备战中考数学压轴题之直角三角形的边角关系(备战中考题型整理,突破提升)及答案解析

备战中考数学压轴题之直角三角形的边角关系(备战中考题型整理,突破提升)及

答案解析

一、直角三角形的边角关系

1．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，

∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：

（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．

（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．

（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

【答案】（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，

当h≥2时，S=18﹣3h．

【解析】

试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；

（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；

（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．

试题解析：解：（1）如图2，

∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如图3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，

∵△CMN∽△CED，

∴，

∴，

解得FM=4﹣，

∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，

S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．

考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形

2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4

cos 5

AOC ∠=

．设OP x =，CPF ?的面积为y ．

（1）求证：AP OQ =；

（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ?是直角三角形时，求线段OP 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）236030050

(10)13

x x y x x -+=<<；（3）8OP =

【解析】 【分析】

（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结

OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻

找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；

（2）根据PFC ?∽PAO ?，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4

cos 5

AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】

（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ?和ODQ ?中，

{OP DQ

POA QDO OA DO

=∠=∠=， ∴AOP ?≌ODQ ?， ∴AP OQ =；

（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5

AOC ∠=， ∴4455OH OP x =

=，3

5

PH x =， ∴1

32

AOP S AO PH x ?=

?=． ∵//CD AB ， ∴PFC ?∽PAO ?， ∴

22

10(

)()AOP

y CP x S OP x

?-==， ∴2360300

x x y x

-+=，当F 与点D 重合时，

∵4

2cos 210165

CD OC OCD =?∠=??=， ∴

101016x x =-，解得50

13

x =， ∴2360300x x y x

-+=

50

(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4

cos 1085

OP OA AOC =?∠=?

=； ②当90POE ∠=o 时，

101025

4cos cos 25OC CQ QCO AOC =

===

∠∠，

∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622

=-=， ∵

50

1013

OP <<， ∴7

2

OP =

（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠，

∵AOP ?≌ODQ ?， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，

∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．

3．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，条幅底端E 点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米，求条幅AE 的长度．(结果保留根号)

【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】

在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解. 【详解】

过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形

12CF DB ∴==

在Rt ACF V 中，45ACF ∠=?

tan 1AF

ACF CF

∴∠==

12AF ∴= 在Rt CEF V 中，30ECF ∠=? tan EF

ECF CF

∴∠= 3

123

EF ∴

=

43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+

【点睛】

本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.

4．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．

（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；

（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．

【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3

BE=

【解析】

【分析】

（1）①补全图形即可，

②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3

得出结果．

【详解】

解：（1）①补全图形如图1所示，

②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，

连接BG，如图2所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵EG⊥AC，

∴∠EGC＝90°，

∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC，

∴∠GEC＝∠GCE＝45°，

∴∠BEG＝∠GCF＝135°，

由平移的性质得：BE＝CF，

在△BEG和△GCF中，

BE CF

BEG GCF EG CG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，

∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，

∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.

（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝32，

在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH ＝

3

＝

323

＝6，

∴DG ＝2GH ＝26， ∴DF ＝2DG ＝43， 在Rt △DCF 中，CF ＝(

)

2

243

6-＝23，

∴BE ＝CF ＝23．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角

形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，

40），直线AB：y＝1

3

x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作

EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．

（1）求边EF的长；

（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．

①当点F1移动到点B时，求t的值；

②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．

【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；

【解析】

【分析】

（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-4

3

x+40，可

求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；

（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；

②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE

上时，在Rt△F'NF中，NF

NF'

=

1

3

，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，

4

3

MH

EM

'

=，

t=4，S=1

2

×(12+

45

4

)×11=

1023

8

；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，

PK

F K'

=

1

3

，

PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PK

KG'

＝

3

1539

t

t

-

-+

＝

4

3

，t=7，S=15×（15-7）=120.

【详解】

（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），

∴

300

40

k b

b

+=

?

?

=

?

，

∴

4

3

40 k

b

?

=-

?

?

?=

?

，

∴y＝﹣4

3

x+40，

直线AB与直线DE的交点P（21，12），

由题意知F（30，15），

∴EF＝15；

（2）①易求B（0，5），

∴BF＝1010，

∴当点F1移动到点B时，t＝101010

÷＝10；

②当点H运动到直线DE上时，

F点移动到F'10，

在Rt△F'NF中，

NF

NF'

=

1

3

，

∴FN＝t，F'N＝3t，

∵MH'＝FN＝t，

EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t，

在Rt△DMH'中，

4

3

MH

EM

'

=，

∴4

1533

t

t

=

-

，

∴t＝4，

∴EM＝3，MH'＝4，

∴S＝1451023

(12)11

248

?+?=；

当点G运动到直线DE上时，

F 点移动到F'的距离是10t ， ∵PF ＝310， ∴PF'＝10t ﹣310， 在Rt △F'PK 中，

1

3

PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9， 在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝4

3

， ∴t ＝7，

∴S ＝15×（15﹣7）＝120. 【点睛】

本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．

6．如图，建筑物

上有一旗杆

，从与

相距的处观测旗杆顶部的仰角为

，

观测旗杆底部的仰角为

，求旗杆

的高度.（参考数据：

,

，

）

【答案】旗杆的高度约为.

【解析】 【分析】

在Rt △BDC 中，根据tan ∠BDC=求出BC ，接着在Rt △ADC 中，根据

tan ∠ADC==即可求出AB 的长度

【详解】

解：∵在Rt △BDC 中，tan ∠BDC==1，∴BC=CD= 40m

在Rt △ADC 中，tan ∠ADC==

∴tan50°= =1.19

∴AB

7.6m

答：旗杆AB 的高度约为7.6m. 【点睛】

此题主要考查了三角函数的应用

7．如图①,在菱形ABCD 中,60B ?∠= ，4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动，过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ，过点P 向上作

//PN AC ，且3

2

PN PQ =

，以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S . （1）用含t 的代数式表示线段PQ 的长. （2）当点M 落在边BC 上时，求t 的值. （3）当0t 1<<时，求S 与t 之间的函数关系式，

（4）如图②,若点O 是AC 的中点，作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12：时，直接写出t 的值

【答案】（1）23PQ t =；（2）

45

；（3）2193403163t t -+-；（4） 2

3t = 或

8

7

t = ． 【解析】 【分析】

（1）由菱形性质得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形，证出△APQ 是等腰三角形，得出PF=QF ，3，即可得出结果；

（2）当点M 落在边BC 上时，由题意得：△PDN 是等边三角形，得出PD=PN ，由已知得

PN=

3

2

PQ=3t，得出PD=3t，由题意得出方程，解方程即可；

（3）当0＜t≤4

5

时，PQ=23t，PN=

3

PQ=3t，S=矩形PQMN的面积=PQ×PN，即可得出

结果；当4

5

＜t＜1时，△PDN是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t，

∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，FN=3NE=3（5t-4），S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积，即可得出结果；

（4）分两种情况：当0＜t≤4

5

时，△ACD是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG是

△MNH的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可；

当4

5

＜t≤2时，由平行线得出△OEF∽△MEQ，得出

EF OF

EQ MQ

=，即

2

3

3

t

t

EF t

-

=

+

，

解得EF=

2

33

2t t

-

，得出EQ=

2

33

2

3

t t

t

-

+，由三角形面积关系得出方程，解方

程即可．

【详解】

（1）∵在菱形ABCD中，∠B=60°，

∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，

∵PQ⊥AC，

∴△APQ是等腰三角形，

∴PF=QF，PF=PA?sin60°=2t×3=3t，

∴PQ=23t；

（2）当点M落在边BC上时，如图2所示：

由题意得：△PDN是等边三角形，

∴PD=PN，

∵333t=3t，

∴PD=3t，

∵PA+PD=AD，

即2t+3t=4，

解得：t=4

5

．

（3）当0＜t≤4

5

时，如图1所示：

PQ=23t，PN=

3

2

PQ=

3

2

×23t=3t，

S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=23t×3t=63t2；

当4

5

＜t＜1时，如图3所示：

∵△PDN是等边三角形，

∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，

∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，

∴FN=3NE=3（5t-4），

∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积=63t2-2×1

2

×3（5t-4）2=-19t2+403t-163，即S=-19t2+403t-163；

（4）分两种情况：当0＜t≤4

5

时，如图4所示：

∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD=4，

∵O 是AC 的中点，

∴OA=2，OG 是△MNH 的中位线， ∴OG=3t-（2-t ）=4t-2，NH=2OG=8t-4， ∴△MNH 的面积=12MN×NH=12×23t×（8t-4）=1

3

×63t 2， 解得：t=23

； 当

4

5

＜t≤2时，如图5所示：

∵AC ∥QM ， ∴△OEF ∽△MEQ ，

∴EF OF EQ MQ =233t

t EF t -=+， 解得：EF=2432

32t t t -，

∴2

3323t t t -

∴△MEQ 的面积=12×3t×2

3323t t t -+=1332，

解得：t=

87

； 综上所述，当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1：2时，t 的值为

23

或87

． 【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．

8．已知抛物线y ＝﹣

16x 2﹣2

3

x+2与x 轴交于点A ，B 两点，交y 轴于C 点，抛物线的对称轴与x 轴交于H 点，分别以OC 、OA 为边作矩形AECO ．

(1)求直线AC的解析式；

(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．

(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y＝1

3

x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，

5

3

）时，四边形AOCP的面积最大，此时

|PM﹣OM|有最大值61； (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（

3

5

-，

19

5

）．

【解析】

【分析】

（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；

（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．

【详解】

（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，

2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，8

3

），C点坐标为（0，2），则过点C

的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k

1

3

=，则：直线AC的表达式

为：y

1

3

=x+2；

（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．

四边形AOCP 面积＝△AOC 的面积+△ACP 的面积，四边形AOCP 面积最大时，只需要△ACP 的面积最大即可，设点P 坐标为（m ，16-m 223-m +2），则点G 坐标为（m ，1

3

m +2），S △ACP 12=

PG ?OA 12=?（16-m 223-m +213-m ﹣2）?61

2

=-m 2﹣3m ，当m ＝﹣3时，上式取得最大值，则点P 坐标为（﹣3，

5

2

）．连接OP 交对称轴于点M ，此时，|PM ﹣OM |有最大值，直线OP 的表达式为：y 56=-

x ，当x ＝﹣2时，y 5

3

=，即：点M 坐标为（﹣2，53

），|PM ﹣OM |的最大值为：2222555(32)()2()233-++--+=61

．

（3）存在．

∵AE ＝CD ，∠AEC ＝∠ADC ＝90°，∠EMA ＝∠DMC ，∴△EAM ≌△DCM （AAS ），∴EM ＝DM ，AM ＝MC ，设：EM ＝a ，则：MC ＝6﹣a ．在Rt △DCM 中，由勾股定理得：MC 2＝DC 2+MD 2，即：（6﹣a ）2＝22+a 2，解得：a 83=，则：MC 103

=，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，交EC 于点H ．在Rt △DMC 中，12DH ?MC 12=MD ?DC ，即：DH 108

33

?

=?2，则：DH 85=

，HC 22

65DC DH =-=，即：点D 的坐标为（61855

-，）； 设：△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位，则：点A ′坐标（﹣61010

，D ′坐标为（618551010

，-

++），而点E 坐标为（﹣6，2），则2

''A D =2

2

6

18(6)()5

5

-++=36，2'A E =22(2)1010+=2410m +，2

'ED =22248(

()551010+=2128

510

m +．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论： ①当2''

A D +

2'A E

=

2

'ED 时，36+2

410m -

=2128510m +，解得：m =105

，

此时D ′（618551010

，-

++）为（0，4）； ②当2''A D +2'ED =2'A E 时，36+2

128510m ++=2

410

m -+，解得：m =810-

，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）；

③当2'A E +2'ED =2''A D 时，2

410m -++2128510m ++=36，解得：m =8105

-

或m =

10，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）或（35-，195）．

综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35-，19

5

）． 【点睛】

本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标，本题难度较大．

9．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线表达式；

（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作?CBPQ ，若点P 在直线BC 下方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且?CBPQ 的面积为30， ①求点P 坐标;

②过此二点的直线交y 轴于F, 此直线上一动点G,当GB+

2

GF 2

最小时,求点G 坐标. （3）如图2，⊙O1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值

【答案】（1）y=x2﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）313【解析】 【分析】

（1）把点A （1，-1），B （5，-1）代入抛物线y=ax 2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；

（2）①如图，连接PC ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于R ，可求得直线BC 的解析式

为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为?CBPQ的面积为30，所以S△PBC=1 2

×(?t+4?t2+6t?4)×5

＝15，解得t的值，即可得出点P的坐标；②当点P为（2，-4）时，求

得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因为GB+

2

GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；

（3）先用面积法求出sin∠ACB=213

13

，tan∠ACB=

2

3

，在Rt△ABE中，求得圆的直径，

因为MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因为tanN=MB

BN

＝

2

3

，所以BN=

3

2

MB，当MB为

直径时，BN的长度最大．

【详解】

(1) 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），

∴

14

12554

a b

a b

-++

?

?

-++

?

＝

，

＝

解得

1

6

a

b

?

?

-

?

＝

，

＝

∴抛物线表达式为y=x2﹣6x+4．

(2)①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，

设直线BC的解析式为y=kx+m，

∵B（5，-1），C（0，4），

∴

15

4

k m

m

-+

?

?

?

＝

＝

，解得

1

4

k

m

＝

，

＝

-

?

?

?

∴直线BC的解析式为：y=-x+4，

设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），∵?CBPQ的面积为30，

∴S△PBC=1

2

×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，

解得t=2或t=3，

当t=2时，y=-4

当t=3时，y=-5，

∴点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；

②当点P为（2，-4）时，

∵直线BC解析式为：y=-x+4， QP∥BC，

设直线QP的解析式为：y=-x+n，

将点P代入，得-4=-2+n，n=-2，

∴直线QP的解析式为：y=-x-2，

∴F（0，-2），∠GOR=45°，

∴GB+2

2

GF=GB+GR

当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2），同理，当点P为（3，-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2，

同理可得点G的坐标为（0，-2），

(3) ）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），

∴AC=26，BC=52，

∵S△ABC=1

2AC×BCsin∠ACB＝

1

2

AB×5，

∴sin∠ACB=213，tan∠ACB=2

3

，∵AE为直径，AB=4，

∴∠ABE=90°，

∵sin∠AEB=sin∠ACB=213

13＝

4

AE

，

∴AE=213，

∵MB⊥NB，∠NMB=∠EAB，∴∠N=∠AEB=∠ACB，

∴tanN=MB

BN ＝

2

3

，

∴BN=3

2

MB，

当MB为直径时，BN的长度最大，为313．

【点睛】

题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数

定义，平行四边形性质．解决（3）问的关键是找到BN与BM之间的数量关系．

10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）

（1）如果∠A＝30°，

①如图1，∠DCB等于多少度；

②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）

【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝

2DE?tanα．理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；

②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，

（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．

【详解】

（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝60°，

∵AD＝DB，

∴CD＝AD＝DB，

∴△CDB是等边三角形，

∴∠DCB＝60°．

②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：