平面的基本性质及空间直线位置关系

教学过程

一、复习预习

思考：1、直线的性质，平面的性质

2、直线在一个平面内的判定？

3、直线与直线相交与两个平面相交的区别

4、三角形的稳定性指的是什么？

二、知识讲解

考点1

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

考点2

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

考点3

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理的用途

公理1：①证明点在平面内；②证明直线在平面内．

公理2：①确定两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点． 公理3：①确定一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题．

考点4

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立.

考点5

异面直线的判定异面直线所成的角

三、例题精析

【例题1】如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、

CD 、AD 上，且满足AE ∶EB=CF ∶FB=2∶1，CG ∶GD= AH ∶HD=3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连接EH.求证：EH 、FG 、BD 三线共点.

证明 ∵AE ∶EB=CF ∶FB=2∶1 ∴ EF //

31AC ；

又∵CG ∶GD= AH ∶HD=3∶1，

∴GH //4

1AC ；则GH EF //且EF ≠GH ，

∴四边形EFGH 为梯形. 令EH ∩FG=P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ，P ∈FG ， FG ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD=BD ， ∴P ∈BD.∴EH 、FG 、BD 三线共点.

【例题2】如图，空间四边形ABCD 中，E 、 F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE :

EB = CF : FB=2 : 1 ，CG : GD=3 : 1 , 过E 、F 、G 的平面交AD 于H .

(1)求AH : HD ；

(2)证明：EH 、FG 、BD 三线共点. 【答案】（1）3 : 1 （2）略

【解析】 (1) 2AE CF

EB FB ==⇒EF//AC ⇒EF//面ACD.

而EF ⊂面EFGH , 而面EFGH ∩面ACD=GH ，∴EF//GH 而EF//AC ，

∴ AC//GH ，∴ AH CG

HD GD ==3， 即 A H : HD=3 : 1 .

(2) ∵ EF//GH 且13EF AC =，1

4GH AC =

，∴ EF ≠GH ，∴ EFGH 为梯形.

令EH ∩FG=P ,则P ∈EH 而 EH ⊂面ABD .P ∈EG , FG ⊂面BCD , 面ABD ∩面BCD=BD ， ∴P ∈BD ，∴ EF 、FG 、BD 三线共点.

【例题3】已知E 、F 、G 、H 分别为空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、BC 、CD 上的点, 且

直线EF 和GH 交于点P .

求证：B 、D 、P 在同一直线上.

【证明】如图，∵ EF ∩GH=P ，∴ P ∈EF 、GH.∵ E ∈AB ， F ∈AD ，∴EF ⊂面ABD ，∴ P ∈面ABD.∵G ∈BC ， H ∈CD ，∴GH ⊂面BCD ，∴P ∈面BCD. ∵面ABD ∩面BCD=BD ，∴ P ∈BD ， ∴ B 、D 、P 三点在同一直线上.

【例题4】已知直线 与三条平行线a 、b 、c 都相交．求证： 与a 、b 、c 共面．

【证明】设C l c B l b A

l a ===

由b a //⇒ a 、b 确定平面α，因为A ∈a, B ∈b ⇒l ⊂α

c b //⇒b 、c 确定平面β ，因为C ∈c, B ∈b 同理可证l ⊂β

所以α、β均过相交直线b 、l ⇒ α、β重合⇒ c ⊂α ⇒a 、b 、c 、l 共面

【例题5】

如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，ED AE =FC BF =21

，AB=CD=3，

EF=7，求AB 、CD 所成角的大小. 【答案】60°

【解析】如图所示，在线段BD 上取一点G ，使GD GB =21

.连接GF 、GE 、EF.

ED AE =GD BG =FC BF =21，GE ∥AB ，且GE=32

AB=2， 同理，GF ∥CD ，且GF=31

CD=1，

在△EGF 中，cos ∠EGF=1227

1222⨯⨯-+=-21,∴∠EGF=120°.

由GF ∥CD,GE ∥AB 可知,AB 与CD 所成的角应是∠EGF 的补角为60°.

【例题6】

如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，BC=2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA=1，且E 为DA 的中点.求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.

【答案】1010

【解析】取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD ，

∴∠BEF 即为异面直线BE 与CD 所成的角或其补角. 在Rt △EAB 中，AB=AC=1，

AE=21AD=21，∴BE=25

，

在Rt △EAF 中，

AF=21AC=21，AE=21，∴EF=22，