第二章行列式克拉默法则

2的前面比2大的数有三个:4 , 5 , 3,故逆序数为3;
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D
D2 x2 , D
D3 x3 . D
例4
解线性方程组
2 x1 4 x2 x3 1, x1 5 x2 3 x3 2, x x x 1. 2 3 1
解
由于方程组的系数行列式
2 D 1 1
1 1 1 1 5 1 3 1 2 1 4 1
a12
a13 a23 a11a 22 a 33 a12 a 23 a31 a13 a 21a 32 a33 a a a a a a a a a
11 23 32 12 21 33
a21 a22 a31 a32
13 22 31,
上式称为数表所确定的三阶行列式.
a11
a12
a13
D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义
例如
在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 i t i s 则称这两个数组成一个逆序. 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
类似地，消去 x1，得
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 , 上式中 的系数 称为由二阶方 a11a22 a12a21 x1和x2 阵 A 所确定的二阶行列式.
记为:
a11 a12 D a21 a22
矩阵 A 还记作 A 或 det A ,即 a11 a12 det A A a11a22 a12a21 . a21 a22 当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为 b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . （3） a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 由方程组的四个系数确定.
a11 a12 D a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D1
b1 b2
a12 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D
a11
a12
a21 a22
,
注意
a12 a22 , a12 a22
a11 b1 D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
2 x1 4 x2 1, x1 3 x2 2.
解
D
2 1
4 3
6 4 2 0,
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不
同的排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式; 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行、 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正、三项 为 负.
x1 , x2 , x3
T
D1 D2 D3 11 9 3 , , , , . 8 4 8 D D D
T
第二节 排列
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
记
a12
a13
D1 b2 b3 b1
a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33
即
D1 b2 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13
求解方程
方程左端
2 3 4 9
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 0 解得
x 2 或 x 3.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 0, a33
D2 a21 b2 a31 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
得
b1
a13 a23 , a33
D2 a21 b2 a31 b3
a11 a12 b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 b2 . a x a x a x b ; a31 a32 b3 31 1 32 2 33 3 3
4 5 1
1 3 2 5 1 4 3 1 1
8 0,
同理可得
1 D1 2 1 4 5 1 1 3 11, 1 4 5 1
2 D2 1 1
1 2 6, 1
T
1 5 1
1 2 9, 1
2 D3 1 1
故方程组的解为:
对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D1
b1 b2
a12 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D2
a11
b1
a21 b2
.
则二元线性方程组的解为
b1 D1 b2 x1 D a11 a21
a11
a12
a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
b1 D1 b2 b3 a11
a12
a13
a22 a23 , a32 a33 b1 a13 a23 , a33
D2 a21 b2 a31 b3
a22 a23 ,
或
b1 b2 b 1
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
得
b1
a13 a23 , a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
第二章
行列式 克拉默法则
n 阶行列式的定义、性质及计算方法
克拉默（Cramer）法则
第一节 二阶和三阶行列式
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
其系数矩阵
1 2
a11 a12 A a21 a22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12 a 21
a11 a12
a12 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
D
a11
a12
a21 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列. 计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在1,2 , , n 1, n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1,2 , , n 1, n 这 n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 例1 解 求排列45321的逆序数. 在排列45321中,
4排在首位,逆序数为0; 5是最大数，故逆序数为0;
3的前面比3大的数有两个:4 , 5 ,故逆序数为2;
D2 2 1 1 2
D1
1 2
4 3
5,
3,
D1 5 5 x1 , D 2 2
3 D2 x2 . D 2
二、三阶行列式
定义 1
设有9个数排成3行 3列的数表 a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
记 a11
的系数行列式 D a21 a22
a31 a32
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1
若记
a12
a13
D1 b2
是一个二阶方阵。
用消元法求解线性方程组
1 a21 :
2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
例２
计算三阶行列式
1 2 3 D 3 1 2 2 3 1
解
按对角线法则，有
D 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 8 27 6 6 6 18.
1 1
例3 解
1 x 0. x2