平面应力状态的应力分析

y 40MPa, a 30。
试求a 斜面上的应力。
y
xy
a
x
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y
解： a 斜面上的应力 x y x y a cos2a xy sin 2a
2 2
xy
a
60 40 60 40 cos( 60 ) 30 sin( 60 ) 2 2 9.02 MPa
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第七章 应力状态和强度理论
知识点：平面应力状态的应力分析 一、应力状态的概念 二、单元体的概念
三、平面应力状态的概念 四、平面应力状态的应力分析
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一、应力状态的概念
一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处
的应力状态。 一点处的应力状态 一点处的应力全貌
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图(b)中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef 以它的 外法线n与x轴的夹角a 定义
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规定：a角以自x 轴逆时针转至外法线n为正
规定：正应力a 以拉应力为正
规定：a以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。
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y
d A sin a cosa y d A sin a sin a 0
x x
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F 0， a d A d A cosa sin a d A cosa sin a d A sin a sin a d A sin a cosa 0
如何研究任意斜截面(图b)上的应力
静力学平衡方程
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由图(c)知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面
eb的面积为dA· cosa，而底面bf 的面积为dA· sina。图 (d)示
出了作用于体元ebf 诸面上的力。
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体元的平衡方程为 Fn 0， a d A x d A cosa sin a x d A cosa cosa
单元体特征： 1.单元体的尺寸无限小（dx,dy,dz），每个(平)面上 应力均匀分布，大小相等 2. 单元体任意一对平行平面上的应力大小相等，方向 相反
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三、平面应力状态的概念
平面应力状态的概念是应力状态中一种常见情况 平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同 方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行 平面上没有应力。
x
a
x y
2 60 40 sin( 60 ) 30 cos( 60 ) 2
sin 2a xy cos2a
58.3MPa
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例题1：以下哪种应力状态是平面应力状态？
y
yx xy
x
(a)
(b)
答案:(b) (c) (c)
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四、平面应力状态的应力分析
平面应力状态最一般的表现形式如图(a)所示，现要 分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的 应力。
t y y
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由以上两个平衡方程得到a 斜截面上应力a，a的公式：
a
a
x y x y
2
2

2
cos 2a x sin 2a
x y
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sin 2a x cos 2a
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例题2：一点处的平面应力状态如图所示。 已知 x 60MPa， xy 30MPa,
应 力 指明
哪一个面上？ 哪一点？ 如何描述一点应力状态
2
哪一点？ 哪个方向？ 单元体
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二、单元体的概念
用三对相互垂直的平面，围绕一点处取出的微小正
六面体── 单元体
受力物体内一点处的应力状态可用一个单元体及其 上的应力来表示。
从A点处取 出单元体
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