基本不等式课件(共43张PPT)

重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
D a OC b B
E
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
ab
OD=___2___
D A a OC b B
E
CD=____a_b_
OD__≥＞___CD
a b≥ ab 2
2 1.应用基本不等式要注意的问题
2.灵活对公式的正用、逆用、变形用
a b 2 ab
§3.4 基本不等式（2）
ab a b 2
知 识 回顾 1、重要不等式 a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a = b时，等号成立）
2、基本不等式； a b 2 ab
3、均值不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b
[解] ∵a>b>1，∴lga>lgb>0，∴ lga·lgb<lga＋2 lgb，即 P<Q.
又
ab
<
a＋b 2
，
两
边
取
常
用
对
数
，
得
lg
ab
<lg(
a＋b 2
)
，
∴lga＋2 lgb<lg(a＋2 b)，即 Q<R，∴P<Q<R.
应用二：利用基本不等式证明不等式
[例 3] 已知 a>0，b>0，求证源自文库1a＋1 1b≤ ab≤a＋2 b≤
时取等号．
4、常用的不等式
1
（1） x ＋ x ≥ 2 (x>0)，当且仅当 x=1 时取等号 (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
(3)
1
2
1

ab a b 2
a2
2
b2
(a

0, b

0)
当且仅当
a＝b
时取等号．
aa
(4)a2＋2 b2≥a＋2 2b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S__>__S′
问：那么它们有相等的情况吗？
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？（做差比较法）
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
[证明] ∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1， ∴1a－1＝1－a a＝b＋a c＝ba＋ac≥2 abc，
同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8.
当且仅当 a＝b＝c＝13时取等号．
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
a2＋b2 2.
[证明] ∵a>0，b>0，∴1a>0，1b>0，∴1a＋2 1b≥
a1b＝ 1ab>0，
∴1a＋2 1b≤ ab，∴1a＋1 1b≤ 2ab≤ ab. 又a＋4 b2＝a2＋b42＋2ab≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，∴a＋2 b
≤
a2＋b2 2.
综上：1a＋1 1b≤ ab≤a＋2 b≤
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把 a b 叫做正数a，b的算术平均数， 2
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 BC DC DC AC
所以DC2 BC AC ab
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时，
“＝”号成立)．
[例 4] 已知 a，b，c∈{正实数}且 a＋b＋c＝1. 求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8. [分析] 不等式右边数字为 8，使它们联想到左边因式分 别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－a a ＝b＋a c≥2 abc，可由此变形入手．
几何意义：半径不小于弦长的一半
填表比较：
适用范围
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
“=”成立条件
a=b
a=b
注意从不同角度认识基本不等式
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系