第10章第2节无界函数的反常积分

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§10.2 无界函数的反常积分
性质１
若（ f1 x） 与（ f2 x） 的瑕点同为x a，k1, k2为任意常数
则当瑕积分
b a
b a
f1 ( x)dx与
b
a
f 2 ( x)dx都收敛时
瑕积分 [k1 f1 ( x) k2 f 2 ( x)]dx也收敛, 且
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§10.2 无界函数的反常积分
一.无界函数反常积分(瑕积分)的概念 1.定义: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续,
而在点 a 的右邻域内无界, 取 > 0.如果极限 lim
b
b
注意区间左端点
0 a

b
f ( x)dx 存在,
f ( x)dx 0 a
f ( x) 的奇点或瑕点.
（即函数
f ( x)在区间 a, b 上的不连续点）
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§10.2 无界函数的反常积分
3.定义:
若 且
f ( x) 在 a, b 内部有一个奇点c，a<c<b,
c a
奇点在区间内部

f ( x)dx和 f ( x)dx 都收敛,
b
则


b
a
dx b ln( x a) |a xa ln(b a) ln ( 0).
所以
{
1 p 1时,积分收敛于 ( b a )1 p ; 1 p p 1时,积分发散.
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§10.2 无界函数的反常积分
dx 对于积分 的收敛性也有相仿的结论. p a （b x） b dx 并且由此可得积分 （ p，q 0), p q a （x a） （b x） 只有当p 1, q 1 时收敛, 其他情形都发散 .
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b
b
§10.2 无界函数的反常积分
性质4
(柯西收敛原理)
b a
若f（x）在x a有奇点， f（x）dx收敛
总有
0, 0,当0 , 时,

a
a
f（x）dx .
等价叙述为： b 瑕积分 f ( x)dx a为瑕点收敛的充要条件是 : a 0, 0, 只要u1､ u2 a, a , 便有
则积分 f ( x) g ( x)dx 收敛.
a
b
（记清条件和结论会用）
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§10.2 无界函数的反常积分
*2.狄利克雷判别法
设f ( x)在x a有奇点,
若(1).
b
a
f ( x)dx是的有界函数;
x a
（2） .g ( x)单调且 lim g ( x) 0,
（注意： c 与c 中的是同一个正数）
则称此极限值为瑕积分 （ f x）dx的柯西主值.
a b
c b 记作 PV . . f ( x)dx lim （ f x）dx （ f x）dx a c 0 a b
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ln x 所以瑕积分 dx收敛. 0 x
1
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§10.2 无界函数的反常积分
例4 : 计算广义积分
a
0
1 解 : 因为 lim 2 2 x a 0 a x 所以, x=a为被积函数的无穷间断点.
于是:
dx a2 x2
(a 0)
加
0
a
x = lim arcsin a a- = lim arcsin -0
1
加
1 1 1 dx lim 2 1 x 2 dx lim 0 x 1 0 1 x
0 0
1

1 （ 2 dx不需计算即可判断） 0 x 0 dx 1 dx 即广义积分 2 发散, 所以广义积分 2 发散. 1 x 1 x
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§10.2 无界函数的反常积分
无穷积分与瑕积分的联系：
设 f（x）dx 中x a是f（x）的奇点，
a
b 1 作变换y ， 则 （ f x）dx 1 a xa ba
b
1 （ f a ） y dy， 2 y
瑕积分
无穷积分
两种积分的关系通过上述等式就联系起来了.
u
则当 f ( x) dx收敛时，
a
b

b
a
b a
f ( x)dx必收敛, 且
f ( x) dx


b
a
f ( x) dx.
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§10.2 无界函数的反常积分
注: 当a f ( x) dx收敛时,称a f ( x)dx为绝对收敛.
性质３说明绝对收敛的积分自身一定收敛． 但自身收敛的积分不一定绝对收敛． 我们称收敛而不绝对收敛的积分为条件收敛． （这里的结论与级数中有关结论相似注意比较）
a=1 这里 k=1， p=1
根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散.
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§10.2 无界函数的反常积分
四. 广义积分（无穷积分.瑕积分)的主值
1.瑕积分的柯西主值: 设f（x）在a，b 内无界，c是唯一奇点（ a c b),
c b 若 lim f（x）dx f（x）dx 存在， c 0 a

u2
u1
f ( x)dx .
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§10.2 无界函数的反常积分
柯西判别法 设x a是f ( x)的奇点,
b 1 若 f ( x) , 且0＜p＜ 1,则 f ( x) dx收敛; p a ( x a) b 1 若 f ( x) , p 1,则 f ( x) dx发散. p a ( x a)
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§10.2 无界函数的反常积分
ln x 例3： 讨论 dx的收敛性 . 0 x , 解： x 0是被积函数的瑕点
1
因为 lim ( x 0)
x 0
3
4
ln x x
lim x 4 ln x 0,
x 0
1
3 由柯西判别法极限形式, 这里a=0，k=0,p= 1, 4
同理，可定义函数（ f x）在a，b 上的反常积分. 2.定义: 设函数 f (x)在区间 a, b 上连续,
而在点 b的左邻域内无界, 取 > 0.如果极限
注意区间右端点
+0 a
lim
b
f ( x)dx
存在,
则称此极限为函数 f (x)在 a, b 上的广义积分. 以上定义中的a，b称为函数
§10.2 无界函数的反常积分
2.无穷积分的柯西主值:
P.V .


A f ( x) dx lim （ f x）dx A A
b
例6： 设a c b, 求a 解： P.V .
b
c
a
b
f ( x)dx
收敛, 且有
c b a c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
c
即 （ f x）dx lim
a
b
0
a
（ f x）dx lim （ f x）dx.
0
c
b
a，c
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c，b
极限形式
设 lim( x a ) f ( x) k .
p xa
b a
b
若 (i) 0 k＜+ , p 1, 则 f ( x) dx收敛;
(ii) 0 k , p 1, f ( x)在 a,b不变号, 则 f ( x)dx发散.
a
这里关键是记清楚条件中的p、k关系问题.
b
b
则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上的广义积分.
仍然记作 f ( x)dx, 即 a f ( x)dx lim
a
这时也称广义积分
如果上述极限不存在, 就称广义积分 f ( x) dx 发散.
a
a
b
f ( x)dx 收敛.
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§10.2 无界函数的反常积分

b
a
[k1 f1 ( x) k2 f2 ( x)]dx k1 f1 ( x)dx k2 f2 ( x)dx.
a a
b
b
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§10.2 无界函数的反常积分
性质2
若f 的瑕点为x a，c ( a, b ) 为任意常数
则瑕积分
b a
f ( x)dx与
+0 0
+0
a dx lim 2 2 0 0 a x a-
dx a2 x2
y
1 a
y
1 a x2
2
o
a-
a- x

a

arcsin 1
0
2
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§10.2 无界函数的反常积分
dx 例5 : 讨论广义积分 2 的收敛性. 1 x x 0， 由于 解： 被积函数奇点为
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1 sin 1 x dx 收敛， 0 x
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§10.2 无界函数的反常积分
加
判别广义积分
3
1
dx 的收敛性. ln x
解 被积函数在点 x 1 的左邻域内无界． 由洛必达法则知
1 1 lim ( x 1) lim 1 0, x 1 0 x 1 0 1 ln x x
1 lim ( 1) 0
作业: P 70 1、2（1、3、5、7）
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§10.2 无界函数的反常积分
三. 瑕积分收敛的判别法
*来自百度文库.阿贝尔判别法
设f ( x)在x a有奇点 , 若(1). f ( x)dx收敛;
a b
(2).g ( x)单调有界 ,
b
1 1 p 1 p （ b a ） . 1 p
dx lim p +0 a ( x a)
b

1 ( b a )1 p , p 1 1 p , p 1
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§10.2 无界函数的反常积分
当p 1 时,
c a
c
a
f ( x)dx同敛态, 且
b

b
a
f ( x) dx f ( x)dx f( x ) dx.
c
（瑕积分）
（定积分）
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§10.2 无界函数的反常积分
性质３
若函数f 的瑕点为x a， f 在(a, b]的任一内闭区间 b [u, b]上可积. 即 f（x） dx存在.
b
例2： 讨论积分
1
dx 1 x2
0
的敛散性 .
积分是瑕积分， 解： x 1是被积函数的奇点，此

1
dx 1 x
2
0
arcsin x
1 0
lim arcsin （ 1 ）
0

2
.
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§10.2 无界函数的反常积分
二. 无界函数反常积分(瑕积分)的性质 和无穷积分相仿，瑕积分也有定积 分具有的性质,包括分部积分法和换元法 对于瑕积分也成立. 瑕积分同样可以引进绝对收敛和条 件收敛的概念， 并且也有：绝对收敛必收敛， 但反之未必.
则积分 f ( x) g ( x)dx 收敛.
a
b
（记清条件和结论会用）
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加
1 sin x 1 , 而 1 dx 收敛， 解 ０ x x x
根据比较判别法,
1 sin 1 x dx 的收敛性. 判别广义积分 0 x
§10.2 无界函数的反常积分
1 sin 1 x dx 也收敛． 从而 0 x
§10.2 无界函数的反常积分
引言
本节讨论把定积分概念在另一个 方面进行拓广,即假定积分区间 a, b 仍为有限,但被积函数在区间 a, b 上 是无界的.这种情况下的积分称为无界 函数的反常积分(瑕积分).
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§10.2 无界函数的反常积分
主要内容 一、无界函数的广义积分概念 二、无界函数的广义积分性质 三、无界函数的广义积分收敛 判别法 四、无界函数的广义积分主值
5
( 与各自独立的 0)
§10.2 无界函数的反常积分
dx 例1: 讨论积分 （ p 0）的收敛性. p a （x a）
b
解:
当p 0时，x a是被积函数的奇点.
dx 1 1 p b 当p 1 时， （x a） |a p a （ x a） 1 p