反函数及其图像性质

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1
2
2
4
:
:
x
y
R 乘以2 R
2
1
4
2
பைடு நூலகம்
:
:
y
x
R 除以2 R
这个新函数的自变量是__y____a ,对应的函数值是___x____。3
(2)函数 y x1的定义域是_[_-1_,_+__)__,值域是__[0_,_+__)__。
如果由 y x1 解出x=__y_2___1___,则对于y在 [0,+)上 的任一个值,通过式子x=__y_2 __1____,x在[-1,+)上有_唯__一__确__定___
是:y 2xx2 ( 0a < x ≤1 )
11
例3.求函数yxx22 1 ( (01xx10)) 的反函数.
f1(x) x1(1x0) x(0x1)
a
12
5、是否任何一个函数都有反函数?
(1)函数 y x 2 的定义域是_____,值域是 _________。如果由 y x 2 解出x=_________,
应用思路:
已知函数的图像利用对称性可以
画出它的反函数的图像。
a
17
总结:
y=3x-2 y
yx
· ·· (0,
2 3
)
A1
B-2(2-,10)-1
1A ( 2 , 0 ) 3
·-2 B (0, 2)
y x2 3
x
原函数过 M(a,b), 则 y=f-1(x)过 M´(b,a).
注意:
M(a,b),与M´(b,a)两点关于直线y=x对称.
a
2
完成下列填空:
(y=12)x解函出数xy==_212_x_的_y_定__义,这域样是对_于__Ry_在__R,值上域任是一_个__R值__,__通。过如式果子由x= 1 y ,x在R上有唯__一__确__定__的值和它对应,故x是__y__的函数。 2
原函数: y=2x
新函数:x 1 y 2
yg(x)x1, 的反函数,记为:xg 1(y)y2 1 .
改写为: y g 1(x ) x 2 1 (x 0 ).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
a
5
反函数与原函数的关系:
表达式: 定义域: 值域:
原函数
y=f(x) A C
反函数
y=f –1(x) C
A
a
6
例.求下列函数的反函数:
(1)y3x1(xR)(;2)yx31(xR); (3)yx1(x0)(;4)y2x3(xR,且 x1)
② y=f(x)与y=f-1(x)是应用上的反函数, 它们的图像关于直线y=x对称。
③辨清y=f(x)、y=f-1(x)、x=f(y)、x=f-1(y)间的关系
④两图像关于直线y=x对称,不一定是互为反函数的图像。
⑤互为反函数在各自的定义域内单调性一致。 ⑥ y=f(x)存在反函数,则f-1[f(x)]=x,f[f-1(x)]=x
⑦ y=f(x+1)的反函数不是y=f-1(x+1),而是y=f-1(x)-1
a
23
设函数f (x)的图象关于点(1,2)对称, 且存在反函数f 1(x), f(4)0. 则f 1(4)
a
24
1.若函数f(x)1-ax(x-1)的图像
1ax
a
关于直线yx对称,则a
.
2.设y f (x)2x3, yg(x)的图像与 x-1
(3)对得到的结论进行证明.
a
27
证明:设点(a,b)是f(x)的图象与其反函数的 任一交点,由于原函数与反函数图象关于 直线y=x对称,则点(b,a)也是f(x)的图象与 其反函数图象的交点,且有b=f(a),a=f(b) 若a=b时,交点显然在直线y=x上. 若a<b且f(x)是增函数时,有f(b)<f(a),从而 有b<a,矛盾;若b<a且f(x)是增函数时,有 f(a)<f(b),从而有a<b矛盾.故有a=b. 若a<b且f(x)是减函数时,有f(b)<f(a),从而 有a<b,成立,此时交点不在直线y=x上;同 理b<a且f(x)是减函数时,有f(a)<f(b),从而 有a<b,成立,此时交点a 不在直线y=x上 28
函数y 2x (x(1,))的图象 1x
与其反函数的交点坐标为
a
21
已知函数y f (x)存在反函数且
f (3) 0, 则函数f -1( x 1)的图象
必经过点
( A)(2, 0)
(B)(0, 2)
(C )(3, -1)
(D)(-1, 3)
a
22
(二)反函数中应注意的几个问题
①y=f(x)与x=f-1(y)是定义上的反函数, 它们的图像相同。
值为
(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002
a
26
为研究“原函数图象与其反函数图象
的交点是否在直线y=x上”这个课题,
我们可以分为三步进行研究.
(1)首先选取如下函数:y=2x+1,y=
2x x+1
,
y x 1求出以上函数图象与其反函
数图象的交点坐标;
(2)观察分析上述结果得到研究结论;
a
18
例2.求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解:yx3x3 y y
y x3 yx
1
y3 x(xR)
y3 x
1
x
a
19
例3.已知函数f (x) axb的图像 xa
与其反函数f -1(x) 的图像都经过 (-1,3)点.求实数a,b的值.
a 0
b
-3
a
20
用 y 把 x 表示出来
如果…那么…
对调字母 x , y
9 知识应用与解题研究
反函数的练习:
(1).已 知 : f ( x ) 1 x 2 , 且 x 0,1 ,
则 其 反 函 数 f 1( x)
1-x2 (0x1) ,
其定义域为
0,1 .
( 2) 若 f ( x ) x 2 x ( x 1 ), 2
反函数
a
1
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数,X就叫做自变量,X的取值范围称为函数的定义 域,和X的值对应的Y的值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域。
记为: y=f(x)
x1 解:(1)由 y3x1解得 xy: 1,
3 互换 x,y得 经反函 y数 x1(为 xR): .
3
(2) 由 yx31解得 x3: y1,
互x换 ,y得反函 a y数 3 x为 1(x: R). 7
(3) 由 y x1解得 x(y: 1)2,
互换 x,y得反函数 y为 (x: 1)2(x 1).
y f -1(x1)的图像关于直线yx对称.
则g(3)
.
a
25
3.已知x1是方程f(x)3-x的根,x2是
方程f-1(x)3-x的根, f(x)和f-1(x)互
为反函数,则x1x2
.
4.定义在R上的函数f (x), g(x)都有反函
数且f (x 1)和g-1(x 2)的图像关于直
线y x对称,若g(15) 2000,则f (16)的
则 f 1(2) -2 .
a
10
例2:求函数 y1 1x2(1≤ x < 0)
的反函数.
解:∵ 1≤ x < 0 ∴0 < x2 ≤ 1 ∴0≤1 x2 < 1
∴ 0 ≤ 1 x2 < 1 ∴0 < y ≤ 1
由 y1 1x2解得 x. 2yy2
(∵ 1≤ x < 0 )
∴ y1 1x2(1≤ x < 0)的反函数
对于y在[0,+)上任一个值,通过式子 x y, x在R上有__________值和它对应,故 x_________y的函数。
这表明函数 y x 2 没有反函。
并非所有的函数都有反函数!
a
13
问:怎样的函数才具有反函数呢?
• 连续的单调函数一定有反函数
a
14
a
15
二、新授课
(一)例题讲解
的值和它对应,故x是__y__的函数。
原函数:
表达式: y x1
新函数:
xy2 1
定义域: [-1,)
[0,+)
值域: [0,+)
[-1,+)
a
4
在(1)中,我们称新函数 x 1 y 为原函数y=f(x)=2x的
反函数,记为:x
f
1(y)1y. 2
2
改写为:
1 yf1(x) x(xR)
2
同样,在(2)中,也把新函数 xy2 1 称为原函数
(4) 由 y2x3解得 x: y3,
x1
y2
互换 x,y得反函数 y为 x3:(xR,且 x2).
x2
a
8
2.求反函数的步骤 概念表明
也就是说,反函数定义是一种生成性定 义,体现了反函数的获得的过程
y = f(x) (x∈A)
反解
x=( y) (y∈C)
判断
x=f 1(y) (y∈C)
对调
y=f 1(x) (x∈C) a
1、如果两个函数的图象有交点,则
交点或者在直线y=x上或者关于直线
y=x对称;
2、如果原函数是定义域内的单调递
增函数,它的图象如果与其反函数
的图象相交,那么交点一定在直线
y=x上;
3、如果函数f(x)是减函数,并且f(x)的
图象与其反函数的图象有交点,则交
点不一定在直线y=a x上.
29
例1. 求函数y=3x-2的反函数,
并画出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
y=3x-2
∴x=
y2 3
y
∴函数y=3x-2(x∈R)
的反函数为
1
x2
y=
3 x∈R
-2 -1 -1 1
-2
a
yx
y x2 3
x
16
原函数和反函数的关系
原函数和其反函数的图象关于 直线y=x对称,
若两个函数的图象关于直线 y=x对称,则它们互为反函数.
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