高次方程及解法

高次方程及解法

江苏省通州高级中学徐嘉伟江苏省通州高级中学徐嘉伟

一般地～我们把次数大于2的整式方程～叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组～叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程～是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次

,以下的高次方程～也只能对其中的一些特殊形式的方程～采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法～将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次～转化成一次或二次方程求解。

,一、 1判根法

在一个一元高次方程中～如果各项系数之和等于零～则1是方程的根,如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和～则 -1是方程的根。

,求出方程的1的根后～将原高次方程用长除法或因式分解法分别除

,以,x-1,或者, x+1,,降低方程次数后依次求根。“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法～一定要熟练掌握运用。

432例1 解方程x+2x-9x-2x+8=0

解:观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1), 43232？, (x+2x-9x-2x+8)(x-1)= x+3x-6x-8

32观察方程x+3x-6x-8=0～偶次项系数之和为:3-8=-5,奇次项系数之和为:1-6=-5～根据歌诀“偶等奇～根 -1”～即方程中含有因

322？,式,x+1,～ ,x+3x-6x-8, (x+1)=x+2x-8～对一元二次方

2432？程x+2x-8=0有,x+4,,x-2,=0, 原高次方程x+2x-9x-2x+8=0可分解因式为:(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x=1;1当(x+1),,时～有x= -1;当(x-2) =0时～有x=2; 当(x+4)=0时～23

有x=-4 4

,1判根法”解高次方程时～一定注意把“常点拨提醒:在运用“

数项”作为“偶次项”系数计算。

二、常数项约数求根法

nn-1根据定理:“如果整系数多项式ax，ax+？+ax+a可分解出nn-110

Qnn-1？因式Px-Q,即方程ax，ax++ax+a=0有有理数根,,、Q 是nn-110P互质整数,～那么～,一定是首项系数a的约数～Q一定是常数项 an 0的约数”～我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。

“常数项约数求根法”分为两种类型:

第一种类型:首项系数为1。对首项,最高次数项,系数为1的

高次方程～直接列出常数项所有约数～代入原方程逐一验算～使方程值为零的约数～就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式～逐次降次～直至将高次方程降为二次或一次方程求解。

432例1 解方程x+2x-4x-5x-6=0

,,,解:第一步:首先列出“常数项”-6的所有约数1、2、3、,6

第二步:将这些约数逐一代入原方程验算～确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项

,系数和～排除1根～ f(2)=16+16-16-10-6=0

f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式,x-2,,x+3,

432,第三步:用长除法将原方程降次。,x+2x-4x-5x-6,(x-2)

2(x+3)= x+x+1

2第四步:解一元二次方程x+x+1=0

22,1,1,4，1，1,1,3i,,,bb4ac,x== 2a22

,1，3i,1,3i？,, x= x= x=2 x= -3 123422

第二种类型～首项系数不为1 。对首项系数不为,的高次方程～首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外～然后对小括号内的方

Q程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是而P不是,～因为此时原方程的因式是,,x,,,～其余的解法步骤同首项系数为,的解法步骤相同。

32例, 解方程？x-,x，,x -6,,

232解:将原方程化为？,x-x，？x -,,,, 此时～“常数项”3

,2,,,为-2～它的约数为 1～～根据“1判根法”排除1～这时～代

Q2Q2人原方程验算的只能是=～或= - 33PP

32，，882222,,,,,,2,，2,2，f=3=30=0 ,，，

3，,2,3，,,(),,,,,,27273333,,3,,,,,,，，

所以原方程中有因式,3 X-2,。

322,,3x-,x，,x -6,(3x -2)= x+3

,3i3i3i2解方程式x+3=0 x=～ x= ～x=- 12222

3i,3i2？原方程的解为x= ～x= ～x= 123223

三、倒数方程求根法

1、定义:系数成首尾等距离的对称形式的方程～叫做倒数方程。

432a,e,如a x+bx+cx+dx+e=0,其中～或者a= -e,b= -d b,d

2、性质:倒数方程有三条重要性质:

,1,倒数方程没有零根,

1,2,如果a是方程的根～则也是方程的根, a

,3,奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1～分解出因式(x+1)

或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。

3、倒数方程求解方法:

432如果a x+bx+cx+dx+e=0是倒数方程～由于倒数方程没有零根～

1122,即x0,所以～方程两边同除以x得:a(x+)+b(x+)+e=0,令2xx

1122x+=y, x+=y-2,即原方程变为: 2xx

12ay+by+(e-2a)=0, 解得y值～再由x+=y～解得x的值。 x432例1 解方程2 x+3x-16x+3x+2=0

2 2？？,解: x0 方程两边同除以 x 得:

12131222x+3x-16++=0,即2,x+,+3,x+,-16=0, 2[,x+,22xxxxx

1122-2]+3,x+,-16=0, 令x+=y, 代入方程整理得:2y+3y-20=0, xx

1522解之得:y= -4, y= 即x+= -4, x+1= -4x, x+4x+1=0, 122x

22,,,,,,，，bb4ac44411,4,12,4,23,3x=====-2, 2a222

33x= -2+, x= -2 - 12

1522？又 x+= 2x+2=5x, 2x-5x+2=0 (2x-1)(x-2)=0 x2

1？x=, x=2 342

133经检验知x= -2+, x= -2-～x=, x=2都是原方程的12342

根。

5 4 32 例2 解方程6x- 4 x-3x+3x-4x -6=0

解:观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数～且最高

次幂项数是奇数～有根x=1,方程两边同除以因式,x-1,得:

43226x+10x+7x+10x+6=0～方程两边同除以x并整理得:111,,,,22xx，，7,0，6y，10y,5,06+10, 令y=得，x,,,,2xxx,,,,

,5,55,5，551,5，55y,,,y, 方程x+无实数12x666