即调和平均数小于等于几何平均数小于等于算术平
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：,a b R
+
∈
2
112
a b
a b
+
≤≤≤
+
即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是a b
=.
我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：
ln ln
a b
a b
-
-
那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式
,
∀>≠
a b a b
ln ln2
a b a b
a b
-+
-
＜＜
以下简单给出证明：
不妨设a b
>，设a bx
=，则原不等式变为：
2(1)
1,ln
1
x
x x
x
-
∀><<
+
以下只要证明上述函数不等式即可.
以下我们来看看对数不等式的作用.
题目1：（2015长春四模题）已知函数()x
f x e ax
=-有两个零点
12
x x
<，则下列说法错误的是A. a e
> B.
12
2
x x
+> C.
12
1
x x> D.有极小值点
x，且
120
2
x x x
+<
【答案】C
【解析】函数()
f x导函数：
'()x
f x e a
=-
有极值点ln
x a
=，而极值(ln)ln0
f a a a a
=-<，a e
∴>，A正确.
()
f x有两个零点：1
1
x
e ax
-=，2
2
x
e ax
-=，即：
11
ln ln
x a x
=+①
22
ln ln
x a x
=+②
①-②得：
1212ln ln x x x x -=-
根据对数平均值不等式：
121212
12ln ln x x x x x x +->=>-122x x ∴+>
，而1>121x x ∴< B 正确，C 错误
而①+②得：12122ln ln 2ln x x a x x a +=+<，即D 成立.
题目2：（2011辽宁理）已知函数()2ln (2)f x x ax a x =-+-.
若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()0'0f x <
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，12x x <，则1202
+=x x x ， 2111ln (2)0x ax a x -+-=①
2222ln (2)0x ax a x -+-=②
①-②得：12121212ln ln ()()(2)()0x x a x x x x a x x --+-+--=，化简得：
121212
10()(2)ln ln x x a x x a x x -=>+---③ 而根据对数平均值不等式：
121212ln ln 2
x x x x x x -+<- ③等式代换到上述不等式
12012011()(2)22(2)
x x x a x x a ax a +<⇒<+----④ 根据：002(2)0ax a x -->（由③得出）∴④式变为：
200002(2)10(21)(1)0ax a x x ax --->⇒+->
∵0(21)0x +>，∴01x a
>，∴0x 在函数单减区间中，即：
0'()0f x ∴<
题目3：(2010天津理)已知函数()x f x xe -= ()x R ∈.如果12x x ≠，且()()12f x f x =. 证明：122x x +>.
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设12()()f x f x c ==，则11x x c e =，22x x c e
=，12()x x ≠两边取对数 11ln ln x x c -=①
22ln ln x x c -=②
①-②得：
1212
1ln ln x x x x -=- 根据对数平均值不等式
121212
12ln ln x x x x x x +->=- 122x x ∴+>
题目4：（2014江苏南通市二模）设函数()x f x e ax a =-+ ()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <.
证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）. 【解析】根据题意：110x e ax a -+=，220x e ax a -+=移项取对数得：
11ln(1)ln x x a =-+①
22ln(1)ln x x a =-+②
①-②得：1212ln(1)ln(1)x x x x -=---，即：
1212(1)(1)1ln(1)ln(1)
x x x x ---=---