第四节动量和能量

第四节动量和能量

一、知识扫描

〔1〕统动量守恒的条件是系统所受合外力为零，系统机械能守恒的条件是只有重力和系统内的弹力对系统内物体做功。

〔2〕系统内的物体发生两次或两次以上相互作用时，只要系统所受合外力为零，在任一相互作用过程中，系统的动量均守恒。系统的初动量和末动量一定相等，但每次相互作用均可能有动能缺失，因而往往要逐次研究相互作用中的动能变化。

（1） 系统沿x 轴方向所受合外力为零，而沿y 轴〔y ⊥x 〕方向合外力不为

零时，系统总动量不守恒，但沿x 轴方向，系统动量守恒。

二、好题精析

例1．如图6－4－1所示，在光滑的水平杆上套者一个质量为m 的

滑环，滑环上通过一根不可伸缩的轻绳悬吊着质量为M 的物体〔可视为

质点〕，绳长为L 。将滑环固定时，给物块一个水平冲量，物块摆起后刚

好碰到水平杆，假设滑环不固定，仍给物块以同样的水平冲量，求物块

摆起的最大高度。

〖解析〗设物块受到水平冲量后速度为0v 。滑环固定时

mgL mv =221得gL v 20=。 滑环不固定时，摆起最大高度为h ，在最大速度时的共同速度为v ：

v m M Mv )(0+=

Mgh v m M Mv ++=220)(2

121 解得：L m

M m h += 〖点评〗〔1〕滑环不固定时，受动量后系统水平方向合外力为零，在水平方向动量守恒。 〔2〕物快在最大高度时，物快竖直方向速度为零，水平方向速度与滑环速度相等。 例2．质量为m 的子弹，以水平初速度v 0射向质量为M 的长方体木块。

〔1〕设木块可沿光滑水平面自由滑动，子弹留在木块内，木块对子弹的阻力恒为f ，求弹射入木块的深度L 。并讨论：随M 的增大，L 如何变化？

〔2〕设v 0=900m/s ，当木块固定于水平面上时，子弹穿出木块的速度为v 1=100m/s 。假设木块可沿光滑水平面自由滑动，子弹仍以v 0=900m/s 的速度射向木块，发觉子弹仍可穿出木块，求M /m 的取值范畴〔两次子弹所受阻力相同〕。

〖解析〗当木块可自由滑动时，子弹、木块所组成的系统动量守恒：

mv 0 =〔M +m 〕v ①

图6－4－1

分不对子弹、木块应用动能定理：

12202121fs mv mv -=- ② 2221fs mv = ③ 式中，s 1 、s 2分不为子弹、木块的对地位移。从图

6－4－2中，专门容易看出，s 1 、s 2之差即为子弹射入

木块的深度L ，即L s s =-21

由②、③：)()(2

12121220s s f v M m mv -=+- 即fL v M m mv =+-220)(2

121 ④ 由，①、④，可解出打入深度为)1(2)(22020+=+=M m f mv M m f mMv L 可知，随M 增大，L 增大。

当木块固定时：020212121fL mv mv -=-，即021202

121fL mv mv =- ⑤ 式中L 0为木块在运动方向的长度。

当木块可自由滑动时，分不对子弹的木块应用功能定理：

120212

121fs mv mv -=- 2222

1fs Mv = 明显，021L s s =-，由此：

0222120)2

121(21fL mv mv mv =+- ⑥ ⑤、⑥两式的物理意义一致的，即：子弹射穿木块过程中，系统的动能缺失总等于子弹所受阻力与子弹相关于木块的移动距离之积。

子弹能射穿木块的临界条件是，子弹射穿木块后，子弹与木块等速：

v m M mv )(0+= ⑦

这种情形下，系统的动能缺失仍等于阻力与相对移动距离之积：

0220)(2

121fL v m M mv =+- 将⑦代入，可得：020)

(2fL m M mMv =+ ⑧ 由⑤、⑧两式)

(22121202120m M mMv mv mv +=-， 图6－4－2

m M mv v v +=-202120 可解出181202120=-=+v v v m M M ，80=m M 为子弹刚好穿出时M ∶m 的值。我们差不多明白，M 越大，子弹打入木块的深度越大，故M ∶m ＝80应为M ∶m 的最小值，即应取M ∶m ≥80。

〖点评〗〔1〕应用动能定理列方程时，方程中的速度、位移均应以地面为参照物，如②、③两式。〔2〕要明白得②、③、④的物理意义。②、③是依照动能定理列出的，在此题模型

中，③式反映了子弹对木块所做功，②式变号：12202

121fs mv mv =-，反应了木块对子弹所做功的大小，可见子弹对木块所做功与木块对子弹所做功大小是不相等的。④式表示，系统的动能缺失等于阻力与相对移动距离之积。〔3〕临界条件的确定往往是解题的关键，专门多情形下，临界条件是依据实际状况确定的，如两物体分离的临界条件是它们间的弹力为零；两物体在同一直线上运动时，距离取极值〔临界值〕的条件是等速。此题中，子弹射穿木块，相当于子弹作减速运动追木块的远端面，能追上的临界条件是：追上时恰好等速。

例3．如图6－4－3，在光滑水平桌面上，物体A 和B 用轻弹簧连接，另一物体C 靠在B 左侧未连接，它们的质量分不为m A =0.2kg ，m B =m C =0.1kg 。现用外力将B 、C 和A 压缩弹簧，外力做功为7.2J ，弹簧仍在弹性限度内然后由静止开释。试求：

（1） 弹簧伸长最大时弹簧的弹性势能；

（2） 弹簧从伸长最大回复到自然长度时，A 、B 速度的大小。

〖解析〗取向右为正方向。

（1） 第一过程，弹簧从缩短至原长

0)(11=++v m m v m C B A A 02121)(2

121p C B A A E v m m v m =++ 代入数据得：m/s 61=A v ，m/s 61=v

第二过程，弹簧从原长伸至最长，现在A 、B 速度相等，有

211)(v m m v m v m B A B A A +=-

212202

1)(21v m v m m E E C B A p pm -+-= 代入数据得：m/s 22=v ，J 8.4=pm E

（2） 第三过程，弹簧从最长至原长，有

332)(B B A A B A v m v m v m m +=+

323222

121)(21B B A A pm B A v m v m E v m m +=++ 得：m/s 23-=A v ，m/s 103=B v

〖点评〗弹簧伸长时，B 、C 间有弹力作用，A 、B 系统的动量不守恒，但以A 、B 、C 作为系统，动量守恒。以后B 、C 分离，A 、B 系统的动量守恒。此题讲明有多个物体时，需合理选择物体组成研究系统。

图6－4－3