高中数学-复合函数常考题型

高中数学-复合函数常考题型

复合函数常考的题型有： （1）求解定义域问题 （已知的定义域，求的定义域；已知

的定义域，求

的定义域；

已知

的定义域，求

的定义域）遵循等位等效性原则。

（2）判定函数单调性问题：

已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数 )(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增 函数.遵循同增异减原则。

一、复合函数定义域问题： (1)、已知的定义域，求

的定义域

例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。 解析：函数

的定义域为（0，1）即

，所以的作用范围为（0，1）

又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以

解得

，故函数

的定义域为（1，e ）

例2. 若函数

，则函数的定义域为______________。答案：

（2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即

，由此得

，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，

作用范围不变，所以

为的定义域。

例3. 已知的定义域为，则函数

的定义域为_________。 解析：

的定义域为

，即

，由此得

所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以

即函数的定义域为

例4. 已知，则函数的定义域为______________。

答案：

（3）、已知

的定义域，求

的定义域

思路：设的定义域为D ，即

，由此得，

的作用范围为E ，又f 对作用，

作用范围不变，所以

，解得

，F 为

的定义域。

例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

解析：的定义域为，即，

由此得的作用范围为

又f 对作用，所以，解得

即的定义域为。

二、复合函数单调性问题

已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.

例、证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即

),(,21,21d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.

复合函数的单调性是由两个函数共同决定 “同向得增，异向得减”或“同增异减”. 复合函数))((x g f y =的单调性判断

例1、 求函数

)32(log 22

1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明

解：定义域

130322-<>⇒>--x x x x 或

单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则

)32(log 1212

11--=x x y )32(log 22

22

12--=x x y

---)32(121x x )32(22

2--x x =)2)((1212-+-x x x x

∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(12

1

--x x >)32(222--x x 又底数12

1

0<<

∴012<-y y 即 12y y < ∴

y 在),3(+∞上是减函数 同理可证：y 在)1,(--∞

例2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.

［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.3

1,1|{-<>x x x 或 则当1>a

时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.

若3

1

-

x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，

若3

1

-

a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 答案：0

且