勒让德函数

在特殊函数中的应用
1 作出0-4阶勒让德函数图形
>>x=0:0.01:1;
y0=legendre(0,x);
y1=legendre(1,x);
y2=legendre(2,x);
y3=legendre(3,x);
y4=legendre(4,x);
plot(x,y0(1,:),'g*',x,y1(1,:),'b+',x,y2(1,:),'ro',x,y3(1,:),'k:',x,y4(1 ,:),'r:')
>> legend('P_0','P_1','P_2','P_3','P_4');title('Legendre')
>>（仿真结果）
2 作出二阶连带勒让德函数图形
>>x=0:0.01:1;
y=legendre(2,x);
plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro')
>> legend('P_2^0','P_2^1','P_2^2')
3 作出三阶连带勒让德函数图形
>>x=0:0.01:1;
y=legendre(3,x);
plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro',x,y(4,:),'k:') >>legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3')
4 作出整数阶贝塞尔函数的图形
>>clear
y=besselj(0:5,(0:0.2:10)');
plot((0:0.2:10)',y)
ylabel('j_v(x)')
xlabel('x')
legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5')
text(1,0.8,'J_0(x)')
text(2,0.6,'J_1(x)')
text(3,0.5,'J_2(x)')
text(4.2,0.4,'J_3(x)')
text(5.1,0.4,'J_4(x)')
>>text(6.5,0.4,'J_5(x)')
Legendre函数
2007年12月13日星期四 01:00
Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。

1. 氢原子波函数的角度部分：
用MATLAB来画一画：
l=0,m=0，即s轨道角度部分：
t=0:0.01:2*pi;
y0n=legendre(0,cos(t),'sch');
polar(t,y0n(1,:).^2);
l=1,m=0,+1,-1 即p轨道角度部分：
t=0:0.01:2*pi;
y1n=legendre(1,cos(t),'sch');
polar(t,y1n(1,:).^2,'r');
hold on;
polar(t,y1n(2,:).^2,'g');
l=2,m=0,+1,-1,+2,-2 即d轨道角度部分：
t=0:0.01:2*pi;
y2n=legendre(2,cos(t),'sch');
polar(t,y2n(1,:).^2,'r'); %d(z^2)
hold on;
polar(t,y2n(2,:).^2,'g');
polar(t,y2n(3,:).^2,'b');
Legendre多项式
函数
（7.12）
由于展开式
（7.13）
而称为Legendre（勒让德）多项式的母函数。

展开项系数称为Legendre多项式，下节将证明它满足Legendre方程式（7.11）。

称为阶。

将式（7.13）左边利用二项式定理展开，有
在上式中，含有的项只出现在含的项和以前各项中。

在这些项中，将含的各项展成幂级数，并找出所有含的项，其系数合为
（7.13）
其中，
这是因为当时，求和中最低幂项是，当时，最低幂项是。

Legendre多项式的具体形式写成
（7.14）Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues（洛德利格）公式
（7.15）
（7.14）式和（7.15）的正确性可以代入Legendre方程式（7.11）直接证明。

由式（7.14）和（7.15）可得出前几阶Legendre 多项式具体形式
图7.1显示
在区间〔－1，1〕上的图形，一般有
图7.1 Legendre 函数4,40) 3, 2,1, 0, ( n x P n )( 第二类Legendre 函数
值得一提的式，Legendre 方程（7.11）应有另一个独立的解，这个解称为第二类Legendre 函数，记为 。

其形式为
等一般的形式是
由于的对数形式，第二类Legendre函数在边界是无界的（并非全部）。

因此不能构成Legendre方程的本征函数系，所以，对将不在作讨论。

Legnedre多项式的零点
的零点都是一阶的，全部位于区域〔－1，1〕内。

且与的零点相互穿插，在的两个相邻零点之间必有一个的零点；反之亦然。

2.3 Legnedre多项式的性质
Legendre多项式的性质如下：
递推公式
① (7.16)
(7.17)
(7.18)
(7.19)
② (7.20)
对称性
③ (7.21)
特殊点的值
④(7.22)
⑤
(7.23)
⑥
(7.24)
积分表达形式
⑦ (7.25)
Laplace第一积分
⑧ (7.26)
取，由式（7.26）得
取，由式（7.26）得
⑨ (7.27)
Laplace第二积分
⑩(7.28) 积分公式
（7.29）
（7.30）
（7.31）
利用Rodrigues公式（7.15）可证明积分公式，下面证明方程（7.31）。

利
用式（7.15），有
将积分作次分部积分，然后设，并利用积分公式
得
下面由母函数入手，证明Legendre多项式得递推公式，将母函数式（7.12）写下
（7.12）
对式（7.12）两边取导数，得
用乘上两边，得
将上式左边中母函数再作展开，得等式
（7.32）
比较（7.32）式两边项得系数，得递推关系。

这是式（7.20）的结果。

同理，对式（7.12）两边的求导，得
将上式两边乘以，并将左边母函数展开，得
（7.33）
比较项的系数，得
这就是式（7.19）。

其它递推公式可依此导出，这里不再证明。

利用母函数，已证明Legendre式多项式（7.14）满足递推公式（7.16）～（7.20），则式（7.14）是Legendre方程（7.11）的解。

下面证明定理。

定理设函数是在〔－1，1〕区间上有一、二阶连续倒数的连续函
数，
若满足递推公式（7.16）和式（7.17）～（7.20），则
是Legendre方程
的解。

将递推公式（7.16）两边对求导，得
（7.34）
再将式（7.16）乘以，得
（7.35）
将式（7.34）乘以，并与式（7.35）相加，得
（7.36）
由式（7.17），将换成，有
（7.37）
将式（7.37）两边对求导，得
（7.38）
或写成
（7.39）
将式（7.39）代入式（7.36），得
（7.40）
再由式（7.16）将式（7.40）中的项替代，最后，得到Legendre方程
2.4 Fourier－Legendre级数
第6章§1.3讨论了区间〔－1，1〕上，Legendre方程的本征值为
（7.41）
相应的本征函数是Legendre多项式
（7.42）
由Legendre方程（7.11）知，。

在边界，
因而Legendre方程的解满足自然边界条件，因而有本征函数正交性
（7.43）
第6章§1.4还讨论了函数在区间〔－1，1〕上用Legendre函数展成的广义Fourier级数，称为Fourier－Lengendre级数。

模计算如下：将母函数式（7.12）两边平方，得
（7.47）Fourier－Lengendre级数展开定理
若在区间〔－1，1〕上连续，或有限第一类间断点，那么，Fourier－Lengendre 级数
（7.44）
其中（7.45）
（7.46）
在〔－1，1〕上的连续点收敛于；在的间断点，则收敛于平均值
；在，收敛于；在，级数收敛于。

将方程（7.47）两边对从－1到1积分，并利用正交关系式（7.43）可知式（7.47）右边的第二项积分等于零。

于是，有
（7.48）
式（7.48）左边的积分可完成为
（7.49）
将式（7.49）与式（7.48）的右边相比较，得
【例7.1】在〔－1，1〕区间上，试求展成Fourier－Lengendre 级数。

解设
根据积分公式（7.30）可知，当时，所有积分等于零，即
利用式（7.29），计算得
（被积函数是奇函数）
于是有
由上述计算可得出以下结论：在的Fourier－Lengendre级数中，若是奇数，只含奇数阶Lengendre多项式；若为偶数，只含偶数阶Lengendre多项式。

且Lengendre多项式的阶数最高阶为。

下面列出部分的Fourier－Lengendre多项式的阶数：
2.5具有轴对称性的物理问题举例
由本章§1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。

把对称轴取作求坐标的轴，Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为
（7.50）Laplace方程描写的轴对称问题的形式解：
(7.51)
对于球内问题，有对于球外问题，应为零。

【例7.2】半径为的均匀带电圆环，总电量为，如图7.2，求圆环周围空间的电势。

解先由Coulomb（库仑）定律求在轴上的电势，
（7.52）
将式（7.52）作Laurant（罗朗）展开，得
（7.53）
势（7.53）可看成是形式解（7.51）在的边界条件。

比较两式，且有，得
【例7.3】半径为的半球导体，球面温度保持在，底面温度保持为，如图7.3，求半导体球内的稳定温度分布。

解稳定时，导体内的温度分布满足Laplace方程。

温度分部具有轴对称性。

对于球内问题，由式（7.51）有
（7.54）
边界条件是
（7.55）
（7.56）
由式（7.55），有
显然，只有当为奇数时才有。

因而，式（7.54）成为
（7.57）
由式（7.56），有
利用Fourier－Legendre级数展开定理，有
（7.58）
最后一步积分是利用习题7.2第3①题的结果求得的。

将式（7.58）换写成表达式，并代入式（7.57），有
（7.59）
§ 3* 连带LEGENDRE多项式
3.1 连带LEGENDRE多项式
上节讨论了对称的定解问题，当时，式（7.5）转变成Legendre方程（7.10）。

当物理问题是非轴对称时，将式（7.5）写下：
（7.59）
类似地，作代换，令，式（7.5）变成连带Legendre方程
（7.60）
式（7.60）的本征值是，只有当取等整数时，式（7.60）才有本征函数解。

设
（7.61）
于是,有
将上述结果代入式（7.60）得
（7.62）另则，由Legendre方程（7.11）对作次求导，得
（7.63）
比较式（7.63）与（7.62）有
（7.64）
由式（7.61）得到满足方程（7.60）的连带Legendre多项式
（7.65）在以上推导中，阶导数表示为
特别是
3.2 连带LEGENDRE多项式的性质
积分表达式
①
（7.67）
递推公式
②（7.68）
③ (7.69) ④
（7.70）⑤
（7.71）对称性
⑥（7.72）
⑦（7.73）
⑧（7.74）正交关系
⑨（7.75）⑩（7.76）。