方差分析双向方差分析

缓解程度 完全缓解 化疗期 46 51 41 32 45 52 41 34 39 28 26 33 31 35 37 50 时期 化疗间隙 56 36 46 47 63 56 54 39 53 58 66 51 57 64 45 45
未缓解
完全随机的两因素2×2析因设计
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1. 两个或以上处理因素 的各处理水平间的均数有
无差异？即主效应有无统计学意义？
2. 两个或以上处理因素之间有无交互作用？
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12
析因设计的4个实例
实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固 醇的作用（主效应）？②两种药间有无交互作用
2
(3)
(4)
(5) 误差变异：SS SS SS SS SS A B AB 总 误差
1 ba n 处理因素B的变异： SSB Y ijk C a n j 1 i 1 k 1 2 a b n 1 A与B交互作用的变异：SS Y AB ijk C SS A SS B n i 1 j 1 k 1
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H0： 1 2 3 ，即三种不同营养素的小鼠所 增体重的总体均数相等 H1：三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数 不全相等 0.05
SS总 Yij2 C 110447.5 1591.12 / 24 4964.21
j k
2 S i Yijk j k
(40～ ) 24 28 24 25 30 131 39 42 36 42 40 199 41 45 40 40 35 201 24 25 30 26 23 128
1.心 脏 病
2.肿 瘤
3.脑 血 管 意 外
4.结 核 病
20 25 22 27 21 115 30 45 30 35 36 176 31 30 40 35 30 166 20 21 20 20 19 100 按 B 水 平 合 计

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一、两因素析因设计的ANOVA
符号
两个处理因素：A、B
A、B因素各有a、b个水平，共有a×b种组合
每一组合下有n个受试对象
全部实验受试对象总数为a×b×n
i (i=1,2…,α)表示因素A的水平号，
j (j=1,2,…,b)表示因素B的水平号，
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例9-1
按随机区组设计方案，以窝别作为区组标志，
给断奶后小鼠喂以三种不同营养素A、B、C，问营养 素对小鼠所增体重有无差别。
表 8个区组小鼠按随机区组设计的分配结果
1 2 3 4 5 6 7 8 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 随机数 44 11 8 94 85 96 31 74 77 94 43 63 87 10 3 76 5 54 62 55 63 70 55 22 分组 c b a b a c a b c c a b c b a c a b b a c c b a
k (k=1,2,…,n)表示在每一组合下的受试对象号
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例9-2 两因素：疾病种类（A）与护士年龄（B） a=4（心脏病、肿瘤、脑血管意外、结核病） b=3（20～、30～、40～）; n=5；Yijk为访视时间
问： (1) 护士年龄的主效应？ (2) 疾病病种的主效应？ (3) 护士年龄与疾病病种间是否存在交互作 用？
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变异分解
a b n 2 ijk a b n
a b n 2 SS总 Y Yijk abn Yijk C (1) 总变异： i 1 j 1 k 1 i 1 j 1 k 1 i 1 j 1 k 1 2 a b n 1 (2) 处理因素A的变异： SSA b n Yijk C i 1 j 1 k 1
13 ～ 15
泸白种
24 ～ 25
13 ～ 15
完全随机的三因素2×2×2析因设计
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实例4：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射频次下 药剂ACTH对尿总酸度的影响。问①A、B各自的主效 应如何？②二者间有无交互作用？
配伍组编号 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 日注射量 A A1 注射次数 B B1 （少） B2 （多） 33.6 33.0 37.1 30.5 34.1 33.3 34.6 34.4 33.0 28.5 29.5 31.8 29.2 29.9 30.7 28.3 31.4 30.7 28.3 28.2 28.9 28.4 28.6 30.6
甲药 用 用 64 78 80 28 31 23 乙药 不用 56 44 42 16 25 18
不用
完全随机的两因素2×2析因设计
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实例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率（％），问 ①不同缓解程度、不同化疗时期淋转率是否相同？ ②两者间有无交互作用？
nj
3 3 3 3 3 3 3 3 24
Y
i ij
1 2 3 4 5 6 7 8
57.0 55.0 62.1 74.5 86.7 42.0 71.9 51.5 8
ij
197.8 196.1 208.1 222.2 273.2 137.0 202.2 154.5
ni
Y
j
500.7 62.6
1591.1 66.3 110447.5
6
Yi
Y
j
2 ij
32783.4
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变异分解
(1) 总变异： 所有观察值之间的变异
(2) 处理间变异：处理因素＋随机误差
(3) 区组间变异：区组因素＋随机误差
(4) 误差变异： 随机误差
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
第九章 方差分析（二）： 双向方差分析
Two-way Analysis of Variance
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1
上一章内容 单向方差分析：处理因素效应+随机效应
本章内容 双向方差分析：处理因素效应+随机效应 +区组效应 （或另一处理因素效应、交互作用等） 随机区组设计的方差分析 析因设计的方差分析 裂区设计的方差分析
因 素 B： 护 士 年 龄 组 :岁 因 素 A：病 种
( j)
3
按 A 水 平 合 计
(i )
1 (20～ )
2 (30～ ) 25 30 29 28 30 142 30 29 31 30 30 150 32 35 30 40 30 167 23 25 28 30 31 137
Ti Tijk
i 1 j 1
n
a
n
SS处理
i 1
a
( Yij )
j 1
2
n
n
1 C (500.7 2 523.42 567.02 ) 1591.12 / 24 283.83 8
( Yij )
i 1 a 2
SS区组
j 1
a
1 C (197.82 196.12 208.12 222.22 3
2
SS总 SSA SSB SSAB SS误差
总 A B AB 误差
(a 1) (b 1) (a 1)(b 1) 误差 N 1
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表 9-3
护 士 进 行 家 庭 访 视 所 花 费 的 时 间 (分 钟 )
A2
A3
随机区组的两因素3×2析因设计
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析因设计的特点
2个或以上（处理）因素（factor）(分类变量) （本节只考虑两个因素） 每个因素有2个或以上水平（level） 每一组合涉及全部因素，每一因素只有一个水平 参与 几个因素的组合中至少有 2个或以上的观察值 观测值为定量数据（需满足随机、独立、正态、 等方差的ANOVA条件）
1.完全随机设计的ANOVA 2.随机区组设计的ANOVA
所关心的问题：
一个处理因素不 同处理水平间的 均数有无差异？
以上第2个设计中，设立单位组（区组）的 目的是控制混杂因素。使混杂因素在各处理水平 间达到均衡，提高检验效率。
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析因设计（factorial design）ANOVA 所关心的问题
388
10190
525
18793
534
19366
365
9107
百度文库
ni
Tj S
j
20
ijk 2 ijk k
20 596 18000
20 659 22843
60 1812 57456
Y Y
i k i
557 16613
自由度 2 7 14 23 均方 MS 141.92 49.29
离均差平方和 SS 283.83 3990.31 690.07 4964.21
F
2.88
P
0.0897 0.0000
570.04 11.56
(a-1)(n-1)
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查界值表，得 F0.05(2，14)=3.74， 今F＝2.88<F0.05(2, 14)，故P>0.05。
273.22 137.02 202.22 154.52 ) 1591.12 / 24 3990.31
SS误差 4964.21 283.83 3990.31 690.07
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表9-2
变异来源 处理 区组 误差 总
例9-1资料的方差分析表
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第一节 随机区组设计 资料的方差分析
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3
随机区组设计 randomized block design
又称为配伍组设计，是配对设计的扩 展。具体做法是：先按影响试验结果的非 处理因素（如性别、体重、年龄、职业、 病情、病程、动物窝别等）将受试对象配 成区组(block)，再分别将各区组内的受试 对象随机分配到各处理或对照组。
区组
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表 9-1 区 组 (j)
三 种 营 养 素 喂 养 四 周 后 各 小 鼠 所 增 体 重 (g) 营 养 素 分 组 (i) 1(A) 2(B) 64.8 66.6 69.5 61.1 91.8 51.8 69.2 48.6 8 523.4 65.3 35459.1 3(C) 76.0 74.5 76.5 86.6 94.7 43.2 61.1 54.4 8 567.0 70.9 42205.0 按区组求 和
实例3：小鼠种别A、体重B和性别C对皮内移植SRS瘤 细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积cm3）问①A、B 、C各自的主效应如何？②三者间有无交互作用？
种别 A 昆明种 体重（ g ） 24 ～ 25 性别 雄性 0.7069 0.7854 0.3581 1.0838 0.9425 0.3335 0.0628 0.0942 0.0471 0.0126 0.0094 0.0125 雌性 0.1885 0.3403 0.2503 0.9550 0.9215 0.8514 0.4712 0.0880 0.1759 0.2513 0.3676 0.1327
结论：按 0.05 水准，不拒绝 H0 ，尚不 能认为三种不同营养素对小鼠所增体重的 总体均数不等。 当a=2时，随机区组设计资料的方差分析与 配对设计资料的t 检验等价，有 t F 。
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第二节 两因素析因设计资料的方差分析
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