离散型变量的分布及其应用

【解】本例 n=13，X=6。查附表 6，取a=0.05 时，在
n=13(横行)与 X=6(纵列)的交叉处数值为 19–75，即该
吻合术妇女受孕率的 95％可信区间为(19％，75％)。
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
3.3 反查表求总体率的区间估计(P94)
23
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
3.4 正态近似法求总体率的区间估计(P94) 24
例 6-3 在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果 时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者 100 人，发现 55 人有效，试据此估计该药物治疗有效率的 95％可信区间。 本例 n=100，X=55，经计算得 p=55/100=0.55，Sp=0.0497。
quant：发生数； n=实验次数； prob：发生率。
P(X=6)= PDF.BINOM(6, 10, 0.7).
When n is 1, this is the same as PDF.BERNOULLI.
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.55 例6-1 SPSS操作过程
n
且 P(X) 1。
X 0
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.4 二项系数的展开：杨辉三角
8
1
1次
11
2次
121
3次
1331
n 1， (1 )
X 1 X 0
4次 1 4 6 4 1 5次 1 5 10 10 5 1
n 2，( (1 ))2 2 2 (1 ) (1 )2
2.31 二项分布的均数与标准差的计算
18
例 若某药治疗某病的有效率 =0.70，治疗该 病患者 10 人(n=10)。
解：则 10 人中平均有效人数 X 为
=n=10×0.7=7(人)
平均有效人数 X 的方差为
2=n (1-)=10×0.7×0.3=2.1(人)
平均有效人数的标准差为
n (1 ) 2.1 1.45 (人)
Sp
p(1 p) n
0.55(1 0.55) 0.0497 4.97% 100
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
3.1 总体率的区间估计
21
查表法：n<=50，附表6(P709~713)。
例6-2 反查表
正态近似法
例6.3
当n较大，不接近0也不接近1时，二项分布B(n, ) 近似正态分布N(n，n(1-))。
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.2 二项分布，binomial distribution
5
n 次独立重复试验，n 重 Bernoulli 试验构成 二项分布，即 Bernoulli 试验序列：
1、只有两个互斥结果； 2、每次试验的“阳性”概率不变； 3、各次试验独立。
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几种离散型变量的分布及其应用
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1
随机变量
2
随机变量及其分布由于随机变量取值不同而 分为不同类型：连续型和离散型，相应的概 率分布就可分为连续型分布和离散型分布。 连续型分布：正态分布。 离散型分布： 第一节 二项分布 第二节 泊松Poisson分布 大纲 练习题答案
例 6-2(2)据此资料估计该吻合术妇女未受孕率的 95％ 可信区间。
附表 6 n X(上行：95%可信区间，下行：99%可信区间)
01234567 13 0-25 0-36 2-45 5-54 9-61 14-68 19-75 25-81
0-34 0-45 1-54 3-62 6-69 9-76 14-81 19-86 【解】附表 6 只列出 X≤n/2 的部分。当 X>n/2 时，可 先按“阴性”数 n–X 查得总体阴性率的 1–a可信区间， 再用 100 减之即可。如(100-75，100-19)=(25，81)，即 该吻合术妇女未受孕率的 95％可信区间为(25％，81％)。
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有 6 人受孕，(1)
据此资料估计该吻合术妇女受孕率的 95％可信区间。
附表 6
n X(上行：95%可信区间，下行：99%可信区间) 01234567
13 0-25 0-36 2-45 5-54 9-61 14-68 19-75 25-81 0-34 0-45 1-54 3-62 6-69 9-76 14-81 19-86
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.3 二项分布的通项
7
在 n 个独立的个体中出现 X 个阳性的概率为
P(X )
n! X (1 )n X ( X 0,1,2,..., n)
X!(n X )!
其中
P(X)为二项函数((1–)+)n 展开式的通项,
n! 称为二项系数， X !(n X )!
双侧 95％可信区间为
( p ua / 2 S p , p ua / 2 S p ) (0.55 1.96 0.0497, 55 1.96 0.0497) (0.4526, 0.6474)
即该药物治疗有效率的 95％可信区间为(45.26%，64.74%)。
SPSS 计算函数 lower CI IDF.NORMAL (0.025, 55, 4.97). upper CI IDF.NORMAL (0.975, 55, 4.97).
从阳性率为 的总体中随机抽取大小为 n 的
样本，则出现阳性数为 X 的概率分布呈二项分布，
记为 X~B(n,)。
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1.2 二项分布，binomial distribution
6
用某药治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效， 每个病案的有效率相同； 在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存； 接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 感染等。
n
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2.41 二项分布样本率的均数与标准差计算 20
例6-3 在观测一种药物对某种非传染性疾病 的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性 疾病患者100人，发现55人有效。 本例n=100，X=55。
样本率为 p=55/100=0.55。 率的标准误的估计值为
样本率p的分布近似正态分布N(,p2) 。
当n较大，p和(1-p)不太小，如np和n(1-p)均大于5时， 总体率的1-a可信区间为(p-ua/2Sp，p+ua/2Sp)。
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3.2 查表法总体率的区间估计(P93)
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例 6-2 在对 13 名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
第一节 二项分布
binomial distribution
二项分布1：简介 电脑实验 例6-1 性质2：应用条件 均数与方差 图形 应用：
3总体率的区间估计 4二项分布的累积概率 5样本率与总体率的比较 6两样本率的比较
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2.3 二项分布的发生数X均数与标准差
17
在 n 次独立重复试验中，出现“阳性”次数 X 的总体均数为
=n
X 的总体方差为
2=n (1-)
X 的总体标准差为
n 1
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1.52 SPSS: 常用PDF函数(23种)
11
BERNOULLI：贝努里。
BINOM：二项分布。
CHISQ：卡方分布。
第七章。
F：F分布，第四章。
NORMAL：正态分布。
POISSON：泊松分布。
下一节。
T：t分布。
UNIFORM：均匀分布。
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347 8!(10 8)!
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1.ห้องสมุดไป่ตู้1 SPSS: PDF函数
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Probability Density Functions
The functions give the value of the density function with the specified distribution at the value quant, the first argument. Subsequent arguments are the parameters of the distribution. PDF函数用于计算指定分布函数的点值 概率。
13
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2.1 二项分布的图形
14
二项分布参数：
n和。
特点：
= 0.5分布对称； 0.5分布呈偏态； 偏离0.5愈远，分布愈呈偏 态； 当不接近0或1时，n→∞， B→N。 n，或n(1- )<5呈不对称。
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X 2 X 1 X 0
n 3，( (1 ))3 3 3 2(1 ) 3 (1 )2 (1 )3
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X 3
X 2 X 1
X 0
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1.5 例6-1 二项分布概率的计算
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某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为 0.70。今用该药治疗该疾病患者10人。计算10 人中有6人、7人、8人有效概率。
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1.1 贝努里试验，Bernoulli trial
4
贝努里试验是指只有两个互斥结果的试验。
生死、阴阳、男女。 毒性试验：白鼠 死亡——生存 临床试验：病人 治愈——未愈 临床化验：血清 阳性——阴性 事件： 成功（A）——失败（非A）
这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试验。
重复试验是互相独立的，即任何一次试验不受 其他试验影响或影响其他试验。
10名非传染性疾病患者的治疗可看作10次独立的 重复试验。
每次试验条件不变，即每次试验产生某种结果 的概率不变。
每一名患者治疗的有效率(0.70)是恒定的。
每次试验只出现两种互斥结果之一，即两种互 斥结果的概率和恒等于1。
有效率(0.70)+无效率(0.30)=1。
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1.53 PDF.BINOM(quant, n, prob)
二项分布点值概率：Numeric，数值函数。
Returns the probability that the number of successes in n trials, with probability prob of success in each, will be equal to quant. 返回成功率为prob的n次试验中，成功次数 (quant，阳性数)的点值概率。
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2.4 二项分布样本率的均数与标准差
19
样本率 p 的总体均数为p。
p
的总体方差为
2 p
1
n
。
p 的总体标准差为 p
1 ，亦称率的标
n
准误。
若总体率不知，用样本率作为总体率的估计值，
则p 的估计值为 S p
p(1 p) 。
n =10，p =0.70，X=6、7、8。
P(X)
n! X (1 )n X X 0,1,2,..., n
X!(n X )!
P(6) 10! 0.706 (1 0.70)106 0.20012 6!(10 6)!
P(7) 10! 0.707 (1 0.70)107 0.26683 7!(10 7)!
2.11 二项分布的电脑实验
15
黑(20%)白 两种球。有 放回的n次 重复摸球实 验。
摸球次数 n=5，记下 黑球次数。
模拟随机抽 样 共进行 1 0 0 0次。
n=10, n=20, n=30。
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医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
2.2 二项分布的适用条件
16