对偶问题(运筹学)

资源 产品
Ⅰ
Ⅱ
拥有量
设备 A
2
2
12
设备 B
1
2
8
原材料 A
4
/
16
原材料 B
/
4
12
2.资源最低售价模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z 2x1 3x2
设第i种资源价格为yi,( i=1, 2, 3) 则有
2x1 2x2 12

x1 2x2 8
························· a1n y1 + a2n y2 + ┈ + amn ym cn
yi 0，(i=1,2,···,m )
典式模型对应对偶结构矩阵表示
原问题
对偶问题
（1） max z = C X s.t AX b X0
min w = Y b
s.t YA C Y0
兼容性 原始问题的检验行的相反数给出对偶问题的一个基本解。
cj
基解 0 x3 4 5 x2 6 3 x1 4
42
35 x1 x2
0
0
0
1
1
0
0
0
y4 y5
σ1 σ2
00 0
x3 x4 x5
1 1/3 -1/3
0 1/2 0 0 -2/3 1/3
0 -1/2 -1
y1 y2 y3 σ3 σ4 σ5
比值
练习 解
min ω= 3 x1+2 x2 -1 x3
2 x1+1 x2+3x3 ≥ 2
s.t. 3 x1 -5 x2
≤5
1 x1+1 x2+1 x3 = 1
x1≤0, x3 ≥0
max z = 2y1+5y2+1y3
2 y1+3 y2 +1y3 ≥ 3
s.t. 1 y1 -5 y2 +1y3 = 2
max z'=-2x1-3x2+0x3 +0x4
s.t - x1-x2+x3=-3

- x1-2x2+x4=-4
xj 0, (j=1,2,3,4)
列单纯表计算：
Cj →
-2
-3
0
0
CB XB b
x1
x2
x3
x4
0 x3 -3
-1
-1
1
0
0 x4 -4
-1
-2
0
1
cj - zj
-2
-3
0 x3 -1
3 y1
+1y3 ≤ -1
y1 ≥0, y2 ≤0, y3自由
性质1 对称性 规范原始、对偶问题(P1)与(D1) 互相对偶。即对偶
问题的对偶是原问题。
性质2 弱对偶性 设X, Y分别为(P1)与(D1)的任意可行解，则
CX ≤Y b 性质3 最优性
设X,Y分别为(P1)与(D1)的任意可行解，则当
-1/2
0
-3 x2 2
1/2
1
0
0
1
-1/2
0
-1/2
cj - zj
-1/2
0
0
-3/2
-2 x1 2
1
-3 x2 1
0
cj - zj
0
0
-2
1
1
1
-1
0
-1
-1
1°把m阶LP问题化成标准形（允许其右端常数为负）, 在其系数阵中找出或构造一个m阶排列阵作初始基,
建立初始单纯形表。若所有检验数 j≤0，则转2°;
2°最优性检验：检查表中解列各数值bi；若所有bi≥0, 则问题已得最优解，停止计算; 否则转3°。
3°无可行解判断：只要存在一个br<0，它所在行中所 有 arj≥0，则原始问题无可行解，对偶问题无下界， 停止；否则转4°。
4°确定主元：先确定离基变量，按
min { bi︱bi < 0 } = bl 确定第 l行的基变量 xBl 离基，第 l行为主行；
每增加一个单位目标函数Z的增量。
（3）资源的影子价格实际上又是一种机会成本。在纯市场经济条 件下，当第2种资源的市场价格低于1/4时，可以买进这种资源； 相反当市场价格高于影子价格时，就会卖出这种资源。随着资源 的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化，一直到影子价格 与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。
序极
(P)
目标值
(D)
号 点 基 本解 k
Xk可 行 z = w Yk可 行
基 本解 k
1 O (0，0，8，12，36) 是
0 否 (0，0，0，-3，-5)
2 A (8，0，0，12，12) 是 24 否 (3，0，0 ，0，-5)
3 D (0，6，8，0，12) 是 30 否 (0，5/2，0，-3，0)
4 B (8，3，0，6，0) 是 39 否 (-3/4，0，5/4，0，0)
5 C (4，6，4，0，0)
是 42 是 (0，1/2，1，0，0)
6 E (12，0，-4，12，0) 否 36 否 (0, 0, 1, 0, -1)
7 G (0，9，8，-6，0) 否 45 是 (0, 0,5/4 ,3/4 ,0)
8 F (8，6，0，0 ,-12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
7. 互补松弛性 设
= ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P1) (D1)的一对互补基本解，那么
价，与该种资源的市场价格不同，因 此我们称之为影子价格。
（1）资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格
则有赖于资源的利用情况，是未知数。由于企业生产任务、产品 结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变。
（2）影子价格是一种边际价格，在（2-12）式中将Z对 求偏
导数得
，这说明 相当于在给定的生产条件下，
由于单纯表中同时反映原问题与对偶问题的最优解，故可以从 求对偶问题最优解角度求解LP模型。
例：
min z=2x1+3x2 s.t x1+x23 x1+2x2 4 x10, x20
标准化
max z'=-2x1-3x2+0x3 +0x4 s.t x1+x2-x3=3
x1+2x2-x4=4 xj 0, (j=1,2,3,4)
Y0
原问题(对偶问题) 目标函数系数 约束右端项 约束条件系数列向量 A
变量个数
max
变量 x j : xj 0 x j 无约束 x j0
约束方程: =
对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数行向量 AT 约束条件个数
min
约束方程 i : =
变量 y i : yi 0 y i 无约束 y i0
（2）若模型为
max z = C X
s.t AX b
X 0
变形
max z = C X
对偶问题
s.t - AX -b X 0 对偶变量Y
Min w=Y ´(-b)
st. Y ´(-A) C Y ´ 0
令 Y=- Y ´
min w = Y b
s.t YA C
Y 0
（3）max z = C X
······················· am1 X1 + am2 X2 + ┈ + amn Xn bm
xj 0，j=1,2,┈,n
对偶问题： s.t
min w = b1 y1 + b2 y2 + ┈ + bm ym
a11 y1 + a21 y2 + ┈ + am1 ym c1 a12 y1 + a22 y2 + ┈ + am2 ym c2
4 x1
16
y1 y2 y3

4x2 12
y4
x1, x2 0
(原问题)
<========>
( 对偶问题)
--4-- --第2章 对偶问题--
一般表示式：
原问题：
s.t
max
z = c1 X1 + c2 X2 + ┈ + cn Xn a11 X1 + a12 X2 + ┈ + a1n Xn b1 a21 X1 + a22 X2 + ┈ + a2n Xn b2
⑴ xj ym+j = 0， j = 1, 2 , … , n ⑵ xn+i yi = 0， i = 1, 2 , … , m
若Xˆ,Yˆ分别为原问题和对偶问题的可行解， 那么YˆX S 0和YS Xˆ 0;当且仅当，Xˆ ,Yˆ为最优解。
min ω=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5≥4 2x1-x2+3x3+x4+x5≥3 xj≥0，j=1，2，…，5
s.t AX b
X0
设X= -X´
变形
max = -CX ´
st. -AX´ b X´ 0
பைடு நூலகம்
min w = Y b s.t -YA - C Y 0
则有
min w = Y b
s.t YA C
Y 0
用矩阵形式表示：
（1） max z = C X s.t AX b <========> X 0
大连海事大学交通运输管理学院
2.4.1 对偶问题的提出 2.4.2 原问题与对偶问题 2.4.3 对偶问题的性质 2.4.4 对偶变量的经济含义 2.4.5 对偶单纯形法
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。 每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问 应如何安排计划使该工厂获利最多?
（2） max z = C X
s.t AX b <========>
X 0
min w = Y b s.t YA C
Y0
min w = Y b s.t YA C
Y 0
（3）max z = C X
s.t AX b <========>
X 0
min w = Y b
s.t YA C
已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5，y2*=3/5； z=5。试用对偶理论找出原问题的最优解 。
max z=4y1+3y2 y1+2y2≤2 y1-y2≤3 2y1+3y2≤5 y1+y2≤2 3y1+y2≤3 y1，y2≥0
①
②
③ ﹥④
⑤
得②=1/5<3，③=17/5<5，④=7/5<2
x1
+x3
=8
s.t.
2x2
3x1 + 4x2
+x4 = 12 +x5 = 36
x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
X*= (4 ,6)T
z*= 42 = w*
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T
( D1):min w=8y1+12y2+36y3 ( Ds):min w=8y1+12y2+36y3
它们为严格不等式；
由互补松弛性得 x2*=x3*=x4*=0。 因y1，y2 ﹥0；原问题的两个约束条件应
取等式，故有
x1*+3x5*=4，2x1*+x5*=3 求解后得到x1*=1,x5*=1；故原问题的最
优解为 X*=(1，0，0，0，1)T；ω*=5
对偶变量的意义代表对企业资源的估
例2-10 写出下述线性规划问题的对偶问题。
min z 2x1 3x2 5x3 x4
x1 x2 3x3 x4 5
2 x1
2x3 x4 4

x2 x3 x4 6
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2 ,x3 0, x4无约束
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T,
互补基本解
z* = 42
Y*= (0, 1/2, 1, 0, 0)T, w* = 42
( P1): max z = 3x1 +5x2
x1
≤8
s.t.
2x2 ≤ 12
3x1 + 4x2 ≤ 36
x1 ， x2 ≥ 0
( Ps): max z = 3x1 +5x2
则由表中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接 写出上述问题的对偶问题
max z' 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2
2

y1 3 y1
2 y2

y3 y3

3 5

y1 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无约束
后确定进基变量，按最小比值规则：
m in{ j / alj︱alj < 0 } = k / alk
CX = Yb
时， X, Y分别是(P1)与(D1)的最优解。
性质4无界性 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题的解无界， 则另一个问题无可行解。
性质5 对偶定理 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题有最优解，
则另一个问题也有最优解，且二者最优值相等。
注意： 无界性之逆命题不成立。 因为一个问题无可行解时， 另一个问题可能解无界，也可能无可行解。
y1
+3y3 ≥ 3
y1 +3y3 -y4 = 3
s.t.
2y2+4y3 ≥ 5
y1 , y2, y3 ≥ 0
s.t.
2y2+4y3 -y5 = 5
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0
Y*= (0 ,½ ,1)T
Y*= (0, 1/2, 1, 0, 0)T,
(P)的基本解 与(D)的基本解 相互对应, 且二者目标值相等。 我们把这样一对基本解 与 ，称为(P)与(D)的互补基本解。