圆锥曲线极坐标的统一形式

另解：
O
x
练习 1、 已知抛物线的极坐标方程为 =
3 ,则 1- cos
抛物线的准线的极坐标方程为：
cos 3
2、椭圆的长轴长为10，短轴长为6， 则椭圆的极坐标方程为：
9 = 5-4cos
练习
3、双曲线的实轴长为2 5，焦点到准线的 距离为4，则双曲线的极坐标方程为：
3 15 方程表示椭圆的离心率e ，焦距 ， 5 4 25 长轴长 ，短轴长5. 4
x
2、有一个椭圆，它的极坐标方程是 D 5 5 A、＝ , B、 3－2 cos 3 3 cos 2 3 cos 5 C、 , D、＝ 5 2－ 3 cos
5 B 3、椭圆 的长轴长是( ) 3 2cos A 3 B 6 C 9 D 12

﹚ 1 ﹚
1
A x
(1) 0 ＝ 0, ＝ 时, cos 0 2 ( 2) 0 ＝ , ＝ 0时, sin 0 2

两种特殊的极坐标方程
1. r
O ·r
2. 2a cos
· O M (a ,0)

P ( )
x

P ( )


﹚
A M x
cos a
3.求过点A(a, )(a 0)且与极轴平行 2 的直线的极坐标方程.
O A
sin a
O
﹚

x
两种特殊的极坐标方程 4.求过点A( 0 , 0 )且倾斜角为
的直线的极坐标方程.
M

O
sin( ) 0 sin( 0 )
高二数学 选修4-4
圆锥曲线的极坐标 的统一形式
两种特殊的极坐标方程
1.过极点的直线的极坐标方程： (1) 0或 0 ( 0); (2) 0 ( R ).
0 ﹚ A O
M
x
2.求过点A(a, 0)(a 0)且与极轴垂直 的直线的极坐标方程.
x
3. 2a sin
M (a , ) · 2
4. 2 0 2 2 0 cos( 0 ) r 2
(1) 0 ＝ 0， 0 r a时， 2a cos
r a时， 2a sin ( 2) 0 ＝ ， 0 2 (3) 0 ＝ 0， 0 0时， r
0 0

P ( )
x
P ( )

r

M ( 0 0 )
O
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系，设圆锥曲线 点，由定义知
A
上任一
整理得：
K
F
B
x
此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 eP 1 e cos
上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线
当0<e<1时，方程表示 椭圆，F是左焦点，L 是左准线。
4 5 1 5 cos
2 4、曲线 = 的一条准线方程是 cos 1, 3-2cos 其另一条准线方程是：
13 cos 5
5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线
过焦点的弦中通径最短，其长为2P。
M
O N
x
证明：
6. P25
例1,2
•
L
F
x
FHale Waihona Puke BaiduL
x
当1<e时，方程表示双 曲线，F是右焦点，L 是右准线。
当e=1时，方程表示抛 物线，F是焦点，L是 准线，开口向右。
L
F
x
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
1.确定方程 焦距、长短轴长。
表示曲线的离心率、
c 3 3 a c a 5 5 2 a 2 b2 c 2 10 b 10 2 b c 3 3 c 25 15 a , c 8 8
· O P
x
10 10 另解：由 ，令 0，1 5 5 3 cos 53 2 1 10 5 令 ， 2 · 53 4 O 5 25 2a 1 2 5 4 4 25 5 2a 4 3 5 a c 5 e ，b a c 15 5 2 2 c 4 4