建筑力学-1 弯曲内力

F
(a) A
C
B
1. 截面法计算梁的内力 这一内力与截面相切
FA
x
FB
a
b
称为剪力，记作FQ
l
可以通过竖向投影方程求得
A
显然
FQ = FA
这一内力偶矩称为弯矩，记作M FA
M C
FQ
可以通过力矩平衡方程求得
FQ
F
M
B
显然
M = FA x
C
如果取右段研究，也可以得出一样的结论。
FB
需要注意的是，截面 C 的内力应符合作用与反作用公理。
FQ1 = - 8 (kN) M1 = - 16 (kN∙m) (3) 截面 2 处截开取左，可得 FQ2 = 1 (kN) M2 = - 16 (kN∙m)
在集中力两侧：剪力发生突变，突变量等于集中力的大小；弯矩不变。
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(4) 截面 3 处截开取右，可得 FQ3 = 1 (kN) M3 = - 14 (kN∙m)
建筑力学
第七章 弯 曲
第一节 弯曲内力
一、弯曲变形的概念
当杆件受到垂直于杆轴线的外力作用或在杆轴平面内受到外力偶作用 时，杆的轴线由直线变成曲线，如图示。这种变形称为弯曲。
q
F
M
凡是以弯曲为主要变形的杆件通常称之为梁。 山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
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梁是工程中最常见的杆件，在建筑工程中更是比比皆是，占有特别重 要的地位。
(5) 截面 4 处截开取右，可得 FQ4 = 1 (kN) M4 = - 2 (kN∙m)
8kN 1 2 M 12kNm
34
B (b)
A
2m
9
FQ 2m
1 2m
在集中力偶两侧：弯矩发生突变，突变量等于集中力偶的大小；剪力不变。
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五、计算剪力和弯矩的规律
通过以上分析可知：平面弯曲梁的横截面上有两个内力：剪力FQ和弯 矩M，他们都可以通过平衡方程求得。
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三、梁的内力——剪力和弯矩
1. 截面法计算梁的内力 2. 剪力和弯矩的正负规定 在建筑力学中规定：顺转剪力正。 即，剪力对研究梁段有顺时针转动趋势时为正，反之为负。
墙
楼板
次梁 (a)
主梁
阳台挑梁 (b)
门窗过梁 (c)
吊车梁 (d)
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二、平面弯曲的概念 工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、槽形等，它
们都至少有一个对称轴，如图所示。
梁横截面的对称轴与梁轴线所组成的平面称为纵向对称平面。
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M3 = 50 × 4 - 10 × 4× 2= 120 (kN∙m)
利用计算剪力和弯矩的规律，可以省去画出梁段的受力图，省去列出
如果取左侧时，顺时针的力矩引起正项的弯矩，逆时针的力矩引起负 项的弯矩。这一结论又可以归纳为左顺弯矩正。
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左上剪力正 左顺弯矩正
右下剪力正 右逆弯矩正
例 7-3 利用规律计算图示简支梁 1、2、3 各截面上的剪力和弯矩。
FQ1 = 70 (kN)
FQ
MM
FQ 左段
右段
(a) 顺转剪力正
左段
右段
(b) 下凸弯矩正
同时规定：下凸弯矩正。 即，弯矩使梁段弯曲变形时的下部受拉、上部受压时为正，反之为负。
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四、用截面法计算梁指定截面上的内力 计算指定截面上的内力，要用到静力学中力系平衡的知识，又是今后
80kN
10kN/m
M1 = 140 (kN∙m) FQ2 = - 10 (kN) M2 = 140 (kN∙m)
12 70
2m
3 2m
50 4m
FQ3 = - 10 (kN)
M3 = 70 × 4 - 80 × 2= 120 (kN∙m)
若取右侧:
FQ3 = 40 - 50 = - 10 (kN)
建筑力学
例 7-1 用截面法计算图示简支梁截面C处的剪力和弯矩。
解 (1) 求支座反力
FA = 8 ( kN ) FB = 16 ( kN )
6kN/m
A C
B
FA 2m
4m
FB
(2) 截面C处截开取左，作受力图
(3) 列平衡方程求出剪力和弯矩。
A
M
C
8 2m FQ
∑Y = 0 FQ = 8 (kN) ∑MC = 0 M = 8 × 2= 16 (kN∙m)
建筑力学
五、计算剪力和弯矩的规律
1. 计算剪力的规律 ---- 左上剪力正 2. 计算弯矩的规律 ---- 左顺弯矩正 由平衡条件 ∑MC = 0 可得出
M = F1 a - F2 b + Fn c + m = ∑MC
F2
m
F1 a
M C Fn c b
上式表明：梁内任一截面上的弯矩，等于该截面一侧梁段上所有外力 对截面形心之矩的代数和。
建筑力学
如果作用于梁上的外力(包括荷载和支座反力)全部都在梁的纵向对称 平面内时，梁变形后的轴线也在该平面内，这种力的作用平面与梁变形的 平面相重合的弯曲称为平面弯曲。如图所示。
纵向对称面
q
F
截面对称轴
FA
FB
变形后的梁轴线
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三、梁的内力——剪力和弯矩
1. 计算剪力的规律 由平衡条件 ∑Y = 0 可得出
FQ = F1 - F2 + Fn = ∑Fi
F2 FQ
F1
Fn
上式表明：梁内任一截面上的剪力，等于该截面一侧梁段上所有外力 在截面切向投影的代数和。
如果取左侧时，外力向上引起正项的剪力，向下引起负项的剪力。这 一结论可以归纳为左上剪力正。
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例 7-2 用截面法计算图示外伸梁1、2、3、4各截面上的剪力和弯矩。
解 (1) 求支座反力
FA = 9 ( kN ) FB = 1 ( kN ) (2) 截面 1 处截开取左，可得
8kN
12
M
12kNm 34
2mF9A FAQ 2m
2m
B (a) FB
做内力图的必要环节，在力学中十分重要。现将计算步骤归纳如下： (1) 求支座反力 ( 悬臂梁可不求 ) ； (2) 用假想截面将梁从所求内力处截开，取外力较少的简单一侧为研
究对象ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同时作出其受力图，截面上所求的剪力和弯矩通常都假设为正向； (3) 列平衡方程求出剪力和弯矩。
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