21控制系统的时域数学模型

例2-5 试列写下图所示速度控制系统的微分方程。
u
ui R1
R2
R1
R1
-K1
u０
u1
C
R2
-K2 u2
功 率
放
ua
大
器
负
SM
载
wm
w
K3
TG
ut
【解】 控制系统的被控对象是电动机，系统的输出量是转速 w，参考量是uｉ
控制系统由给定电位器、运算放大器、功率放大器、测速发 电机、减速器等部分组成。
运算放大器Ⅰ： 参考量（即给定电压）ui与速度反馈电压ut在此合 成，产生偏差电压并放大，即
第二章 控制系统的数学模型
１ 2.０ 引言
本
２ 2.1 控制系统的数学模型
章
３ 2.2 控制系统的复数域数学模型
内
容
４ 2.3 系统的结构图
５ 2.4 信号流图及梅逊公式
2.０ 引言
数学模型：
指出系统内部物理量（或变量）之间关系 的数学表达式。
静态数学模型：
在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关 系的代数方程叫静态数学模型；
３、消去中间变量，标准化
d2y(t) d(y t)
md2t f
k(y t)F (t) dt
k
F
m
f
y(t)
例2-2试列写出图示电枢控制直流电动机的微分方程，要求
取电枢电压ua(t)为输入量，电动机转速w m(t)为输出量。图
中Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感， Mc是折合到电动 机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。
３、消去中间变量，标准化
uｉ(t)
C uｏ(t)
Ld C 2 d uo 2 (tt)Rd C d o(u t)tuo(t)ui(t)
※例2-3 图为弹簧－质量－阻尼器的机械位移系统。试列写
质量m在外力F作用下（重力略去不计）位移ｙ(t)的运动方程。
系统组成： 质量 弹簧 阻尼器
输入量 输出量
弹簧系数k F(t)
根据牛顿第二定律
F = ma F(t) –FB(t) – FK(t) = ma
m y(t)
阻尼系数f
解: １、确定输入量、输出量
外力Ｆ为输入量，物体的位移ｙ（ｔ）
为输出量
２、建立微分方程组
阻尼器的阻尼力:
F1(t)
f
dy(t) dt
弹簧弹性力:
F2(t)k(yt)
d2y(t) md2t F(t)F 1(t)F 2(t)
ia
+
+ if -
MC
ua
ea SM
负载
-
-
w m Jm fm
电枢回路电压平衡方程：
ua(t)Ladid at(t)Raia(t)ea(t) ——基尔霍夫电压定律
ea(t)Cewm(t)
——楞次定律
电磁转矩方程：
+
Ra La
Mm(t)Cmia(t)
ia
+
ua
ea
电动机轴上转矩平衡方程：
-
-
Jmdw d m t(t)fm wm (t)M m (t)M c(t)
将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电 枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电 流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距，从而拖 动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下 三部分组成。
❖ 电枢回路电压平衡方程 ❖ 电磁转距方程
❖ 电动机轴上的转距平衡方程
解：
+
Ra La
动态数学模型：
描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。
2.建立数学模型的目的
●建立数学模型是分析和设计控制系统的首要工作；
●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压 或气动的等等，然而描述这些系统的模型却可以是 相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统， 可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内 在的共性运动规律。
+
if -
MC
SM
负载
w m Jm fm
消去中间变量ia(t) ea(t) Mm(t) ，直流电动机的微分方程为：
LaJmd2w dtm 2(t)(LafmRaJm)dwdm t(t)(RafmCmCe)wm(t)
Cmua(t)LadM dct(t)RaMc(t)
LaJmd2w dtm 2(t)(LafmRaJm)dwdm t(t)(RafmCmCe)wm(t)
2.１.1 线性元件的微分方程
• ※例2-1 如图RLC电路，试列写以uｉ(t)为输入量，uｏ(t)为
输出量的网络微分方程。
• 解:１、确定输入量输出量
i(t) R L
输入量是uｉ(t)，输出量是uｏ(t)
２、建立微分方程组
uL o(dtd )(ti)t 1cuoi((tt)) dR t (ti)ui(t)
3.建模方法
分 析 法本 课 研 究 实 验 法系 统 辨 识 课 研 究
4.常用数学模型
时域：微分方程、差分方程、状态方程
复数域：传递函数(经典控制论的核心模 型)、 系统结构图(方块图)、信号流图
频域：频率特性
5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径
求解
观察
线性微分方程
时间响应
性能指标
傅 氏 变
+
Ra La
பைடு நூலகம்ia
+
+ if -
MC
ua
ea SM
负载
-
-
w m Jm fm
他激直流电动机
系工统作组原成理：：
直流电电枢机电 压作负用载下产
生励电磁枢电电流流， 从电而磁产转生矩电 磁负转载矩转使矩电 动摩机擦转转动矩.
Ua Ia
Te Tf TL
n
输入:电枢电压 输出:电动机速度
解： 电枢控制直流电动机的工作实质
Cmua(t)LadM dct(t)RaMc(t)
若电枢回路的电感可以忽略不计，则简化为：
w w T mdd m t(t)m (t)K 1 u a(t)K 2M c(t)
T m R a J m(R afm C m C e)--电动机机电时间常数
K 1C m(R afmC m C e)
--电动机传递系数 K 2R a(R afm C m C e)
2. 1.2 控制系统微分方程的建立
❖ 建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原 理线路图画出系统方框图，并分别列写组成系 统各元件的微分方程；
❖ 然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与 输入量之间关系的微分方程。
❖ 列写系统各元件的微分方程时，一是要注意信 号传送的单向性，二是要注意负载效应。
拉氏变换 传递函数
拉氏反变换 估算
估算
换
S=jω
频率特性 计算 频率响应
2.1 控制系统的时域数学模型
微分方程的列写步骤
❖ 1.分析系统工作原理，确定系统的的输入 变量和输出变量。
❖ 2.根据各环节所遵循的物理化学定理，列 写出微分方程。
❖ 3.消去中间变量，写出输入、输出变量的 微分方程。
❖ 4.标准化。将与输入量有关的项写在方程 式等号右边，与输出量有关的项写在等号 左边，方程式各导数项均按降幂排列。