第7章-运输问题
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例6. 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、 20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每 台柴油机的成本如下表。如果生产出来的柴油机当季不交货， 每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完 成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。
一季度 二季度 三季度 四季度
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）
生产能力（台） 单位成本（万元） 25 10.8 35 11.1 30 11.0 10 11.3
7.1 运输规划问题的数学模型
交货：x11 x12 + x22 x13 + x23 + x33 = 10 = 15 = 25
一季度 二季度 三季度 四季度
生产能力（台） 单位成本（万元） 25 10.8 35 11.1 30 11.0 10 11.3
7.1 运输规划问题的数学模型
例7. 解： 各月生产与交货分别视为产地和销地 1）1-6月份合计生产能力（包括上年末储存量）为743台，销量为707台。设一假 想销地销量为36台； 2）上年末库存103台，只有仓储费和运输费，把它列为第0行； 3）6月份的需求除70台销量外，还要80台库存，其需求应为70+80=150台； 4）1-6表示1-6月份正常生产情况， 1’-6’表示1-6月份加班生产情况。
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货 的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作 运费。可构造下列产销平衡问题： 目标函数：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 + 11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
7.1 运输规划问题的数学模型
运输问题数学模型的一般形式
产销平衡
Page 5
A1、 A2、…、 Am 表示某物资的 m 个产地； B1、B2、…、 Bn 表示某物质的 n 个销地；ai 表示产地 Ai 的产量； bj 表示销地 Bj 的销量； cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量：
7.1 运输规划问题的数学模型
产大于销
例2. 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 500 产量 300 300 600
增加一个 虚设的产地
运输费用为0
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 250
B2 4 5 0 200
Fra Baidu bibliotek
B3 6 5 0 200
产量 200 300 150 650 650
8
7.1 运输规划问题的数学模型
销大于产
例3. 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10
x14 + x24 + x34 + x44 = 20
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货 的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作 运费。可构造下列产销平衡问题：
9
7.1 运输规划问题的数学模型
产销不平衡的运输问题
例4. 石家庄北方研究院有三个区,即一区,二区,三区,每年分别需要 用煤3000、1000、2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供 应，价格、质量相同。供应能力分别为1500、4000吨，运价为：
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 产量 4000 1500
A B C 最低需要量 最高需要量
试求总费用为最低的化肥调拨方案。
7.1 运输规划问题的数学模型
例5. 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
A B C D 销量
1’ 16 14 19 M 30
1” 16 14 19 0 20
2 13 13 20 M 70
3 22 19 23 0 30
4’ 17 15 M M 10
Page 3
例1. 某公司从两个产地 A1、A2 将物品运往三个销地 B1、
A2
销量
6
150
5
150
5
200
300
7.1 运输规划问题的数学模型
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500
Page 4
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量，得到下列运输 量表：
B1 B2 B3 产量 200 300 A1 A2 销量 x11 x21 150 x12 x22 150 x13 x23 200
产量 300 300 600
7
7.1 运输规划问题的数学模型
销大于产
例3. 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 250 B2 4 5 200 B3 6 5 200 650 产量 200 300 500
1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 5 月份 6 月份
已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运 到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为 0.2万元。 在7-8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库 存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。 问应如何安排1-6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最 少？
7.1 运输规划问题的数学模型
例7. 光明仪器厂生产电脑绣花机是以销定产的。已知1至6月份各月的生产能力、 合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：
正常生产能力（台） 加班生产能力（台） 销量（台） 单台费用（万元） 60 10 104 15 50 10 75 14 90 20 115 13.5 100 40 160 13 100 40 103 13 80 40 70 13.5
问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 250 B2 4 5 200 B3 6 5 200 650 产量 200 300 500
增加一个 虚设的产地 运输费用为 M
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 M 250
B2 4 5 0 M 200
B3 6 5 0 M 200
产量 200 300 150 650 650
问：应如何调运可使总运输费用最小？
增加一个 虚设的销地 运输费用为 M(P128E2)
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200 500
产量 300 300 600
B1 A1 A2 销量 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
B4 M M 100 600
4” 17 15 M 0 50 210
产量 50 60 50 50 210
最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M ，而最高要求与最低 要求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的销量 50 是考虑问题本身适当取的数据。
7.1 运输规划问题的数学模型
生产与储存问题
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少 0 ~ 300吨，二区 必须满足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的
调运方案。
7.1 运输规划问题的数学模型
产销不平衡的运输问题
例4. 由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0~300吨，二区必须满
足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案。
目标函数：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +
11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
7.1 运输规划问题的数学模型
一季度 二季度 三季度 四季度
生产能力（台） 单位成本（万元） 25 10.8 35 11.1 30 11.0 10 11.3
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 产量 4000 1500
解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
山西盂县 河北临城 假想生产点 需要量 一区 1 1.80 1.60 M 2700 一区 2 1.80 1.60 0 300 二区 1.70 1.50 M 1000 三区 1 1.55 1.75 M 1500 三区 2 1.55 1.75 0 500 产量 4000 1500 500 6000 6000
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取 值为0
7.1 运输规划问题的数学模型
产销不平衡的运输问题
例5. 设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的 农用化肥。假设不同产地产品的效果相同，有关数据如下表：
1 16 14 19 30 50 2 13 13 20 70 70 3 22 19 23 0 30 4 17 15 --10 不限 产量 50 60 50
min f cij xij
x ij a i i 1, , m j 1 m s .t x ij b j j 1, , n i 1 x ij 0, i 1, , m; j 1, , n
n
m
n
i 1 j 1
第一季度 10.80 M M M 10 第二季度 10.95 11.10 M M 15 第三季度 11.10 11.25 11.00 M 25 第四季度 11.25 11.40 11.15 11.30 20 D 0 0 0 0 30 100 产量 25 35 30 10 100
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 销量
增加一个 虚设的销地
运输费用为0
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
B4 0 0 100 600
产量 300 300 600
6
7.1 运输规划问题的数学模型
产大于销
例2. 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
Chapter 07：
运输问题
运输问题
7.1 运输问题的数学模型 7.2 运输问题的表上作业法
7.1 运输规划问题的数学模型
B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各 销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使 总运输费用最小？ B1 A1 6 B2 4 B3 6 产量 200
0 1 1’ 2 2’ 3 3’ 4 4’ 5 5’ 6 6’ 销量 1月 0.3 15 16 M M M M M M M M M M 104 2月 0.5 15.3 16.3 14 15 M M M M M M M M 75 3月 0.7 15.5 16.5 14.3 15.3 13.5 14.5 M M M M M M 115 4月 0.9 15.7 16.7 14.5 15.5 13.8 14.8 13.0 14.0 M M M M 160 5月 1.1 15.9 6.9 14.7 15.7 14.0 15.0 13.3 14.3 13.0 14.0 M M 103 6月 1.3 16.1 17.1 14.9 15.9 14.2 15.2 13.5 14.5 13.3 14.3 13.5 14.5 150 虚销地 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 36
一季度 二季度 三季度 四季度
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）
生产能力（台） 单位成本（万元） 25 10.8 35 11.1 30 11.0 10 11.3
7.1 运输规划问题的数学模型
交货：x11 x12 + x22 x13 + x23 + x33 = 10 = 15 = 25
一季度 二季度 三季度 四季度
生产能力（台） 单位成本（万元） 25 10.8 35 11.1 30 11.0 10 11.3
7.1 运输规划问题的数学模型
例7. 解： 各月生产与交货分别视为产地和销地 1）1-6月份合计生产能力（包括上年末储存量）为743台，销量为707台。设一假 想销地销量为36台； 2）上年末库存103台，只有仓储费和运输费，把它列为第0行； 3）6月份的需求除70台销量外，还要80台库存，其需求应为70+80=150台； 4）1-6表示1-6月份正常生产情况， 1’-6’表示1-6月份加班生产情况。
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货 的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作 运费。可构造下列产销平衡问题： 目标函数：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 + 11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
7.1 运输规划问题的数学模型
运输问题数学模型的一般形式
产销平衡
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A1、 A2、…、 Am 表示某物资的 m 个产地； B1、B2、…、 Bn 表示某物质的 n 个销地；ai 表示产地 Ai 的产量； bj 表示销地 Bj 的销量； cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量：
7.1 运输规划问题的数学模型
产大于销
例2. 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 500 产量 300 300 600
增加一个 虚设的产地
运输费用为0
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 250
B2 4 5 0 200
Fra Baidu bibliotek
B3 6 5 0 200
产量 200 300 150 650 650
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7.1 运输规划问题的数学模型
销大于产
例3. 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10
x14 + x24 + x34 + x44 = 20
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货 的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作 运费。可构造下列产销平衡问题：
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7.1 运输规划问题的数学模型
产销不平衡的运输问题
例4. 石家庄北方研究院有三个区,即一区,二区,三区,每年分别需要 用煤3000、1000、2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供 应，价格、质量相同。供应能力分别为1500、4000吨，运价为：
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 产量 4000 1500
A B C 最低需要量 最高需要量
试求总费用为最低的化肥调拨方案。
7.1 运输规划问题的数学模型
例5. 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
A B C D 销量
1’ 16 14 19 M 30
1” 16 14 19 0 20
2 13 13 20 M 70
3 22 19 23 0 30
4’ 17 15 M M 10
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例1. 某公司从两个产地 A1、A2 将物品运往三个销地 B1、
A2
销量
6
150
5
150
5
200
300
7.1 运输规划问题的数学模型
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500
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设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量，得到下列运输 量表：
B1 B2 B3 产量 200 300 A1 A2 销量 x11 x21 150 x12 x22 150 x13 x23 200
产量 300 300 600
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7.1 运输规划问题的数学模型
销大于产
例3. 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 250 B2 4 5 200 B3 6 5 200 650 产量 200 300 500
1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 5 月份 6 月份
已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运 到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为 0.2万元。 在7-8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库 存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。 问应如何安排1-6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最 少？
7.1 运输规划问题的数学模型
例7. 光明仪器厂生产电脑绣花机是以销定产的。已知1至6月份各月的生产能力、 合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：
正常生产能力（台） 加班生产能力（台） 销量（台） 单台费用（万元） 60 10 104 15 50 10 75 14 90 20 115 13.5 100 40 160 13 100 40 103 13 80 40 70 13.5
问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 250 B2 4 5 200 B3 6 5 200 650 产量 200 300 500
增加一个 虚设的产地 运输费用为 M
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 M 250
B2 4 5 0 M 200
B3 6 5 0 M 200
产量 200 300 150 650 650
问：应如何调运可使总运输费用最小？
增加一个 虚设的销地 运输费用为 M(P128E2)
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200 500
产量 300 300 600
B1 A1 A2 销量 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
B4 M M 100 600
4” 17 15 M 0 50 210
产量 50 60 50 50 210
最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M ，而最高要求与最低 要求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的销量 50 是考虑问题本身适当取的数据。
7.1 运输规划问题的数学模型
生产与储存问题
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少 0 ~ 300吨，二区 必须满足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的
调运方案。
7.1 运输规划问题的数学模型
产销不平衡的运输问题
例4. 由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0~300吨，二区必须满
足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案。
目标函数：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +
11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
7.1 运输规划问题的数学模型
一季度 二季度 三季度 四季度
生产能力（台） 单位成本（万元） 25 10.8 35 11.1 30 11.0 10 11.3
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 产量 4000 1500
解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
山西盂县 河北临城 假想生产点 需要量 一区 1 1.80 1.60 M 2700 一区 2 1.80 1.60 0 300 二区 1.70 1.50 M 1000 三区 1 1.55 1.75 M 1500 三区 2 1.55 1.75 0 500 产量 4000 1500 500 6000 6000
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取 值为0
7.1 运输规划问题的数学模型
产销不平衡的运输问题
例5. 设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的 农用化肥。假设不同产地产品的效果相同，有关数据如下表：
1 16 14 19 30 50 2 13 13 20 70 70 3 22 19 23 0 30 4 17 15 --10 不限 产量 50 60 50
min f cij xij
x ij a i i 1, , m j 1 m s .t x ij b j j 1, , n i 1 x ij 0, i 1, , m; j 1, , n
n
m
n
i 1 j 1
第一季度 10.80 M M M 10 第二季度 10.95 11.10 M M 15 第三季度 11.10 11.25 11.00 M 25 第四季度 11.25 11.40 11.15 11.30 20 D 0 0 0 0 30 100 产量 25 35 30 10 100
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 销量
增加一个 虚设的销地
运输费用为0
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
B4 0 0 100 600
产量 300 300 600
6
7.1 运输规划问题的数学模型
产大于销
例2. 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
Chapter 07：
运输问题
运输问题
7.1 运输问题的数学模型 7.2 运输问题的表上作业法
7.1 运输规划问题的数学模型
B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各 销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使 总运输费用最小？ B1 A1 6 B2 4 B3 6 产量 200
0 1 1’ 2 2’ 3 3’ 4 4’ 5 5’ 6 6’ 销量 1月 0.3 15 16 M M M M M M M M M M 104 2月 0.5 15.3 16.3 14 15 M M M M M M M M 75 3月 0.7 15.5 16.5 14.3 15.3 13.5 14.5 M M M M M M 115 4月 0.9 15.7 16.7 14.5 15.5 13.8 14.8 13.0 14.0 M M M M 160 5月 1.1 15.9 6.9 14.7 15.7 14.0 15.0 13.3 14.3 13.0 14.0 M M 103 6月 1.3 16.1 17.1 14.9 15.9 14.2 15.2 13.5 14.5 13.3 14.3 13.5 14.5 150 虚销地 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 36