高考数学复习点拨 “割补法”求解不规则几何体体积

“割补法”求解不规则几何体体积

我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．

一、来自三棱柱的截体

例1 如图1，正四面体A BCD -中，E F G H ，，，分别是棱

AB AC BD CD ，，，的中点，求证：平面EFHG 把正四面体分割成

的两部分几何体的体积相等．

分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，

因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？

如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．

证明：连结CE CG AG AH ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．

当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．

二、来自正方体的截体

例2 如图2，已知多面体ABC DEFG -中，AB AC AD ，，两两互相垂

直，平面ABC ∥平面DE F G ，平面BEF ∥平面A DGC ，

2AB AD DC ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ）

Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8

解法一（割）：如图3，过点C 作CH DG ⊥于H ，连结EH ，这样就

把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -．

于是所求几何体的体积为：

DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然

所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242

V =⨯=．

三、来自圆柱的截体

例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的

最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．

解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上

面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长

1，而上面的圆柱的高为3． 于是所求几何体的体积为221π212310π2

V =⨯⨯+⨯⨯⨯=． 解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与

已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么

所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是

21π2510π2V =⨯⨯⨯=