
5 4
7 4
k 4,
d4
7 4
由图知可得明条为8条，
暗条为7条的直线干涉条纹
（图示）。
d 0 d 7 4
1234
暗纹中心 明纹8条 暗纹7条
（2）平板玻璃放在上面，下面是 表面为圆柱面的平凹透镜。
同理，由 2nd k
2
d 0
可观察到第 k 4 的明
条纹，但对应d 7 处， 只有一条明条纹，4 则共 d 0
可看到
d 7 4
d 0
d 7 4
d 0
7条明纹、8条暗纹
（图示）
432 1
明纹7条 暗纹8条
4．图示牛顿环装置中，平板
玻璃由两部分组成的
( n3 1.50, n3 ' 1.75 )，透镜玻
由于两束光频率不同，不
相干，无干涉条纹。
S1
S
o
S S2
（6）将光源沿平行S1S2连线 方向作微移，图样如何变？
图示S向下移动，此时 S' S1 S' S2 ，于是 中央明纹的位置向上移动。
（7）如果光源S有一定宽
S1
度，情况又如何？（光源 S d
o
的线度的影响）
临界宽度 2SS' r0'
d
镜形成一等效的空气薄膜，产生干涉。
视场中干涉条纹移动的数目与相应的空 气薄膜厚度改变（平面镜平移的距离）的
关系 d N
2
三、讨论 1．单色光λ垂直入射劈尖， 讨论A、B处的情况
n1 n2 n3
B处光程差 A处条纹明暗
2n2d 明
A
B n1
n2 n3
d
n1 n2 n3
B处光程差 2n2d A处条纹明暗 明
n1 n2 n3
B处光程差
2n2d
2
A处条纹明暗 暗
B处光程差
2n2d 2
n1 n2 n3
A
A处条纹明暗 暗
B n1
n2 n3
d
2．杨氏双缝干涉中，若有下列变动，干涉 条纹将如何变化
（1）把整个装置浸入水中，条纹变密？疏？
光程差
n r
n(r2
r1 )
nd
x d'
条纹间距 x d ' 则条纹变密
d2
条纹间距 x d'
d
4．薄膜干涉（振幅分割法）
入射光在薄膜上表面由于反射和折射
而分振幅，在上、下表面的反射光干涉
（1）等倾干涉
光程差
2d
n2 2
n12
sin
2
i1
2
2dn2
cos i2
2
（ n1 n2 n3或n1 n2 n3）
s
F
(2)
上、下表面的反射光（2） 和（3）在F点相遇干涉，
璃的折射率 n1 1.50，玻璃与透镜之间的间
隙充满 n2 1.62的介质，试讨论形成牛顿环
的图样如何？ 讨论：
n2 1.62 n1 1.50 n2
n3 1.50 n3'1.75
分别写出左右两侧的反射
光的光程差表示式（对应同一厚度）
左 2n2d 2
与
右 2n2d
可见，对应同一厚度处，左 右两侧的光程差相差半波长 2 ，
2d cosi
2 j 相长
2
(2 j 1) 相消
2
L
2
i
F
同心圆环状的亮暗相间条纹
i 0,
2d cosi
2j
相长
2
(2 j 1) 相消
2
M 1M
2’
d,i给定,则j被定下！
第一亮纹(即中央亮纹)
i
i 0, 2d j
L
第一暗纹
2
i 0, 2d cos i (2 j 1)
2
i
F
同心圆环状的亮暗相间条纹
则 2d(n 1) n 即 d(n 1) n
2
或插入玻璃片后，在该光路
上光程增加了(n 1)d ，相当
M2移动了d (n 1)d
M 2 M1
d (n 1)d n
2
解得 d n / 2(n 1) 5.93 103 cm
M2
(1) (2)
习题 P67,14 透过现象看本质！
此时两束光的干涉如图所示，
由于S1光线在平面镜反射且有半波损失 2 ，
因此干涉条纹仅在O点上方，且明暗条纹位
置与原来相反。
S1
S
o
S2
（4）两缝宽度稍有不等， 干涉图样如何变化？
干涉条纹位置不变，但干涉减弱不为零 （暗），整个条纹对比度下降，不够清晰。
（5）分别用红、蓝滤色片各遮住S1和 S2，干涉图样如何变化？
2n2d 2 (2k 1) 2
k 0,1,2,（暗纹）
相邻两明（暗）条纹处劈
尖厚度差d
(若
2n2
n2 1 ，则
d
2
)
n1
n2 n3
2n
（3）牛顿环干涉
干涉条纹是以接触点为中心的同心圆环，
其明环半径 r (k 1)R
2
R
暗环半径 r kR
r
其中R为透镜的曲率半径
5．迈克耳孙干涉仪 利用振幅分割法使两个相互垂直的平面
（2）光程差引起的相位变化为 2
其中为光程差，为真空中光的波长
（3）半波损失与附加光程差
2
两束光（反射光）由于相位突变所引起 的光程差。
3．杨氏双缝干涉（波阵面分
割法）
光程差 r
r2
r1
d
x d'Байду номын сангаас
S1 d
r1 r2
x o
S2
d
得：明纹条件 x k d ' k 0,1,2
d
暗纹条件 x (2k 1) d ' k 0,1,2
i 0,
2d cosi
2j
相长
2
(2 j 1) 相消
2
d,i给定,则j被定下！
两式相减：
第一亮纹(即中央亮纹)
i 0, 2d j
第一暗纹
i 0, 2d cos i (2 j 1)
2
2d (1 cos i)
2
cosi 0.03162
i 1.8
解： 在油膜上、下两表面
反射光均有相位跃变，所以， n 1.20
两反射光无附加光程差
n 1.50
因此明纹条件满足
2nd k (k 0,1,2 ) （1）
（0 d 1200nm ）k 0 时，
d0 0（油漠边缘处）
k 1 d1 250nm
k 2 d2 500nm k 3 d3 750nm
nd
S1
S
o
S2
（2）在缝S2处慢慢插入一块楔形玻璃片， 整个干涉条纹上移？下移？
图示由于S2到O点的光程逐渐增加，因 此S1到屏和S2到屏两束光线相遇处的光 程差为零的位置向下移动。
即整个干涉条纹向下移动。
S1
S
o
S2
（3）把缝隙S2遮住，并在两缝垂直平面 上放一平面反射镜，干涉图样如何变化？
(1)
n1
i1 i1D
A
(3)
C
形成明暗相间的同心圆环 n2 i2 E
状干涉条纹。
n3
B
(4) (5)
（2）劈尖等厚干涉
光程差 2d n22 （ n1 n2 n3或n1
n12 sin 2 i1
n2 n3）
2
i1 0
2n2d 2
n1
n2
2n
n3
所以
2n2 d
2
k
k 1,2,3 （明纹）
n 1.20
n 1.50
k 4 d4 1000nm
（或以d 1200nm代入式(1)，可得k取整数）
即可看到五条明纹同心圆环）
讨论：当油膜扩大时，条纹间距将发生
什么变化？（不变，变小，变大） 变大！
4 （1）迈克耳孙干涉仪中平面镜M2移动 距离 d 0.3220nm 时，测得某单色光的干涉 条纹移动 n 1204条，求波长
（设透镜的曲率半径为R）
解（1）设在A处，两束反
射光的光程差为
2(e0 e) 2
R
rA
e e0
[若计算透射光，图示 2(e0 e) ]
（2）形成的暗纹条件
2(e0 e) 2 (2k 1) 2
（1）
由图示几何关系知（设A处环半径r）
r 2 R2 (R e)2 R2 R2 2 Re e2 2 Re
即左边厚度 d 处为暗纹时，右
边对应厚度 d 处却为明纹，反之亦然，因 此可观察到的牛顿环的图样是：
左右两侧明暗相反的半圆环条纹 （图示）
四、计算
1．测量薄膜厚度。图示欲测
定 SiO2的厚度，通常将其磨 成图示劈尖状，然后用光的干涉方法测量。
若以 590nm光垂直入射，看到七条暗 纹，且第七条位于N处，问该膜厚为多少。
光的干涉习题课
一、基本要求
1．理解获得相干光的基本方法，
掌握光程的概念；
2．会分析杨氏双缝干涉条纹及薄膜干涉条
纹的位置和条件；
3．了解迈克耳孙干涉仪的工作原理。
二、基本内容
1．获得相干光的基本方法
（波阵面分割法，振幅分割法）
2．光程
（1）光在折射率n的介质中，通过的几 何路程L所引起的相位变化，相当于光在 真空中通过nL的路程所引起的相位变化。
习题 P67,14
M
中心亮条纹
1M
i 0, 2d cos i 2d j
2’
d j / 2 0.25mm
i
同心圆环状的亮暗相间条纹
L
2
i
F
习题 P67,14
M
中心亮条纹
1M
i 0, 2d cos i 2d j
2’
d j / 2 0.25mm
i
同心圆环状的亮暗相间条纹
i 0,
（2）若M2前插入一薄玻璃片，观察到干涉 条纹移动150条，设入射光 500nm ，玻璃
折射率 n 1.5 ，求玻璃片的厚度
解 （1）移动条纹数和M2 移动距离有如下关系式
M 2
M1
d n 2d 535nm
2
n
M2
(1) (2)
（2）插入厚度为 d 的薄玻璃
片，两束光的光程差改变了
(n 1)d 2
直距离为 ，今有七条暗纹，棱边为明
条纹，则其2n厚2 度
d (7 1)
1
1.27 105 nm
讨论：
2n2 2 2n2
如果N处为一明条纹如何计算？
如果N处不出现明、暗条纹，又如何计算。
2．牛顿环装置中平凸透镜与
平板玻璃有一小间隙 e0，现用 波长为 单色光垂直入射
（1）任一位置处的光程差
（2）求反射光形成牛顿环暗环的表述式
解：由于 n1 n2 ns 则
2n2d 由暗条纹条件得
2n2d (2k 1) 2
n1 N
SiO2 n2 1.5
n3 3.4
M
k 0, 1, 2
已知N处为第七条暗纹，而
棱边处对应k 0 的暗纹，所以 取 k 6 ，得
d (2k 1) 1.27 105 nm
4n2
方法2：劈尖相邻明条（暗条）间的垂