立体几何空间中的平行关系

空间中的平行关系

1．平面的基本性质与推论

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；

◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

2．空间中的平行关系

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；

◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；

◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；

※◆两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行

◆垂直于同一个平面的两条直线平行

例题

题型1：共线、共点和共面问题

例1．（1）如图所示，平面ABD 平面BCD＝直线BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形。

试证明三直线BD、MQ、NP共点。

练习：如图所示，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相

交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线

题型2：异面直线的判定与应用

例．（1）已知异面直线a,b 所成的角为700

，则过空间一定点O ，与两条异面直线a,b 都成600

角的直线有( )条

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

练：异面直线a,b 所成的角为θ,空间中有一定点O ，过点O 有5条直线与a,b 所成角都是600

，则θ的取值可能是（）

A ．300

B ．500

C ．600

D ．900

题型3：线线平行线面平行面面平行的判定与性质例1．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。上面命题中，真命题．．．

的序号（写出所有真命题的序号）. 例2：两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE 。

α D C

B A E

F E

C B A

E B 1

A 1

C 1

C A

M P

练1：如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE

练2，如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。证明：直线EE 1//平面FCC 1；

练3．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：C 1D ∥平面B 1FM.

练4：在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2

DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；

E 1

A 1

B 1

C 1

D 1

练5：:正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a。证明：平面ACD1∥平面A1C1B。

练6：如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC中点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

练7：已知如图：E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 BC、

CC1、C1D1、AA1的中点．

(1)求证：EG∥平面BB1D1D；

(2)求证：平面BDF∥平面B1D1H.

高中立体几何证明平行的专题

D B A 1 A F 立体几何——平行的证明【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC。（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：（Ⅰ）C 1D⊥BC；（Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分析：连 EA ，易证 C 1EAD 是平行四是（第1题图）

P E D C B A MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M AD CD BD BC AM EFG 求证： AB 1 ABEF ⊥ABCD ABEF ABCD 090,BAD FAB BC ∠=∠=//= 1 2 AD BE //= 12 AF ,G H ,FA FD BCHG ,,,C D F E ）利用平行四边形的性质【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，求证： D 1O 2 1 中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ；分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （I ）证法一：因为 EF 90ACB ∠=? 90,EGF ABC ∠=??. EFG ?BC FG 2 1= ABCD BC AM 2 1=FA ?GM ? A B C D E F G M

立体几何--平行及位置关系教案

第四章立体几何--平行及位置关系一．课标要求： 1．平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ◆垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。二．命题走向立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识

立体几何平行证明题

立体证明题(2) 1?如图，直二面角 D- AB- E中，四边形 ABCD是正方形，AE=EB F为CE上的点，且 BF丄平面ACE (1)求证：AE丄平面BCE (2)求二面角 B-AC- E的余弦值. 2?等腰△ ABC中, AC=BC= r, AB=2, E、F分别为AC BC的中点，将△ EFC沿EF折起，使得C到P,得到四棱锥 P- ABFE且AP=BP*. (1) 求证：平面 EFP1平面 ABFE (2) 求二面角 B-AP- E的大小. 02

PADL 底面ABCD 且 ABCD 3?如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面是正方形，侧面 PA=PD=2 AD,若E 、F 分别为PC BD 的中点. (I) 求证：EF//平面PAD 4?如图：正△ ABC 与Rt △ BCD 所在平面互相垂直，且/ (1)求证：AB 丄CD

BCD=90°,Z CBD=30° 5?如图，在四棱锥 P- ABCD中，平面PADL平面ABCD^ PAD是等边三角形，四边形是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD 6?如图，在直三棱柱 ABC- A i BQ 中，/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是 AB中点. (I)求证：AB丄平面A i CE (H)求直线 AG与平面A i CE所成角的正弦值. (1)求证：平面PADL平面PBD

7?如图，在四棱锥 P- ABCD中, PA丄平面 ABCD / DAB为直角，AB// CD, AD=CD=2AB=2 E, F分别为PC, CD的中点. (I)证明：AB丄平面BEF; (H)若PA=丄，求二面角 E- BD- C. 8?如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA丄平面 ABCD , PA=AB=AD=2，四边形 ABCD 满足 AB 丄 AD , BC // AD 且 BC=4，点 M 为 PC 中点. (1)求证：DM丄平面PBC ； BE (2)若点E为BC边上的动点，且一一，是否存在实数人使得二面角 P- DE - B的 EC 2 余弦值为-?若存在，求出实数入的值；若不存在，请说明理由. 3

立体几何平行证明题复习过程

立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．（1）求证：AB⊥CD；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点．（Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ；（Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ；（Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点．（1）求证：DM ⊥平面PBC ；（2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

立体几何平行问题专题(学生版)

高三复习——立体几何平行问题专题（学生版） ——李洪波一、基础过关 1. 定理性质梳理 2.平行关系的总结面面平行线面平行线线平行

二、概念理解——判断下列命题真假（1）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；（）（2）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；（）（3）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点；（）（4）平行于同一平面的两条直线互相平行；（）（5）αα//,//a b b a ??；（）（6）b a b a ////,//?αα；（）（7）αα////,//a b b a ?；（）（8）b a b a //,//??αα；（）（9）已知平面 α，β 和直线 m ，若,//,m m αβ?，则 α

练习：如图13，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一 .求证：PQ∥平面BCE．点P、Q，且AP DQ

解法二：（简要过程） A B C D F E P Q 解法三：（简要过程） A B C D F E P Q 四、举一反三 1．（17文科1）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（） 2．（17文科2）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 2 AD ,

∠BAD =∠ABC =90°．证明：直线BC∥平面PAD ； 3．（16文科3）如图，四棱锥中，平面，AD BC ，AB ， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．证明MN 平面PAB .

立体几何证明平行的方法及专题训练

D B A 1 立体几何证明平行的方法及专题训练罗虎胜https://www.360docs.net/doc/c517904576.html, 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利用面面平行的性质，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC. （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB （第1题图）

M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：（Ⅰ）C 1D⊥BC；（Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证： AM ∥平面EFG 。分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG 6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=， 2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。 A B C D E F G M

立体几何平行与垂直经典证明题

N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C

立体几何平行关系

立体几何---空间平行关系【基础知识梳理】 1、平行关系知识框图【基础知识检测】一、选择题 1、平行于同一个平面的两条直线的位置关系是（） A.一定平行 B.平行或相交 C.一定相交 D.平行或相交或异面 2、过直线l 外两点，作与直线l 平行的平面，这样的平面的个数是（） A.有无数个 B.不能作出 C.只能作出一个 D.以上都有可能 3、已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．,,//,////m n m n ααββαβ??? B ． //,,//m n m n αβαβ??? C ．,//m m n n αα⊥⊥? 4、下列命题正确的为（） A.0 B.1 C.2 D.3 （1）平行于同一直线的两平面平行（2）垂直于同一直线的两平面平行. （3）若α ∥β, 则平面α 内任一直线 a ，a ∥β. （4）若n ?α ，m ? α，n ∥β，m ∥β，则α∥β. 二、填空题 5、点A 是平面α 外的一点，过A 和平面α 平行的直线有条. 6、点A 是直线l 外一点，过点A 和直线l 平行的平面有个. 7、过两条平行线中的一条和另一条直线平行的平面有个.

8、过两条异面直线中的一条和另一条直线平行的平面有个. 9、如果21//l l ，1l 平行于平面α，则2l 与平面α 10、如果两直线b a ,相交，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是—— 三、解答题 11、如图，已知Q P 、是正方体1111-D C B A ABCD 的面ABCD 和面1111D C B A 的中心，求证：PQ //平面11A ADD 立体几何---空间平行关系答案 1-3D4C 5-7无数个8、一个9、平行或在平面内

(完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳

c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβαI I β α ⊥⊥b a b a ∥?α a b

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα??α ∥a ?

2015-2017立体几何全国卷高考真题

2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）（A ）14斛（B ）22斛（C ）36斛（D ）66斛【答案】B 【分析】设圆锥底面半径为r ，则 12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质和圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后和半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【分析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.

重点高中立体几何证明平行的专题

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3 F G G A B C D E C A B D E F D E B 1 A 1 C 1C A B F M 立体几何——平行的证明【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1 ＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA E F B A C D P （第1

4 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M

高中立体几何证明线面平行的常见方法

D E B 1 A 1 C 1 C A B M 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证： AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形, E F B A C D P （第

,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证： PA ∥平面BDE 6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC A B C D E F G M

P E D C B A 的中点. 求证：AB 12 1中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、 BD 上的点，且SM AM =ND BN ，求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面，90BCA ∠=o ，PB=BC=CA ，为的中点，为的中点，点在上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面；（2）求证：//CM 平面；

高中立体几何证明平行的专题训练

高中立体几何证明平行的专题训练深圳市龙岗区东升学校一一罗虎胜立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法: （1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利用面面平行，等等。 ⑴通过“平移”再利用平行四边形的性质 1. 如图，四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分另为棱AB、PD的中点.求证：AF //平面PCE; P 分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形 F E A （第1题图） 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB // CD，AB 丄BC，AB = 1，BC = 2，CD = 1 + -?. 3，过A作AE丄CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ ADE沿AE折叠，使得DE 丄EC. （I）求证：BC 丄面CDE ; （H）求证：FG //面BCD ; 分析：取DB的中点H，连GH,HC贝惕证FGHC是平行四边形

的中点,证明：EB//平面PAD ; 分析：：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证 ABEF 是平行四边形 (2)利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD AM //平面 EFG 。 3、已知直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为 AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点,AC 丄BE.求证： (i) C 1D 丄BC ； (n) C 1D //平面 B i FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是 MF//EA D A A 1 4、如图所示,四棱锥P ABCD 底面是直角梯形， BA AD, CD AD ,CD=2AB, E 为 PC 分析：连 MD 交GF 于H ，易证EH 是厶AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，0是正方形的中心， E 是PC C

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.

证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，

立体几何平行证明题常见模型及方法

__________________________________________________ 立体几何平行证明题常见模型及方法证明空间线面平行需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。平行转化：线线平行线面平行面面平行；类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）（1）方法一：中位线法以锥体为载体例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点. 求证：PB ∥平面AEC ；变式1：若点M 是PC 的中点，求证：PA||平面BDM ；变式2：若点M 是PA 的中点，求证：PC||平面BDM 。变式3如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形， , 点M 是SD 的中点，求证：//SB 平面ACM _ B _ C S P A B C D E

__________________________________________________ (2)以柱体为载体例2 在直三棱柱111ABC A B C -,D 为BC 的中点，求证：1A C ||平面1AB D 变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式2在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ；方法2：构造平行四边形法例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 、F 分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDE 变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD 变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB 例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, F E S A B C D E C E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D

立体几何中的平行问题

1 思维拓展：如图,ABCD 是平行四边形,M,N 分别是AB,PC 的中点. 求证MN//面PAD （你能思考出几种方法？）【例3】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E 、F ，且.求证：EF ∥平面ABCD . 例2、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1求证:平面AB 1D 1//平面BC 1D 【例2】如图，设平面∥平面，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C∈，B 、D∈. 求证：. 1111 A B C D A B C D -1A B 1 B C 11B E C F =αβαβ//M N αA B C D F E C 1 B 1A 1 D 1 D 1 B 1 A 1 D C B A C 1α β A B C D M N P C

2 变式1、如图，直线相交于点O ，,，求证：平面ABC //平面 6、设是单位正方体的面、面的中心，如图 8-4，证明：⑴∥平面；⑵面 ∥面. 变式2、如图:空间四边形ABCD 中,E 、F 、 G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AC//平面EFGH ，BD//平面EFGH, 求证: EFGH 为平行四边形 3．判断正误 (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (3)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.( ) ' '' ,,CC BB AA ,'O A AO =O B BO ' =O C CO ' =' ' ' C B A ,P Q 1A C 11A A D D 1111A B C D P Q 11A A B B 1D P Q 1C D B

立体几何中线面平行的方法题附详细解答

F G G A B C D E C A B D E F D E B 1A 1C 1C A B F M 高中立体几何证明平行的专题(基本方法) 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。 (4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1， BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将 △ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥ ⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证： PA ∥平面BDE 7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 E F B A C D P （第1题图） A B C D E F G M

高一必修2立体几何--平行与垂直关系强化练习(含答案)

高一数学必修二空间中平行与垂直关系强化练习 1.空间中，垂直于同一直线的两条直线 A. 平行 B .相交 C .异面 A.若 m//l, n//l ，则 m//n B .若 m 〃，n 〃，则 m//n C.若m ,m ,则 D .若m , ，则m 〃或m 3. 下列说法正确的是（） A. 如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行 B. 两个平面相交于唯一的公共点 C. 如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点 D. 平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行 4. 如图，ABCD- A i BiGD 为正方体， A. BD// 平面 CBD B. AG 丄B i C C. AC 丄平面CBD D. 直线CC 与平面CBD 所成的角为45° 5. 如图，四棱锥 V ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为.5的等腰三角形，则二面角 V AB C 的大小（） A. 30 B . 45 C . 60 D . 120 6. 下列四个结论： ⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（） A. 0 B . 1 C . 2 D . 3 7.在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为.2，其余各棱长都为1，则二面角 A CD B 的余弦值为（ ) A. 1 B .1 C .-D 2 3 3 .3 2.已知互不相同的直线l,m,n 与平面，则下列叙述错误的是（（） D .以上均有可能

(完整)高中立体几何证明平行的专题

1 D B A 1 A F 立体几何——平行的证明【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA （第1题图）

2 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M

(完整word版)立体几何(平行关系的证明)

立体几何（平行关系的证明）线面平行的证明利用中位线 1.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F 。证明：∥PA 平面EDB 。 2.如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且 ACE BF 平面⊥.求证；BFD AE 平面//； 3.如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点， 'A A ⊥平面ABCD 。求证：C A '//平面BDE 。 B C

N M A B D C O A B C E F P 1 A 1 C 1 B 利用平行四边形 4.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点， N 为BC 的中点。证明：直线MN OCD 平面‖ 5.在直三棱柱111C B A ABC -中， AC=4,CB=2,AA 1=2 ο60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11的中点。证明：//1F C 平面ABE 。 6.如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD PA 2==，CD 22=，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。求证：AF//平面PCE ；

利用比例 7.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NP DN ，求证：直线MN ∥平面PBC. 8.如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13， M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶．求证：直线MN //平面PBC 。 9 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN //平面BCE A B C E N D M P D A B C F E M N