高中数学《圆的标准方程》课件

06 x1＋2 x2，y1＋2 y2.
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4．点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与
圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 比较：
若|CM|＝r，则点 M 在 □07 圆上 ； 若|CM|>r，则点 M 在 □08 圆外 ； 若|CM|<r，则点 M 在 □09 圆内
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答案
类题通法 求圆的标准方程的方法
直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求 出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
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[变式训练1] 求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)； (2)过点 A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段 AB 为直径； (3)圆心在直线 x＝2 上且与 y 轴交于两点 A(0，－4)，B(0，－2)． 解 (1)由两点间距离公式，得 r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段 AB 的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29，∴半径 r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
2.1 圆的标准方程
[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特 点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系.
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【主干自填】
1．确定圆的条件
(1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 □01 定长．
[解] 由已知得圆心坐标为 C(1,4)， 圆的半径 r＝12|P1P2|＝12 3＋12＋6－22＝2 2. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8. ∵(2－1)2＋(2－4)2＝5<8，(5－1)2＋(0－4)2＝32>8，(3－1)2＋(2－4)2＝8， ∴点 M 在圆内，点 N 在圆外，点 Q 在圆上．
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【即时小测】 1．思考下列问题 若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半 径呢？
提示：圆心坐标(－a，－b)，半径：|t|.
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提示
2．圆心是 C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为( ) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝ 13 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝ 13
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答案
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径 r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
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答案
例 2 已知两点 P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2 为直径的圆的方程， 并判断点 M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
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(2)代数法：可利用圆 C 的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 来确定：
点 M(m，n)在 □10 圆上 ⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；
点 M(m，n)在 □11 圆外 ⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点 M(m，n)在 □12 圆内 ⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2.
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提示
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例 1 写出下列各圆的标准方程． (1)圆心在原点，半径为 8； (2)圆心在(2,3)，半径为 2； (3)圆心在(2，－1)且过原点．
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[解] 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为 8，即 a＝0，b＝0，r＝8， ∴圆的方程为 x2＋y2＝64. (2)∵圆心为(2,3)，半径为 2，即 a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
(2)确定圆的条件： □02 圆心 和 □03 半径．
2．圆的标准方程
(1)以 C(a，b)为圆心，半径为 r 的圆的标准方程为□04 (x－a)2＋(y－b)2＝r.2 (2)当圆心在坐标原点时，半径为 r 的圆的标准方程为 □05 x2＋y2＝r2 .
□ 3．中点坐标
A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为
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类题通法 判断点与圆位置关系的方法
判定点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系，即比较|MC| 与 r 的关系：
若点 M 在圆 C 上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 若点 M 在圆 C 外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； 若点 M 在圆 C 内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
提示：C ∵(1－2)2＋(2－3)2＝2<4，∴点在圆内．
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提示
4．圆 C：(x－ 2)2＋(y＋ 3)2＝4 的面积等于( ) A．π B．2π C．4π D．8π
提示：C 由题可知 r＝2，∴S＝πr2＝4π.
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提示：B 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∵圆心是 C(2，－3)且过原点，∴a＝2，b＝－3. ∴r＝ 2－02＋－3－02＝ 13，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
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提示
3．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点 P(1,2)( ) A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外