第四章 杆件的应力及强度条件
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3m
①
解： 1.求轴力
3 FN 1 Q 27kN 4 FN 2 5 Q 45kN 4
4m
4 m
2.强度校核
②
Q
FN 2
FN 1
FN 1 27 103 max1 238.7Mpa [ ]1 A1 12 2 4 FN 2 45 10 3 max2 7Mpa [ ]2 2 A2 64 10
3.确定有效挤压面面积
1）当接触面为平面时，有效挤压面面积等于接触面面积；
2）当接触面为圆柱面时，有效挤压面面积等于垂直于挤 压力的直径平面上的投影面积； 计算有效挤压面面积 已知h, d,求AbS
P
P
26
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
求图示结构的剪力、剪切面以及挤压力、挤压面。 A
24 103 FS F 105.8MPa 2 2 17 d AS 4 4
a d
P
b c
P
5
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
静 力 学 平 衡 方 程
FN dA dA A
A A
FN A
a d
P
FN
P
b c
P
6
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
1、公式是在拉伸时导出的，同样可以应用于压缩。 2、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。 3、公式只在杆件距力作用点较远部分才成立。 圣维南（Saint-Venant)原理 力作用于杆端的方式不同，只会使作用点附近不大的 范围内受到影响。 4、杆件必须是等截面直杆。若杆 P 截面变化时，横截面上的应力将 不再是均匀的。如果截面变化比 P/2 较缓慢时，可以近似应用公式。
压缩
1.塑性材料的塑性指标( , )高，
而脆性材料的塑性指标较低；
拉伸
2.塑性材料的抗拉压性能相近，
而脆性材料的抗压性能比抗拉
o
性能强； 3.二者对应力集中的敏感程度
不相同。特例：灰铸铁可以不
断裂时断口约与轴线成450。 考虑应力集中的影响。
16
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
3）蠕变、松弛(了解) 高温短期静载 以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
P P
P
0.6 ~ 0.8 ） [ 1 ] （塑性材料） （ [ ] （ 0.8 ~ 1.0 ） [ 1 ] （脆性材料） [ 1 ] 为材料的许用拉应力
24
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
2、挤压的适用计算
1.基本概念 挤压现象；挤压力；挤压面
P
P
2.适用计算
解得：a 47.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3mm
a 48mm
注意配套单位：N，m，Pa； N，mm，MPa。
21
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
作业：P292；P307； 思考：P291；P3110
22
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
在图示结构中，BC和BD杆的材料相同，且抗拉、压 许用应力相等，已知 F ,l 和许用应力[ ] ，为使结构的用 料最省，试求 的合理值。
前后两个面称为自由表面。
纯剪切应力状态
10
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
二、材料在拉压时的力学性能
力学性能： 材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能。 1、试验设备和试件 1.万能试验机：加力部分、测力部分、自动测绘装置 2.标准试件：圆截面标准试件、矩形截面标准试件 圆截面标准试件： l 10d或l 5d
2、强度条件及计算 1）强度条件：
max
18
等截面杆：
§ 4-2 拉压杆的强度条件、连接件的适用计算 F max N max A
2）三种强度计算： a）强度校核：
若 max ，则安全。
若 max ，需检验 误差是否在5%之内。
b）截面设计：
e p
s
p
弹性阶段 屈服阶段
o
强化阶段
颈缩阶段
o
d1
13
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
2）其它塑性材料在拉伸时的力学性能 中碳钢、某些高碳钢以及合金钢、铝合金、青铜 等，除16Mn钢之外，几乎都没有明显屈服极限。
名义屈服极限： 0.2
0.2 : 塑性应变等于0.2%时的应力值
§4-6 提高梁的弯曲强度的措施
3
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
§4-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
一、拉压杆的应力
1、横截面上的正应力 几 何 方 面 根据实验现象，作如下假设： 平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持 为横截面，只是沿杆轴线产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的 改变，说明只有线应变而无角应变。 结论：横截面上只有线应变，且各点处大小相等。
1
材料力学
Mechanics of Materials
长沙理工大学土建学院
文海霞
2017年12月7日星期四
2
第四章 杆件的应力及强度计算
★
§4-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
§4-2 拉压杆的强度计算、连接件的适用计算
§4-3 圆轴扭转切应力及强度计算
§4-4 梁的弯曲正应力及强度计算 §4-5 梁的弯曲切应力及强度计算
F F
d
F
t t
解：
max
F FN (b d )t Amin
24 103 28.9MPa 100 1710
F b
Fbs 24 103 F bs 141.2MPa Abs 17 10 dt
bs
横截面的形状？
P3213或14
P/2 P A
FN ( x) ( x) A( x)
7
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
2.斜截面上的应力 设拉力为P，横截面积为A，取k-k斜截面，夹角为，求 ,
A 显然：A ，F P cos P F cos p A A
P P P
讨论：
最大应力与平均应力之比称为 理论应力集中系数。
在静载作用下：塑性材料 可以不考虑应力集中，脆 塑性材料要考虑应力集中 (铸铁例外)； 在动载作用下：都需考虑 应力集中。
9
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
4、切应力互等定理 在两个相互垂直的截面上，切应力必然成对 出现，其数值相等，方向为同时指向或者背离两 垂直面的交线，此定理称为切应力互等定理。
a d d1
P
a1 b1
P
c1 b
c
4
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
物 理 方 面
设想杆件是由无数根纵向纤维组成的。由于材料 是均匀的，那么它们的变形和力学性能相同，可以推 想各纵向纤维的受力也应该是一样的。 结论：横截面上各点的正应力相等。 结论：横截面只有正应力且与轴力同向， 并且各点的正应力相等。
A FN max
会查型钢表(附录Ⅱ)
c）许可载荷的确定：
FN max A
若 max 100% 5%，
则安全；否则不安全。
面积取大值， 载荷取小值。
19
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
例题4-2-1：如图示，Q=36kN，， []1=140Mpa ，[]2=20Mpa a=8cm，d=12mm ，试校核其强度并合理选择其杆件截面尺寸。
从轴向往截面的外法线方向 为逆时针转时， 取正值。
即纵截面没有任何应力(自由表面)。
8
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
3. 应力集中的概念 由于杆件局部截面发生突变，在突变的局部区域内，应力急剧 增加，而离开该区域应力又趋于缓和。这种现象称为应力集中。
max K t m
max
FS木 F 木 AS木 Dt
28
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
例题4-2-2 在图示铆接头中，已知：F=24 kN，b＝100mm， t＝10mm，d＝17mm，钢板的 170MPa ，铆钉的 140MPa 许用挤压应力 bs 320MPa ， 试校核其强度。
上屈服点
100% ,
e f c b a
下屈服点
截面收缩率
e p
o
s
弹性阶段 屈服阶段
强化阶段
颈缩阶段
12
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
塑性材料和脆性材料？
5% 5%
卸载定律、冷作硬化、冷作时效
p1
e
上屈服点
d2 f d
c
b a
下屈服点
b
D B
C
用料最省：体积最小
l
F
23
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
二、连接件的适用计算
1、剪切的适用计算
1.基本概念 剪切变形；剪力；受剪面 (剪切面) 2.适用计算 假设：受剪面的应力是均匀分布的。
P
单剪
P
FS 名义切应力： AS
剪切的强度条件：
FS
P
FS [ ] AS
Q
所以强度不够。
20
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
3.截面设计
FN 1 27 10 3 4 2 A1 1 . 92857 10 m [ ]1 140 10 6
解得：d 1.567 102 m
d 16mm
FN 2 45 103 A2 2.25 103 mm 2 [ ] 2 20
0.2
o
0 .2 %
14
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
3）铸铁在拉伸时的力学性能 3、材料在压缩时的力学性能 1）低碳钢在压缩时的力学性能
b
o
衡量脆性材料强度 的唯一指标是材料 的抗拉强度b
o
15
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
2）铸铁在压缩时的力学性能 小结：塑性材料和脆性材料的 力学性能的主要差异:
k k k
k k k
P
p
cos p cos cos 2
F
p
p sin sin 2
2
2 ;
0 : max ; 45 0 : max
90 0 : 0
17
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
§4-2 拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
一、拉压杆的强度条件
1、极限应力、许用应力
s 或 0.2 极限应力 ( u ) 塑性材料：
脆性材料： b 许用应力( )
u
n
n s n nb
1.5 ~ 2.0 2.5 ~ 3.0
P
B D E C
P
FS AS
0.5P 0.5P
双剪
P
FS
bs
P
FS
Fbs Abs
27
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
求木板和钉子在剪切面和挤压面上的应力。 1.钉子
D h t d
FS钉 F 钉 AS钉 dh
木板 钉子
bs
F
2.木板
F Fbs 2 2 Abs ( D d ) 4
l 11.3 A或l 5.65 A 矩形截面标准试件：
l 为标距即工作段的长度
11
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
l1 l l
A A1 100% A
2、材料在拉伸时的力学性能 加载方式: 常温静载试验 1）低碳钢（A3钢） (含碳量 <0.3%)拉伸时的力学性能 四个阶段 弹性阶段： p(e) 屈服阶段： s 颈缩阶段： 延伸率 b 强化阶段： b
When t 250o ~ 300o C When t 250o ~ 300o C t t
b b
& &
在低温情况下：低碳钢的 p 、S增大，减小，发生冷脆现象。
高温长期静载 当温度高于某一值且应力超过某一值时，变形随时间增大，这 种现象为蠕变； 高温工作的构件在发生了弹性变形后，若变形量不变，则构件 将保持一定的预紧力，因蠕变产生的塑性变形将逐步代替原有 的弹性变形，从而使预紧力逐渐下降，这种现象为松弛。
假设：挤压面的应力是均匀分布的。 名义挤压应力： bs
Fbs Abs
P
P
挤压的强度条件：
bs
Fbs [ bs ] Abs
Abs : 有效挤压面面积
25
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
1.5 ~ 2.5 ） [ 1 ] （塑性材料） （ [ bs ] 0.9 ~ 1.5 ） [ 1 ] （脆性材料） （ [ 1 ] 为材料的许用拉应力
①
解： 1.求轴力
3 FN 1 Q 27kN 4 FN 2 5 Q 45kN 4
4m
4 m
2.强度校核
②
Q
FN 2
FN 1
FN 1 27 103 max1 238.7Mpa [ ]1 A1 12 2 4 FN 2 45 10 3 max2 7Mpa [ ]2 2 A2 64 10
3.确定有效挤压面面积
1）当接触面为平面时，有效挤压面面积等于接触面面积；
2）当接触面为圆柱面时，有效挤压面面积等于垂直于挤 压力的直径平面上的投影面积； 计算有效挤压面面积 已知h, d,求AbS
P
P
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§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
求图示结构的剪力、剪切面以及挤压力、挤压面。 A
24 103 FS F 105.8MPa 2 2 17 d AS 4 4
a d
P
b c
P
5
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
静 力 学 平 衡 方 程
FN dA dA A
A A
FN A
a d
P
FN
P
b c
P
6
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
1、公式是在拉伸时导出的，同样可以应用于压缩。 2、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。 3、公式只在杆件距力作用点较远部分才成立。 圣维南（Saint-Venant)原理 力作用于杆端的方式不同，只会使作用点附近不大的 范围内受到影响。 4、杆件必须是等截面直杆。若杆 P 截面变化时，横截面上的应力将 不再是均匀的。如果截面变化比 P/2 较缓慢时，可以近似应用公式。
压缩
1.塑性材料的塑性指标( , )高，
而脆性材料的塑性指标较低；
拉伸
2.塑性材料的抗拉压性能相近，
而脆性材料的抗压性能比抗拉
o
性能强； 3.二者对应力集中的敏感程度
不相同。特例：灰铸铁可以不
断裂时断口约与轴线成450。 考虑应力集中的影响。
16
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
3）蠕变、松弛(了解) 高温短期静载 以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
P P
P
0.6 ~ 0.8 ） [ 1 ] （塑性材料） （ [ ] （ 0.8 ~ 1.0 ） [ 1 ] （脆性材料） [ 1 ] 为材料的许用拉应力
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§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
2、挤压的适用计算
1.基本概念 挤压现象；挤压力；挤压面
P
P
2.适用计算
解得：a 47.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3mm
a 48mm
注意配套单位：N，m，Pa； N，mm，MPa。
21
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
作业：P292；P307； 思考：P291；P3110
22
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
在图示结构中，BC和BD杆的材料相同，且抗拉、压 许用应力相等，已知 F ,l 和许用应力[ ] ，为使结构的用 料最省，试求 的合理值。
前后两个面称为自由表面。
纯剪切应力状态
10
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
二、材料在拉压时的力学性能
力学性能： 材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能。 1、试验设备和试件 1.万能试验机：加力部分、测力部分、自动测绘装置 2.标准试件：圆截面标准试件、矩形截面标准试件 圆截面标准试件： l 10d或l 5d
2、强度条件及计算 1）强度条件：
max
18
等截面杆：
§ 4-2 拉压杆的强度条件、连接件的适用计算 F max N max A
2）三种强度计算： a）强度校核：
若 max ，则安全。
若 max ，需检验 误差是否在5%之内。
b）截面设计：
e p
s
p
弹性阶段 屈服阶段
o
强化阶段
颈缩阶段
o
d1
13
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
2）其它塑性材料在拉伸时的力学性能 中碳钢、某些高碳钢以及合金钢、铝合金、青铜 等，除16Mn钢之外，几乎都没有明显屈服极限。
名义屈服极限： 0.2
0.2 : 塑性应变等于0.2%时的应力值
§4-6 提高梁的弯曲强度的措施
3
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
§4-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
一、拉压杆的应力
1、横截面上的正应力 几 何 方 面 根据实验现象，作如下假设： 平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持 为横截面，只是沿杆轴线产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的 改变，说明只有线应变而无角应变。 结论：横截面上只有线应变，且各点处大小相等。
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材料力学
Mechanics of Materials
长沙理工大学土建学院
文海霞
2017年12月7日星期四
2
第四章 杆件的应力及强度计算
★
§4-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
§4-2 拉压杆的强度计算、连接件的适用计算
§4-3 圆轴扭转切应力及强度计算
§4-4 梁的弯曲正应力及强度计算 §4-5 梁的弯曲切应力及强度计算
F F
d
F
t t
解：
max
F FN (b d )t Amin
24 103 28.9MPa 100 1710
F b
Fbs 24 103 F bs 141.2MPa Abs 17 10 dt
bs
横截面的形状？
P3213或14
P/2 P A
FN ( x) ( x) A( x)
7
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
2.斜截面上的应力 设拉力为P，横截面积为A，取k-k斜截面，夹角为，求 ,
A 显然：A ，F P cos P F cos p A A
P P P
讨论：
最大应力与平均应力之比称为 理论应力集中系数。
在静载作用下：塑性材料 可以不考虑应力集中，脆 塑性材料要考虑应力集中 (铸铁例外)； 在动载作用下：都需考虑 应力集中。
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§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
4、切应力互等定理 在两个相互垂直的截面上，切应力必然成对 出现，其数值相等，方向为同时指向或者背离两 垂直面的交线，此定理称为切应力互等定理。
a d d1
P
a1 b1
P
c1 b
c
4
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
物 理 方 面
设想杆件是由无数根纵向纤维组成的。由于材料 是均匀的，那么它们的变形和力学性能相同，可以推 想各纵向纤维的受力也应该是一样的。 结论：横截面上各点的正应力相等。 结论：横截面只有正应力且与轴力同向， 并且各点的正应力相等。
A FN max
会查型钢表(附录Ⅱ)
c）许可载荷的确定：
FN max A
若 max 100% 5%，
则安全；否则不安全。
面积取大值， 载荷取小值。
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§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
例题4-2-1：如图示，Q=36kN，， []1=140Mpa ，[]2=20Mpa a=8cm，d=12mm ，试校核其强度并合理选择其杆件截面尺寸。
从轴向往截面的外法线方向 为逆时针转时， 取正值。
即纵截面没有任何应力(自由表面)。
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§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
3. 应力集中的概念 由于杆件局部截面发生突变，在突变的局部区域内，应力急剧 增加，而离开该区域应力又趋于缓和。这种现象称为应力集中。
max K t m
max
FS木 F 木 AS木 Dt
28
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
例题4-2-2 在图示铆接头中，已知：F=24 kN，b＝100mm， t＝10mm，d＝17mm，钢板的 170MPa ，铆钉的 140MPa 许用挤压应力 bs 320MPa ， 试校核其强度。
上屈服点
100% ,
e f c b a
下屈服点
截面收缩率
e p
o
s
弹性阶段 屈服阶段
强化阶段
颈缩阶段
12
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
塑性材料和脆性材料？
5% 5%
卸载定律、冷作硬化、冷作时效
p1
e
上屈服点
d2 f d
c
b a
下屈服点
b
D B
C
用料最省：体积最小
l
F
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§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
二、连接件的适用计算
1、剪切的适用计算
1.基本概念 剪切变形；剪力；受剪面 (剪切面) 2.适用计算 假设：受剪面的应力是均匀分布的。
P
单剪
P
FS 名义切应力： AS
剪切的强度条件：
FS
P
FS [ ] AS
Q
所以强度不够。
20
§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
3.截面设计
FN 1 27 10 3 4 2 A1 1 . 92857 10 m [ ]1 140 10 6
解得：d 1.567 102 m
d 16mm
FN 2 45 103 A2 2.25 103 mm 2 [ ] 2 20
0.2
o
0 .2 %
14
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
3）铸铁在拉伸时的力学性能 3、材料在压缩时的力学性能 1）低碳钢在压缩时的力学性能
b
o
衡量脆性材料强度 的唯一指标是材料 的抗拉强度b
o
15
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
2）铸铁在压缩时的力学性能 小结：塑性材料和脆性材料的 力学性能的主要差异:
k k k
k k k
P
p
cos p cos cos 2
F
p
p sin sin 2
2
2 ;
0 : max ; 45 0 : max
90 0 : 0
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§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
§4-2 拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
一、拉压杆的强度条件
1、极限应力、许用应力
s 或 0.2 极限应力 ( u ) 塑性材料：
脆性材料： b 许用应力( )
u
n
n s n nb
1.5 ~ 2.0 2.5 ~ 3.0
P
B D E C
P
FS AS
0.5P 0.5P
双剪
P
FS
bs
P
FS
Fbs Abs
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§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
求木板和钉子在剪切面和挤压面上的应力。 1.钉子
D h t d
FS钉 F 钉 AS钉 dh
木板 钉子
bs
F
2.木板
F Fbs 2 2 Abs ( D d ) 4
l 11.3 A或l 5.65 A 矩形截面标准试件：
l 为标距即工作段的长度
11
§ 4-1
拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
l1 l l
A A1 100% A
2、材料在拉伸时的力学性能 加载方式: 常温静载试验 1）低碳钢（A3钢） (含碳量 <0.3%)拉伸时的力学性能 四个阶段 弹性阶段： p(e) 屈服阶段： s 颈缩阶段： 延伸率 b 强化阶段： b
When t 250o ~ 300o C When t 250o ~ 300o C t t
b b
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在低温情况下：低碳钢的 p 、S增大，减小，发生冷脆现象。
高温长期静载 当温度高于某一值且应力超过某一值时，变形随时间增大，这 种现象为蠕变； 高温工作的构件在发生了弹性变形后，若变形量不变，则构件 将保持一定的预紧力，因蠕变产生的塑性变形将逐步代替原有 的弹性变形，从而使预紧力逐渐下降，这种现象为松弛。
假设：挤压面的应力是均匀分布的。 名义挤压应力： bs
Fbs Abs
P
P
挤压的强度条件：
bs
Fbs [ bs ] Abs
Abs : 有效挤压面面积
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§ 4-2
拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
1.5 ~ 2.5 ） [ 1 ] （塑性材料） （ [ bs ] 0.9 ~ 1.5 ） [ 1 ] （脆性材料） （ [ 1 ] 为材料的许用拉应力