2019届上海市复旦附中高三模拟数学试卷(2019.05)

复旦附中高三模拟数学试卷 2019.05 一. 填空题

1. 不等式13x

>的解集为 2. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人

3. 已知110002111000n n n n a n n n

+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ，则lim n n a →∞= 4. 一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =

5. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为

6. 若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=

7. 已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩

，则3z x y =+的最大值为

8. 已知点O 为△ABC 的外心，且||4AC =，||2AB =，则AO BC ⋅=

9. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{|09,}a b n n n *∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，称甲乙“心有 灵犀”，则甲乙“心有灵犀”的概率是

10. 在△ABC 中，点D 在边BC 上， 且2DC BD =，::3::1AB AD AC k =，则实数k 的 取值范围是

11. 已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，则关于x 的方程

211sin 2cos488

x x x x -+=的实根为

12. 已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =

二. 选择题

13. 2λ>是圆锥曲线22

152y x λλ

-=+-的焦距与实数λ无关的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

14. 直线y kx m =+与双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的交点个数最多为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

15. 若对任意x ∈R ，都有()(1)f x f x <+，那么()f x 在R 上（ ）

A. 一定单调递增

B. 一定没有单调减区间

C. 可能没有单调增区间

D. 一定没有单调增区间

16. 在数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，都有211n n n n

a a k a a +++-=-（其中k 为常数），则称{}n a 为 “等差比数列”，下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差

比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为n n a a b c =⋅+（其中0a ≠，1b ≠，

0b ≠）的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（ ）

A. ①②

B. ②③

C. ③④

D. ①④

三. 解答题

17. 如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心O 距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点0P 处.

（1）试写出蚂蚁距离地面的高度h （米）关于时刻t （分钟）的函数关系式()h t ；

（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？

18. 如图，已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.

（1）求圆锥体的体积；

（2）异面直线SO 与PA 所成角的大小.

（结果用反三角函数表示）

19. 设常数a ∈R ，若函数()()|1|f x a x x =--存在反函数1()f x -.

（1）求证：1a =，并求出反函数1()f x -；

（2）若关于x 的不等式121()()2f x m f mx ---+<对一切[2,3]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.

20. 已知A 、B 是双曲线1C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的两个顶点，点P 是双曲线上 异于A 、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆2C ：22

221x y a b

+=于点Q ，设直线PA 、 PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .

（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±

，且过点1(5,)2

，求1C 的方程； （2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求△ABQ 的面积； （3）试问：1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

21. 定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 有 上界，M 是数列{}n a 的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.

（1）数列{cos(sin

)}2

n π是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在， 请说明理由；

（2）若非负数列{}n a 满足10a =，22111n n n a a a +++-=（n *∈N ），求证：1是非负数列{}n a 的一个上界，且数列{}n a 的极限存在，并求其极限；

（3）若正项递增数列{}n a 无上界，证明：存在k *∈Ν，当n k >时，恒有

112232019n n

a a a n a a a -++⋅⋅⋅+<-.