电解质第二十二讲(晶体的各向异性 )

晶体的对称性与对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶系名称 三斜晶系 单斜晶系 正交晶系 四方晶系 六角晶系 三角晶系 立方晶系 晶轴上的周期 晶轴间的夹角 a b c 90 a b c ==90， 90 a b c ===90 a=bc ===90 a=bc ==90， =120 a=b=c ==90 a=b=c ===90
j
注意其简写形式
同时新坐标系统也可由原坐标系统表示如下：
Z1 ' a11 Z 2 ' a12 Z ' a 3 13
a21 a22 a23
a31 Z1 a32 Z 2 Z a33 3
Zi a ji Z j ' a ji Z j '
4. 三阶张量（二十七个分量）……
晶体的物理性质
标量：没有方向性的物理量，用一个与任何参考轴无 关的简单数来确定T．W．V．U．S．ρ（密 度）．C（比热）
矢量：有确定方向和大小的物理量，共有三个分量
E ( E1 , E2 , E3 ) P (P 1, P 2,P 3)
D (D1 , D2 , D3 )
T 'ijkl aim a jn ako alp Tmnop
Tmnop ami anj aok alp T ' i jkl
晶体宏观物理性能随空间方向变 化的理论依据
理论依据：空间中任何的转动都可以依据欧拉转动定理
思考：意义 以及重要性
晶体的物理性质
坐标变换
设原坐标系统为Z1Z2Z3，新坐标系统为 Z1 ' Z2 ' Z3 '
其满足如下关系（正交坐标系）：
Z1 ' a11Z1 a12 Z 2 a13 Z3 Z 2 ' a21Z1 a22 Z 2 a23 Z3 Z3 ' a31Z1 a32 Z 2 a33 Z3
j
晶体的物理性质
在直角坐标系中，坐标变换矩阵中元素应满足：
a a a 1
2 i1 2 i2
2 2i
2 i3
a a a 1
2 1i 2 3i
a11a12 a21a22 a31a32 0 a11a21 a12 a12 a13a23 0
晶体的物理性质
aik a jk akiakj ij
晶体的对称性与对称操作
对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶体的对称性与对称操作
晶体的物理性质
晶体的物理性质是晶体本身所固有的一种属 性，晶体的物理性质大多是各向异性的，而这些 物源自文库量可以用张量来表征。
张量的定义：其是一种物理量，在坐标变换时， 只改变表达形式，不改变物理本质。
在三维实空间，用3n个分量来表征的物理量称n阶张量，故有： 1. 零阶张量（标量，一个分量） 2. 一阶张量（三个分量；矢量） 3. 二阶张量（九个分量）
Z1 ' a11 Z 2 ' a21 Z ' a 3 31 a12 a22 a32 a13 Z1 a23 Z 2 Z a33 3
晶体的物理性质
将上式写成张量形式：
Zi ' aij Z j aij Z j
宏观对称：晶体在宏观观察（宏观物理性质测试）中作为一个均
匀的连续的各向异性的物体所表现出来的对称，经过对称操作后 晶体宏观物理性质不变，宏观对称的对称元素是旋转轴和旋转—
—反演轴（包括对称中心和对称面）；
称操作（对称变换）：能使某一图形作有规律重复操作或变换。 保持晶体内任意两点之间距离不变，把晶体移到与原始位置不能 区别的位置上的操作，经过对称操作后，晶体的所有性质不变
思考： 以上关系如何推导
晶体的物理性质
张量空间变换
Di ij E j
Ei a ji E j '
Di ij E j ij atj Et '
Di ' aij D j
Dp ' api Di api ijatj Et '
pt '
晶体的物理性质
对于多阶张量，同理仍有以下关系：
晶体的对称性与对称操作
• 晶体的结构是以一个抽象的几何图形代 表的一组原子，这种几何图形具有一定 的对称性，这种对称性就称为晶体的宏 观对称性，如果深入到晶体结构内部， 研究以空间点阵方式无限分布的各种质 点的分布规律，这种对称性称晶体的微 观对称性。
晶体的对称性与对称操作
微观对称：晶体在微观研究中作为一个周期性的不连续的结构所 表现出来的对称，经过对称操作后晶体中每一点都移动到具有相 同电子密度的另一点，微观对称的对称元素是平移，滑移反射面 和螺旋轴；
晶体的对称性与对称操作
进行对称操作时所凭借的几何元素称对称素，晶体只
有为数不多的几种对称素，这些对称素组合而产生的 对称类型也是有限的；
对称元素：对称操作所依赖的几何元素（点、轴、
面），宏观对称的对称元素是旋转轴和旋转——反演 轴，包括对称中心和对称面；微观对称的对称元素是 平移，滑移反射面和螺旋轴； 宏观对称素：对称中心（i）；对称面（m）
晶体的物理性质
二阶张量：由九个分量所确定，二阶张量把两个矢量 联系起来
例如：
Di ij E j
11 12 ij 21 22 31 32
13 23 33
是一个二阶张量
三阶张量：27个分量组成。三阶张量可把矢量和二阶 张量联系起来。例电场强度与应力的关系即压电效应用 三阶张量的压电系数
P i d ijkT jk
四阶张量：81个分量。
Sij sijklTkl
Tij cijkl S kl
晶体的物理性质
诺埃曼原理：晶体对称性与晶体宏观物理性质是有联系的， 即：晶体的任一物理性质所拥有的对称元素，必须包含晶 体所属晶类的对称元素。也就是，晶体的宏观物理性质可 以而且经常具有比晶类更高的对称性。