偏心受压构件正截面承载力计算
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0
Nd f cd f' sdA' s f cdbx
e' s
a' s
e0
h/2
es
a' s
A' s
x
h -x/ 2 ho-as ho
h' o
h/2
as
s
As b
0
ho h
As
x
e'
3、当轴向力偏心距很小时， 若AS’配置较多，而AS较少时， 则可能发生离偏心力较远侧 混凝土压坏。
《公桥规》规定：对于小偏压构件， 若偏心压力作用于AS’和AS之间时， 尚应符合下列条件：
截面复核
e0 已 知求 Nu N已 知求 e0
A’s已 知求
As
A’s已 知求
As
类型很多， 不管是哪一类型，始终是利用基本公式和公式 条件求解。 条件不够时，结合受力特性或经济性补充条件后 求解。
1）大偏压截面设计 （e0 0.3h0）
（1）计算简图
es
e0
e 's
Nu
（2）计算公式 fsd As
As配筋合适
fyAs f'yA's
e0
N
（1）发生条件：偏心距e0较大，
As的数量合适。
（2）破坏特征
fsAs
f’sA’s
▲As先屈服；压区混凝土后压碎。 ▲延性破坏。 ▲破坏特征与适筋梁相似
受 拉 破 坏
2）受压破坏--- 小偏心受压破坏
e0
N
e0
N
As 太 多
sAs
f’sA’s
sAs
f’sA’s
Ⅱ级 Ⅲ级
由上表可知：（e0/h0）b=0.284~0.322 故取e0/h0 =0.3为近似分界条件
▲偏压构件的计算类型
计算类型 不对称配筋 对称配筋 对称配筋无 A’s已知求As， 其余相同
大偏心受压 截面设计 求 As、 A’s
小偏心受压 截面设计 求 As、 A’s
截面复核
e0 已 知求 Nu N已 知求 e0
h' o
基本公式：
h/2 as
s
As b
0
As s As 0 N d f cd bx f sd
x As ( ho a o N d es f cd bx( ho ) f sd s) 2
x o N d e a s f cd bx ( s ) s As ( ho a s ) 2
P155 例7-2
2）小偏压截面设计
（e0 0.3h0） （1）计算简图
x 曲线方程 y f sin l0
e0 e i y
y f sin
y
N
Ne
x
le
N e0 称一阶弯矩，
N f 称二阶弯矩。 （3） 长细比l0/h很大时， 发生失稳破坏； 长细比l0/h一定时， 发生材料破坏。
ff
le l0
N(e
x e
N
7.2.1 偏心受压构件的破坏类型
1）短柱（ l0/h≤8）
e0 u e0 N e0 1、的定义 M N e0 u N
e0 u u 1 e0 e0
y
y
e0 e i N
2、推导的计算公式（了解） y f sin le
x
f u
b=
2 d y
dx 2 x l / 2 0
2 0
= u
l
怎么办？
令x=bh0 ▲措施：
▲求解：利用两个基本公式可得
As f sd As N f cd bx f sd Nes f cd bx( h0 x ' As ( h0 a s ) f sd ) 2
2 Nes f cd bh0 b (1 0.5 b ) As min bh ' ( h0 a s ) f sd
1、界限破坏的特征：受拉钢筋屈服与受压区边缘混凝 土达到ecu 同时发生。 2、相对界限受压区高度b
ey
AS AS’
ecu
有屈服点钢筋 b
f sd 1 E se cu
为大偏心受压 为小偏心受压 表3-2
3、大小偏心的分界:
b > b
7.2 偏心受压构件的纵向弯曲 纵向弯曲引起二阶效应 （1） l0/h较大时，纵向弯 曲不能忽略。 （2）右图中，
As f sd As N f cd bx f sd x ' As ( h0 a s Nes f cd bx( h0 ) f sd ) 2
式中es e0 0.5h a s
f'sd A's
（3）计算公式的条件
x bh0 x2as'
As 0.002bh； A's 0.002bh As + A's 0.006bh
▲偏心受压构件的计算类型较多，应讲清其分
析问题的思路：
一是计算主线有计算简图、基本公式、
适用条件以及补充条件； 二是注意验算适用条件； 三是熟悉不符合适用条件时的处理方法。
第 7章
N
偏心受压构件的正截面承载力计算
e0 N
M=N e0 As
As
aS
As
aS'
=
As
As
h0
As
b
压弯构件
偏心受压构件
e0 最小相对界限偏心距 e / h 相对界限偏心距 h 0b,min 0 o b
混凝土 钢筋
C20 0.303 0.321
C30 0.294 0.312
C40 0.288 0.306
C50 0.284 0.302
C60 0.291 0.308
C70 0.298 0.315
C80 0.306 0.322
si e cu Es (
x hoi
1)
si f sd f sd
β——截面受压区矩形应力图高度系数，混凝土强度等级C50及 以下时取β=0.8，C80时取β=0.74，中间强度等级用直线插入求 得； ξb见表面3-2。
2、 当X<2as'时
取X=2as'
0 N d e s N u e s f s d As h0 a s
偏心距e0=0时？ 当e0→∞时，即N=0，？ 偏心受压构件的受力性能和破坏形态界于轴心受压构件和受弯 构件。
7.1 偏心受压构件正截面受力特点和破坏形态
7.1.1 破坏形态 试验表明： 偏心受压短柱有受拉破坏和受压破坏两种形态； 影响破坏形态的主要因素是偏心距e0和纵向钢筋配筋率。 1）受拉破坏 ---大偏心受压破坏。 N e0 偏心距e0较大
两类问题
1
截面设计
▲大小偏心受压的分界
近似判据 真实判据
e0 0.3h0，大偏心 e0 0.3h0，小偏心
b ，大偏心
> b ，小偏心
▲近似判据的由来－－了解
将 =b代入大偏压计算公式可推得，
e0 h 0 b
' ( h0 a s s ,max1 f c bh02 f y As ) f y As )h0 ( 1 f c b b h0 f y As
（1）发生条件： （a）相对偏心距e0/h0较小； （Байду номын сангаас）相对偏心距e0/h0较大，但As的数量过多。
（2）受压破坏的特征
▲离纵向力较近一侧的混凝土压碎，钢筋屈服； 离纵向力较远一侧的钢筋不屈服。 ▲脆性破坏。
受 压 破 坏
▲破坏特征与超筋梁相似
▲第二种情况在设计时应予避免。
7.1.2
大小偏心破坏的界限
（4） As 、A’s应满足最小配筋率：
（5） As 、A’s应满足最大配筋率：
As + A's 0.05bh
（6）截面设计分两种类型 类型一：As、A’s均未知； 类型二：A’s已知，As未知
（7）类型一：已知：b×h；fc、fy，fy’； l0/h；N、M， 求As、A’s
▲分析：三个未知数，As、 A’s和 x
第7章
学习目标
偏心受压构件的 正截面承载力计算
▲掌握偏心受压构件正截面的两种破坏形态和正截 面受压承载力的一般计算公式；
▲熟练掌握对称配筋矩形截面偏心受压构件正截面 受压承载力的计算方法； ▲掌握N-M相关曲线的概念；
▲熟悉受压构件的配筋构造。
教学提示
▲本章应重点介绍偏心受压构件的破坏机理及
正截面承载力计算方法。
0
l0 1 e0 h 1419 h0 1
再考虑修正系数z1
2
影响系数z2，后得
l0 1 z 1z 2 e0 h 1400 h0 1
2
规范中的计算公式
l0 1 z 1z 2 eo h 1400 h0 1
h e s e0 a s 2
e s e0 h a s 2
x As e f cd bx(e s h0 ) s As es f sd s 2
e0=M/N
ho h
As
x
说明： 1、钢筋应力s取值
当x≤ξbh0时，构件属大偏心受压，取s=fsd； 当x>ξbh0时，构件属小偏心受压，钢筋应力按下式计算：
2
2 0
10 u 2 l0
le l0
N
l u b 10
x
N
b
e cu e y
h0
ey
b
2 0
e cu
0.0033 1.25 0.0017 h0
1 1 171.7 h0
再代入
代入
l u b 10
e0 u u 推得 1 e0 e0 取h=1.1h
e0 - ea
Nu
f's As
h As h0 as 0 N d e N ue f cd bh h0 f sd 2
h a h0 s e h e0 a s 2
f's A's
7.3.2
矩形截面偏压构件非对称配筋的计算方法 有 截面设计 截面复核
（8）类型二：已知b×h；fc、fy，fy’； l0/h；N、M， A’s， 求As 未知数：As、 x ▲分析： ▲求解：先由基本公式2求 x
x ' As ( h0 a s Nes f cd bx( h0 ) f sd ) 2
' 2 [ Ne f A ( h a 2 s sd s 0 s )] x h0 h0 f cd b
eo 其中z 1 0.2 2.7 1.0 ho l0 z 2 1.15 0.01 1.0 h
2
▲
l0 / r 17.5 l0 / h 5
时取 =1.0
7.3.1 矩形截面偏压构件正截面承载力计算基本公式
基本假定： 1、平截面假设； 2、不考虑受拉区混凝土参加工作； 3、ε cu=0.0033~0.003 4、混凝土的压应力图形为矩形；
0
Nd f cd f' sdA' s f cdbx
e' s
a' s
e0
h/2
es
a' s
A' s
x
h -x/ 2 ho-as ho
h' o
h/2
as
s
As b
0
ho h
As
x
0
Nd f cd f' sdA' s f cdbx
e' s
a' s
e0
h/2
es
a' s
A' s
x
h -x/ 2 ho-as ho
若x< 2as’ ？ 取x= 2as’ ，计算As ，则：
Ne s As f sd h0 a s
若2as’ x bh0，则：
★若As < minbh？ 则取As=minbh
As N f cd bx f sd As f sd
若x > bh0？ 按As、A’s均未知－－转类型一
As N f cd bh0 b f sd As min bh f sd
▲验算最小配筋率 ★若A's<0.002bh? 则取A's =0.002bh，然后按A’s已知计算－－转类型二
★若As<minbh ?
应取As=minbh
P153 例7-1 b×h=300×600,N=500kN, M=190 kN.m; C20,HRB335;l0=4.8m; 一类 求：As、A’s
（a） 侧向挠度 f 很小， 可忽略。 （b） M随N线性增长。 （c） 最后为材料破坏。
N
A
N0 N0e0
短柱
B
M
D
2）长柱（ l0/h=8~30）
A （a）侧向挠度 f 不能忽略。
N
B
N1f1
N0 N0e0 （b） M随N非线性增长。 N1 N1e0
短柱 长柱
（c）最后为材料破坏。
（d）轴向承载力低于相同
情况的短柱的承载力。 D
M
3）细长柱（ l0/h>30）
（a）侧向挠度 f 的影响 很大。 （b）最后为失稳破坏。 （c）细长柱不应采用。
N
A
N0 N0e0 N1 N1e0 N2 N2e0
B
N1f1 N2f2
C
短柱 长柱 细长柱
D
M
D
7.2.2
偏心距增大系数
e0
x 曲线方程 y u sin l0
Nd f cd f' sdA' s f cdbx
e' s
a' s
e0
h/2
es
a' s
A' s
x
h -x/ 2 ho-as ho
h' o
h/2
as
s
As b
0
ho h
As
x
e'
3、当轴向力偏心距很小时， 若AS’配置较多，而AS较少时， 则可能发生离偏心力较远侧 混凝土压坏。
《公桥规》规定：对于小偏压构件， 若偏心压力作用于AS’和AS之间时， 尚应符合下列条件：
截面复核
e0 已 知求 Nu N已 知求 e0
A’s已 知求
As
A’s已 知求
As
类型很多， 不管是哪一类型，始终是利用基本公式和公式 条件求解。 条件不够时，结合受力特性或经济性补充条件后 求解。
1）大偏压截面设计 （e0 0.3h0）
（1）计算简图
es
e0
e 's
Nu
（2）计算公式 fsd As
As配筋合适
fyAs f'yA's
e0
N
（1）发生条件：偏心距e0较大，
As的数量合适。
（2）破坏特征
fsAs
f’sA’s
▲As先屈服；压区混凝土后压碎。 ▲延性破坏。 ▲破坏特征与适筋梁相似
受 拉 破 坏
2）受压破坏--- 小偏心受压破坏
e0
N
e0
N
As 太 多
sAs
f’sA’s
sAs
f’sA’s
Ⅱ级 Ⅲ级
由上表可知：（e0/h0）b=0.284~0.322 故取e0/h0 =0.3为近似分界条件
▲偏压构件的计算类型
计算类型 不对称配筋 对称配筋 对称配筋无 A’s已知求As， 其余相同
大偏心受压 截面设计 求 As、 A’s
小偏心受压 截面设计 求 As、 A’s
截面复核
e0 已 知求 Nu N已 知求 e0
h' o
基本公式：
h/2 as
s
As b
0
As s As 0 N d f cd bx f sd
x As ( ho a o N d es f cd bx( ho ) f sd s) 2
x o N d e a s f cd bx ( s ) s As ( ho a s ) 2
P155 例7-2
2）小偏压截面设计
（e0 0.3h0） （1）计算简图
x 曲线方程 y f sin l0
e0 e i y
y f sin
y
N
Ne
x
le
N e0 称一阶弯矩，
N f 称二阶弯矩。 （3） 长细比l0/h很大时， 发生失稳破坏； 长细比l0/h一定时， 发生材料破坏。
ff
le l0
N(e
x e
N
7.2.1 偏心受压构件的破坏类型
1）短柱（ l0/h≤8）
e0 u e0 N e0 1、的定义 M N e0 u N
e0 u u 1 e0 e0
y
y
e0 e i N
2、推导的计算公式（了解） y f sin le
x
f u
b=
2 d y
dx 2 x l / 2 0
2 0
= u
l
怎么办？
令x=bh0 ▲措施：
▲求解：利用两个基本公式可得
As f sd As N f cd bx f sd Nes f cd bx( h0 x ' As ( h0 a s ) f sd ) 2
2 Nes f cd bh0 b (1 0.5 b ) As min bh ' ( h0 a s ) f sd
1、界限破坏的特征：受拉钢筋屈服与受压区边缘混凝 土达到ecu 同时发生。 2、相对界限受压区高度b
ey
AS AS’
ecu
有屈服点钢筋 b
f sd 1 E se cu
为大偏心受压 为小偏心受压 表3-2
3、大小偏心的分界:
b > b
7.2 偏心受压构件的纵向弯曲 纵向弯曲引起二阶效应 （1） l0/h较大时，纵向弯 曲不能忽略。 （2）右图中，
As f sd As N f cd bx f sd x ' As ( h0 a s Nes f cd bx( h0 ) f sd ) 2
式中es e0 0.5h a s
f'sd A's
（3）计算公式的条件
x bh0 x2as'
As 0.002bh； A's 0.002bh As + A's 0.006bh
▲偏心受压构件的计算类型较多，应讲清其分
析问题的思路：
一是计算主线有计算简图、基本公式、
适用条件以及补充条件； 二是注意验算适用条件； 三是熟悉不符合适用条件时的处理方法。
第 7章
N
偏心受压构件的正截面承载力计算
e0 N
M=N e0 As
As
aS
As
aS'
=
As
As
h0
As
b
压弯构件
偏心受压构件
e0 最小相对界限偏心距 e / h 相对界限偏心距 h 0b,min 0 o b
混凝土 钢筋
C20 0.303 0.321
C30 0.294 0.312
C40 0.288 0.306
C50 0.284 0.302
C60 0.291 0.308
C70 0.298 0.315
C80 0.306 0.322
si e cu Es (
x hoi
1)
si f sd f sd
β——截面受压区矩形应力图高度系数，混凝土强度等级C50及 以下时取β=0.8，C80时取β=0.74，中间强度等级用直线插入求 得； ξb见表面3-2。
2、 当X<2as'时
取X=2as'
0 N d e s N u e s f s d As h0 a s
偏心距e0=0时？ 当e0→∞时，即N=0，？ 偏心受压构件的受力性能和破坏形态界于轴心受压构件和受弯 构件。
7.1 偏心受压构件正截面受力特点和破坏形态
7.1.1 破坏形态 试验表明： 偏心受压短柱有受拉破坏和受压破坏两种形态； 影响破坏形态的主要因素是偏心距e0和纵向钢筋配筋率。 1）受拉破坏 ---大偏心受压破坏。 N e0 偏心距e0较大
两类问题
1
截面设计
▲大小偏心受压的分界
近似判据 真实判据
e0 0.3h0，大偏心 e0 0.3h0，小偏心
b ，大偏心
> b ，小偏心
▲近似判据的由来－－了解
将 =b代入大偏压计算公式可推得，
e0 h 0 b
' ( h0 a s s ,max1 f c bh02 f y As ) f y As )h0 ( 1 f c b b h0 f y As
（1）发生条件： （a）相对偏心距e0/h0较小； （Байду номын сангаас）相对偏心距e0/h0较大，但As的数量过多。
（2）受压破坏的特征
▲离纵向力较近一侧的混凝土压碎，钢筋屈服； 离纵向力较远一侧的钢筋不屈服。 ▲脆性破坏。
受 压 破 坏
▲破坏特征与超筋梁相似
▲第二种情况在设计时应予避免。
7.1.2
大小偏心破坏的界限
（4） As 、A’s应满足最小配筋率：
（5） As 、A’s应满足最大配筋率：
As + A's 0.05bh
（6）截面设计分两种类型 类型一：As、A’s均未知； 类型二：A’s已知，As未知
（7）类型一：已知：b×h；fc、fy，fy’； l0/h；N、M， 求As、A’s
▲分析：三个未知数，As、 A’s和 x
第7章
学习目标
偏心受压构件的 正截面承载力计算
▲掌握偏心受压构件正截面的两种破坏形态和正截 面受压承载力的一般计算公式；
▲熟练掌握对称配筋矩形截面偏心受压构件正截面 受压承载力的计算方法； ▲掌握N-M相关曲线的概念；
▲熟悉受压构件的配筋构造。
教学提示
▲本章应重点介绍偏心受压构件的破坏机理及
正截面承载力计算方法。
0
l0 1 e0 h 1419 h0 1
再考虑修正系数z1
2
影响系数z2，后得
l0 1 z 1z 2 e0 h 1400 h0 1
2
规范中的计算公式
l0 1 z 1z 2 eo h 1400 h0 1
h e s e0 a s 2
e s e0 h a s 2
x As e f cd bx(e s h0 ) s As es f sd s 2
e0=M/N
ho h
As
x
说明： 1、钢筋应力s取值
当x≤ξbh0时，构件属大偏心受压，取s=fsd； 当x>ξbh0时，构件属小偏心受压，钢筋应力按下式计算：
2
2 0
10 u 2 l0
le l0
N
l u b 10
x
N
b
e cu e y
h0
ey
b
2 0
e cu
0.0033 1.25 0.0017 h0
1 1 171.7 h0
再代入
代入
l u b 10
e0 u u 推得 1 e0 e0 取h=1.1h
e0 - ea
Nu
f's As
h As h0 as 0 N d e N ue f cd bh h0 f sd 2
h a h0 s e h e0 a s 2
f's A's
7.3.2
矩形截面偏压构件非对称配筋的计算方法 有 截面设计 截面复核
（8）类型二：已知b×h；fc、fy，fy’； l0/h；N、M， A’s， 求As 未知数：As、 x ▲分析： ▲求解：先由基本公式2求 x
x ' As ( h0 a s Nes f cd bx( h0 ) f sd ) 2
' 2 [ Ne f A ( h a 2 s sd s 0 s )] x h0 h0 f cd b
eo 其中z 1 0.2 2.7 1.0 ho l0 z 2 1.15 0.01 1.0 h
2
▲
l0 / r 17.5 l0 / h 5
时取 =1.0
7.3.1 矩形截面偏压构件正截面承载力计算基本公式
基本假定： 1、平截面假设； 2、不考虑受拉区混凝土参加工作； 3、ε cu=0.0033~0.003 4、混凝土的压应力图形为矩形；
0
Nd f cd f' sdA' s f cdbx
e' s
a' s
e0
h/2
es
a' s
A' s
x
h -x/ 2 ho-as ho
h' o
h/2
as
s
As b
0
ho h
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x
0
Nd f cd f' sdA' s f cdbx
e' s
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h/2
es
a' s
A' s
x
h -x/ 2 ho-as ho
若x< 2as’ ？ 取x= 2as’ ，计算As ，则：
Ne s As f sd h0 a s
若2as’ x bh0，则：
★若As < minbh？ 则取As=minbh
As N f cd bx f sd As f sd
若x > bh0？ 按As、A’s均未知－－转类型一
As N f cd bh0 b f sd As min bh f sd
▲验算最小配筋率 ★若A's<0.002bh? 则取A's =0.002bh，然后按A’s已知计算－－转类型二
★若As<minbh ?
应取As=minbh
P153 例7-1 b×h=300×600,N=500kN, M=190 kN.m; C20,HRB335;l0=4.8m; 一类 求：As、A’s
（a） 侧向挠度 f 很小， 可忽略。 （b） M随N线性增长。 （c） 最后为材料破坏。
N
A
N0 N0e0
短柱
B
M
D
2）长柱（ l0/h=8~30）
A （a）侧向挠度 f 不能忽略。
N
B
N1f1
N0 N0e0 （b） M随N非线性增长。 N1 N1e0
短柱 长柱
（c）最后为材料破坏。
（d）轴向承载力低于相同
情况的短柱的承载力。 D
M
3）细长柱（ l0/h>30）
（a）侧向挠度 f 的影响 很大。 （b）最后为失稳破坏。 （c）细长柱不应采用。
N
A
N0 N0e0 N1 N1e0 N2 N2e0
B
N1f1 N2f2
C
短柱 长柱 细长柱
D
M
D
7.2.2
偏心距增大系数
e0
x 曲线方程 y u sin l0