§6 - 3 厄米算符的对易关系

§6 - 3 厄米算符的对易关系

一算符的一般运算规则和对易式

1 、算符之和与积

1 ) 单位算符I

对于任意的波函数，有

ψ=

ψ

I.

(6. 42)

2 ) 算符Aˆ和Bˆ相等

如果对于任意的波函数ψ,都有

ψψB A

ˆˆ=, 则有 B A

ˆˆ=. (6. 43)

3 ) 算符A ˆ与B ˆ之和B

A ˆˆ+ 对于任意的波函数ψ，有

ψψψB A B A ˆˆ)ˆˆ(+=+. (6. 44)

显然：

A B B A

ˆˆˆˆ+=+, (满足交换律)

C B A C B A ˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++,

(满足结合律)

可证:

● 两个线性算符之和仍为线性算符.

● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。

4 ) 算符A

ˆ与B ˆ之积B A ˆˆ 对于任意的波函数ψ，有

)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB A B A

=. (6. 45)

问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？

研究两个算符作用是否与次序有关？

2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即

0ˆˆˆˆ≠-A B B A

. ● 对易式的定义

A B B A B A ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[-≡.

(6. 46)

若0]ˆ,ˆ[=B A

，则称算符A ˆ与B ˆ对易； 若]ˆ,ˆ[B A ≠ 0，则称算符A ˆ与B ˆ不对易。

● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算

符，除非这两个厄米算符可对易。具体

而言，若A A

ˆˆ=+，B B ˆˆ=+，则有 A B A B B A ˆˆˆˆ)ˆˆ(==+++,

(6. 47)

只有当0]ˆ,ˆ[=B A

或B A A B ˆˆˆˆ=时，才有 B A B A ˆˆ)ˆˆ(=+,

这时两个厄米算符A

ˆ与B ˆ的积B A ˆˆ才是厄米算符。

● 对易式满足下列恒等式：

]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B A C B A

±=±, ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B C B A C B A

+=,

(6. 48)

]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B A B C A C B A

+=.

3、 逆算符1ˆ-A

若由 φψ=A ˆ 能够唯一地解出ψ，则有

φ1ˆ-A ψ=.

若算符A

ˆ的逆算符1ˆ-A 存在，则有 I A A A A ==--ˆˆˆˆ11.

可以证明，若A ˆ与B ˆ的逆算符均存在，则

有

111ˆˆ)ˆˆ(---=A B B A .

(6. 49)

二 学的基量子力本对易式

1、 动量算符的各个分量之间可对易

0]ˆ,ˆ[=y x p p

, 0]ˆ,ˆ[=z y p p

, 0]ˆ,ˆ[=x z p p

. 由坐标表象中的动量算符为

∇-= i ˆp

立即可证.

2、 量子力学的基本对易式（位置算符和动量

算符各分量之间的对易式，重要！）

αβ

βαδ= i ],[p x ,

(6.50)

其中z y x ,,,=βα或1, 2, 3，这里用了克罗内克符号

1,

0.

αβ

αβαβ=⎧δ=⎨≠⎩.

可见，动量算符的各个分量只与位置算符的不同分量对易

0]ˆ,[=y p

x , 0]ˆ,[=z p

x , 0]ˆ,[=x p y , 0]ˆ,[=z p

y , 0]ˆ,[=x p

z , 0]ˆ,[=y p z ;

动量算符的相同分量之间是不可对易的

i ]ˆ,[]ˆ,[]ˆ,[===z y x p z p y p

x . 凡与经典力学量相对应的力学量之间的对易关系，均可由此导出。显然，克普朗

常量

在力学量的对易关系中起着关键性

的作用。 证明:

考虑坐标算符x 和动量算符的x 分量

x p

ˆ. 对于任一波函数ψ，有 ψψx x p

x x ∂∂

-= i ˆ,

ψψψψx

x x x x p

x ∂∂

--=∂∂-= i i )(i ˆ. 将以上两式相减，得

ψψ i )ˆˆ(=-x p

p

x x x . 由于ψ 是体系的任意波函数，所以有

i ˆˆ=-x p p

x x x . 其它等式与此类似证明。（典型证法，要掌握）

三 角动量算符各分量之间的对易式

1、角动量算符各分量之间

(6. 51)

2、角动量算符平方与各分量之间

.

]ˆ,ˆ[2z

.0

),,

(

=α

L

x

y

L=

α

(6. 52)

3、角动量算符各分量与空间坐标分量

之间

0],ˆ[=x L x , z y L

x i ],ˆ[=, y z L

x i ],ˆ[-=, z x L

y i ],ˆ[-=, 0],ˆ[=y L y , x z L

y i ],ˆ[=, （6. 53） y x L z i ],ˆ[=, x y L z i ],ˆ[-=, 0],ˆ[=z L

z . 由以上各式可以归纳出以下规则：从左到右，以x z y x →→→依次循环指标为正，任一指标“错位”则为负，相同指标则为零。

4、角动量算符各分量与动量坐标分量之间

有类似（6. 53）的关系。