用放缩法证明常见的数列不等式

用放缩法证明常见的数列不等式

放缩法：

所谓放缩：即欲证

A B ≤,欲寻找一个(或多个)中间变量C ,使A C B ≤≤，

由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧：

(1）已知a 、b 、m 都是正数，并且a b ,

a a m

b b m

+<+ 已知a 、b 、m 都是正数,并且a b >, a a m b b m

+>+ (2)21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n

-=<<=->++--

(3）

=<=<= （４)1111111112321111

n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++ 或11111111123222222

n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++

（5）1

+⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== 例1:设1111.....2612(1)

n

S n n =+++++,求证：1n S <

例2：设222111123n S n

=+

++⋅⋅⋅+ 求证:当2n ≥时，121n n S n n <<-+；

变式1：求证：22211171234n

S n =+++⋅⋅⋅+<

变式２:设13521

2462n

n T n -=⋅⋅⋅⋅⋅，求证:n T <

例3:已知数列{a n ｝满足a 1＝1，ａｎ+１=3a ｎ＋1． （1)证明错误!是等比数列，并求｛a n }的通项公式；

(2)证明错误!+错误!+…＋错误!＜错误!.

…………10分