等离子体物理基础-动力学理论1.1

εz 1

2 p
k2
F (vz ) 1 vz / k vz dvz
朗道路径
静电波和Landau阻尼
静电波和Landau阻尼
静电波和Landau阻尼
静电波和Landau阻尼
静电波和Landau阻尼
静电波和Landau阻尼
线性Landau阻尼的物理解释
1 2 1 2 mv e ( x) mv0 e ( x0 ) 2 2
线性Landau阻尼的物理解释
电场扰动
E E1 sin(kx t )
eE1 cos(k x t ) cos(k x k ut) v1 m ku eE k cos(k x t ) cos(k x k ut) ( k u)t sin(k x k ut) n1 nu 1 m ( k u) 2

可以研究高温等离子体波和微观不稳定性问题 适用条件： 1 是碰撞的特征时间 不能研究弛豫和输运问题，这些过程是通过碰撞实现的。

Vlasov线性理论
f (x, v, t ) f 0 ( v) f 1 (x, v, t )

f 1 f 0
没有外场
f 1 q v f 1 t m f 1 v E B v f 0 0 c
c

流体力学方程组的推导
f v f a v f dv C ( f )dv t
[n ] n [n v ] n v n a v [n ] t t
dWk F u F u ˆ Fu u u f 0 (u )du n0 u f 0 (u )du dt nu nu u E12 2 sin(t kut) ( ku)t cos(t kut) ˆ pe k uf 0 (u )du 8 ( ku) 2 E12 2 d sin( ku)t pe ufˆ0 (u ) du 8 du ( ku)
非对角元为0
vi f 0 ( v) ( k vz ) vi dv
色散关系
k ke z
vi
f ( v) dvi f ( v)dvi vi
F (vz ) f ( v)dvx dvy
2 p vx f 0 ( v ) εx y 1 ( k vz ) vx dv 2 p f 0 ( v ) 1 ( k vz ) dv 2 p F (v z ) 1 ( k vz ) dvz
1 sin(k x t ) cos(k x k ut) sin(t k ut) 2 1 sin(k x t ) sin(k x k ut) cos(t k ut) 2
线性Landau阻尼的物理解释
e 2 E12 k sin(t kut) ( ku)t cos(t kut) Fu nu 2m ( ku) 2

p p I χ 1 p Tr (p ) n T 3
粘滞应力张量，由分布函 数各项异性所引起

注意：压强与碰撞无关！即使忽略碰撞项，也会出现。 碰撞引起的动量密度变化率，即摩擦力 R m n (u u ) 同种粒子之间碰撞没有贡献，由于总动量守恒
q 1 v E B v f 0 0 m i ( k v) c

如果
f 0 ( v )
是各向同性的，则

v B v f 0 ( v ) 0
q f dv q

q E v f 0 dv m i ( k v ) q E v f 0 dv m i ( k v )
(Q R u ) 0 Q R u
Qei Qie R ei u e R ie ui R ei (u e ui )
Vlasov方程

忽略碰撞项，动力学方程成为
f q v v f E B v f 0 t m c
n m q a v v 2 n m a v n m E v n q u E 2 m n m n m 2 v 2 (u v 2 ) (Q R u ) 2 2
v u ,
w 0
w 无规热运动速度
P n m vv n m u u n m ww n m u u p
p n m ww
m
n m
压强张量
n u u m (n u u ) n q E B p m [n v ] t c
电磁波色散关系：
c k
2 2 2

2 p
色散关系
静电色散关系
ε z ( , k ) 0
2 p v z f 0 ( v ) εz 1 k vz vz dv 2 p v z F (v z ) 1 k vz vz dvz

内能方程
n m n m u p u q (Q ) t n m n m u p u q (Q ) t
由能量守恒
a
v
f dv v (af )dv a ( v ) f dv ( v a) f dv n a v
定义k阶速度矩张量
M k (x, t ) vv vf dv vv v
n M 0 ,
粒子能量增加＝波的能量损失 Langmuir波的能量 d [ ( )] | E |2 d | E |2 | E |2 Ww
d 16 d 16 8
dWw dWk d sin( ku)t 2 ˆ Ww pe uf 0 (u ) du dt dt du ( ku)
n u M1 n v
P m M 2 n m vv
流体力学方程组的推导
连续性方程 n (n u ) 0
t
动量方程 定义
n u [n vv ] n a [n v ] t
v u w
j q vf dv q v
色散关系
εE c2
ε I
i 4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k k E 2
c2
2
k I kk E
2
εE 0 c 2k 2 ε 2 IE 0
k || E k E

σ
2 p I
dN f (x,v, t )dxdv
宏观物理量
n (x,t ) f (x,v, t )dv 1 (x,t ) f dv n

等离子体常常是非平衡的，不存在普适的分布函数，需要 用动力学方程来描述－关于分布函数的时间演化方程。
f f v f a v f t t C ( f , f ) C ( f )
v v f 0 ( k v) dv
f ( v ) f (v )
k ke z
vi f ( v)dv 0
f ( v) vi dv 0
2 p vi f 0 ( v) εij ij ( k vz ) v j dv 2 p ij 1
Fu eE(nu n1 ) e En1 nu eE1k sin(k x t )[cos(k x t ) cos(k x k ut) ( k u)t sin(k x k ut)] m ( k u) 2
在一个波长内对空间平均
u u n m u u n q E B p m n (u u ) t c
流体力学方程组的推导

几点说明： 压强张量是由热运动引起的，其物理意义是粒子由于无规热 运动进出流体质团对动量流密度的贡献， p 表示动量变化 率－作用在质团上的力（单位质量）。
R 0
流体力学方程组的推导
能量方程 定义
n v 2 (n v 2 v ) n a v v 2 n v 2 t


w2 3 T 2 2 m
q
1 n m w2 w 2
2 u n m 2 n m 2 2 v (u w ) n m 2 2 2
n m 2 n m 2 v v (u 2u w w2 )(u w ) 2 2 2 u n m w2 n m u n m ww u n m u w 2 w 2 2 2 2 u n m u p u q 2
研究生课程
等离子体物理基础
二室 裴文兵 2005年
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 绪论 单粒子理论 磁流体理论 等离子体中的波和不稳定性 （流体理论） 动力学理论（1）
等离子体动力学理论
• • •
流体方程的推导 Vlasov方程 Landau阻尼
动力学方程

动力学理论是从分布函数出发的，分布函数被定义为相空 间中粒子的平均密度
流体力学方程组的推导
总能量方程
2 2 u u n m n m u t 2 2 n q E u (p u ) q (R u Q )
1

2 p
1 F (v z ) k vz vz dvz k F (v z ) 1 vz / k vz dvz
2 2 p
1

2 p
k2
如果
k 0
2 p εz 1 2 0

静电波和Landau阻尼