三次样条插值

Sn ( x), x [ xn1,xn ]
满足: (1) S(x)在 [xj，xj+ 1]上为三次多项式; (2) S”(x)在区间[a，b]上连续;
(3) S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n). 则称 S(x)为三次样条插值函数.
第二章 插值法
注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
§2.7 三次样条插值
第二章 插值法
引例 2.7.1 三次样条插值函数的概念
一 背景 二、样条函数的定义 定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一）
边界条件1 （固支边界）
例2.13
2.7.2 三弯矩法 边界条件2（简支边界）
边界条件3（周期边界） 例2.14,2.15
2.7.3 m关系式 2. 7. 4 三次样条插值函数的性质
这里有四个待定系数ai ,bi , ci , di ,子区间共有n个.要确定S x需要
确定4n个待定系数。
另一方面，要求分段三次多项式Sx及其导数S ' x, S " x在整个插值区
间a,
b上连续，只要它们在各个子区间的连接点x1
,
x2
,
xn
上连续即
1
可，由条件2, 3可得待定系数应满足的4n 2个方程。
-5
0
5
第二章 插值法
x=[0, 0.0155, 0.1485, 0.3493, 0.6480, 1.0547, 2.0]; y=[0, 0.1242, 0.3654, 0.4975, 0.5472, 0.4781, 0];
n=length(x); t=0:n-1;tt=0:.25:n-1; xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt); plot(xx,yy,x,y,'o')
f(x)
H(x)
S(x)
第二章 插值法
首先指出单靠一张函数表是不能完全确定一个三次样条 插值函数的。
这是因为：由条件(1)，三次样条插值函数S x是一个分段三次
多项式，若用Si x 表示它在第i个区间 xi , xi1上的表达式，则 Si x ai x3 bi x2 ci x di x xi , xi1 (i 0,1, n 1)
2.7.1
三次样条插值函数的概念 第二章
插值法
一 背景
L-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值（牛顿插值）
Hermite插值
高次插值出现龙格现象
分段插值 但分段线性插值在节点处不一定光滑
分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到） ●为得到光滑度更高、应用方便的插值函数,我们引入样条插 值函数。“样条”名词来源于工程中船体、汽车、飞机等的 外形设计：给出外形曲线上的一组离散点(样点)，如(xi, yi)， i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上 固定，使其在其它地方自由弯曲，这样样条所表示的曲线， 称为样条曲线(函数)。
定义 2.8 （三次样条函数） 设有对[a,b]的剖分 : a x0 x1 xn b, 如果函数 S( x) 满足下述条件：
(a)S( x) C 2a, b，即具有连续的一阶，二阶导数。
b S( x) 在每一个小区间 [x j , x j1] j 0,1, n 1 上是次数 3
多项式。 则称 S( x)为关于剖分 的一个3次样条函数。
定义2.8*给定区间[a , b]上的一个分划:
第二章 插值法
a = x0 < x1 < … < xn = b 已知 f(xj) = yj (j = 0,1,···,n), 如果
S1( x), x [ x0 , x1]
S(x)
S2( x), x [ x1, x2 ]
第二章 插值法
相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较
Cubic Spline Interpolation Interpolation
Lagrange
二、样条函数的定义
第二章 插值法
下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函 数． 在数学上，三次样条曲线表现为近似于一条分段的三次 多项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。
a0 x3 b0 x2 c0 x d0 , x [x0 , x1] a1x3 b1x2 c1x d1, x [x1, x2 ]
S
(
x)
ai x3 bi x2 ci x di , x [xi , xi1]
an1x3 bn1x2 cn1x dn1, , x [xn , xn1]
第二章 插值法
引例: y=sin x 在区间[0， ]上的插值逼近
1. 二次插值 2. 两点埃尔米特插值
x 0
Sin x 0 0 Cos x 1 –1
3. 分段埃尔米特插值
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
x0 Sin x 0 Cos x 1
/2
10 0 –1
3( n-1)个
共可建立方程(4n-2)个！！
方程数少于未知数个数 ？？
第二章 插值法
共有4n 2个条件,要唯一确定S( x) ,还必须附加2个条件 这两个条件常在插值区间[a,b]的边界点a,b处给出，称为 边界条件。边界条件的类型很多，常见的有：
③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:
(a)固支边界 S x0 f x0 m0 , Sxn f xn mn , (1) (b)简支边界 S x0 f x0 M0 , Sxn f xn Mn , (2)
第二章 插值法
①插值条件: S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n)
n+1个
②连续性条件: S(xj+0) =S(xj-0) ( j = 1,···,n-1)
S'(xj+0) =S' (xj-0) ( j = 1,···,n-1)
S' ' (xj+0) =S' ' (xj-0) ( j = 1,···,n-1)
被插值函数:
f
(
x)
1
1 x2
第二章 插值法
-5≤ x ≤ 5
1
x=-5:5;
0.5
y=1./(1+x.^2);
plot(x,y,x,y,'o')
0
-5
0
5
x=-5:5;
1
y=1./(1+x.^2);
xi=-5:.05:5;
0.5
yi=spline(x,y,xi);
0
plot(xi,yi,'b',x,y,'ro')