曲线的切线(详解)

曲线的切线(详解)

曲线的切线

一、基础知识：

1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。当点Q沿着曲

线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P

处的切线。

2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

3、关于切线的几个问题：

（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）

（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例

题选讲：

例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=

x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|

答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。问1：（B）中函数在x=0

处也没有导数，它有切线吗？

答：有，切线为直线x=0。小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立

f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。

问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？

答：围绕定义。

小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点

重合（切点），从而割线→切线。

3例2 已知曲线y=。 x+33

（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0

4（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，

x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)

3

2

32

∵点P(2,4)在切线上，

∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)

3

2

解得x0=2或-1，

故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。

变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。

3

答：y=1或27x-4y+31=0

例3 问a为何值时，直线y=x与对数曲线y=logax相切？切点在何处？解：y'=1 xlogae

设切点为P(x0,y0)，则 k=

1

logae=1

∴ x0=logae

∴ 切点为P（logae，logae）又∵ P在曲线y=logax上。∴ logae=logax0 ∴

x0=e即e=logae ∴ a=e

变式：问a为何值时，直线y=x与指数曲线y=ax相切？切点在何处？能否结合图象和例3的结果加以解释。答：答案同上。

例4 （03天津卷）已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x+a。如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。（1） a取什么值时，C1和C2有且只有一条公切线？写出此公切线的方程；（2）若C1

和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。解：（1）方法1：函数

y=x2+2x的导数y'=2x+2

∴ 曲线C1在点P(x1,x12+2x1)处的切线方程为：y-(x1+2x1)=(2x1+2)(x-x1)

即 y=(2x1+2)x-x1 … ①。

函数y=-x+a的导数y'=-2x

∴ 曲线C2在点Q(x2,-x22+a)处的切线方程为：y-(-x2+a)=-2x2(x-x2)

即y=-2x2x+x2+a … ②。

22

2

2

1

e

2

2

⎧x1+1=-x2

若l是过点P和Q的公切线，则①②都是直线l的方程，则有⎧， 22

-x=x+a2⎧1

消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0。

由Δ=4-4×2(1+a)=0，得a=-1，此时x1=x2=-1，即点P和Q重合。故当a=-1时，

C1和C2有且只有一条公切线，此公切线的方程为y=x-1。方法2：设切线方程为y=kx+b。

由⎧

⎧y=kx+b2

⇒x+(2-k)x-b=0 2

⎧y=x+2x

Δ=0⇒(2-k)2+4b=0 …… ①

⎧y=kx+b由⎧⇒x2+kx+b-a=0 2

⎧y=-x+a

Δ=0⇒k2-4(b-a)=0 …… ② 由①②可得：(k-1)2=-(2a+1) …③ 要使③有唯一解，则a=-1 （2）由（1）知，当a

设一条公切线在C1和C2上的切点分别为P(x1,y1)，Q(x2,y2)。则

x1+x2=-1，y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a。

-1+a

即公切线段PQ的中点是(-1。 2,2)

-1+a同理可证，另一条公切线段P'Q'的中点也是(-1， ,)

所以，公切线段PQ和P'Q'互相平分。

小结：今天学习了切线的三个问题：

（1）判断是否有切线？深刻理解切线的定义。（2）已知切点求切线问题——直接使用公式；（3）切点未知求切线问题：

设切点坐标，利用切点在曲线上、切点在切线上、切线斜率为此点的导数三个条件建立方程求参数。

三、巩固练习：

1、已知曲线S：y=3x-x及点P(2,2)，则过点P可向S引切线的条数为

2、过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为。

3、求下列曲线在点M处的切线方程：（1）y=

1(x-3x)2

2

3

，点M（1，）；（2）y=sin2x，点M（π，0） 4

4、求过点(2,0)且与曲线y=1相切的直线方程。

5、曲线y=0.1x3在x=2处的切线还在何处与曲线相交？

6、若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，试求k的值。

7、求两曲线y=x2+1与

y=3-x2在交点处的两切线的夹角。 8、（05福建卷）已知函数f(x)=求函数y=f(x)的解析式。