高等数学(工科类)第八章无穷级数及其应用68页

来的级数也收敛。
数 项
例如,级数 (1 1 ) (1 1 ) L (1 1 ) L收敛于0,但去括号后
级 数
得到的级数是 1 1 1 1 L 1 1 L 发散的。事实上，部分
的 概 念
和 Sn 10， ，当 当nn为 为奇 偶数 数时 时。
性质5
(级数收敛的必要条件) 如果级数 u n 收敛，则当n
其性质数的概念
极限，则称此级数是发散的。 当级数收敛时，级数的和S 与它的部分
和S n 之差叫做级数的余项，以S n 做为S 的近似
值所产生的误差就是这个余项的绝对值 r n ，
即
rnSSnu n 1+ u n 2+L
两个级数和的几何直观图例
第 一 节
111L
248
n 112n
1
14116614Ln 114n
解：由于
un
1 n(n1)
1 1 ，
n n1
第 一 节
因此
Sn11 2213Ln(n11)
(11)(11)L(11) 1 1 ，
2 23
n n1 n 1
数 项
从而
lni m Sn
lim(1 1 )1 n n1
，即级数收敛，其和等于1。
级
数
的
概 念
例 证明级数1 2 3 L n L是发散的。
证明：此级数的部分和为Sn123Lnn(n21)，显
级
数
的
概
念
充分性条质件5，中其的逆lni否m u命n 0题只是是“级若数lnimnu1nu
可得：当 q 1 时，lim qn 0 ；当 q 1 时，l i m q n
不存在。
n
n
节
数
项
级 数
2、求级数
un
的和的方法：
的
n 1
概
念
先求级数 u n n 1
部分和Snu1+u2+u3+L+un，再求极
限 。 lim n
S
n
例 判别级数 n 1un11 221 3Ln(n 11)L的敛散性。
定义8.2 对于无穷级数 u n ，其前 n 项之和
n 1
Snu1+u2+u3+L+un称为该级数的部分和。若当
第第 一一
n时，部分和数列{ S n } 有极限S ，即
节节
lim
n
Sn
S,
函数 数项 及级
则称级数 u n 是收敛的，并称 S 为该级数的和， 即 Su 1+ u2+ n u 1；3+L+ un L；若当n时，{ S n } 没有
数项级数及其敛散性
定义8.1 如果给定一个无穷数列{ u n } ，那么由
第
该数列构成的表达式
一 节
u1+u2+u3+L+un+L
数
叫做(数项)无穷级数，简称(数项)级数，记作
项
级 数
unu1+u2+u3+L+un+L
的
n1
概 念
其中第n 项 u n 叫做级数 u n 的一般项。 n 1
无穷级数是无穷多个数累加的结果。前面
1 3
函 数 及 其 性 质
例 无穷级数 叫做等比级 aqnaaqaq2LaqnL n0
数(又称几何级数)，其中 a 0 ，q 叫做级数的公
比。试讨论该级数的敛散性。
第
一 节
解：由于部分和S n aaq1aq2Laqn-1 a (1 q n ) ，
1-q
数 项
(1)当 时， ， q 1
lnimSn
时,它的一般项u n
趋于零，即lim n
un
0
。n 1
第 一
证明
对于级数
u
,n 它的一般项可表示为
un SnSn1
节
n 1
如果级数
un
收敛,显然S
n
和S n 1 有相同的极限 S
，因此
数
n 1
项
l n i m u n l n i m ( S n S n 1 ) l n i m S n l n i m S n 1 S S 0
于是 ln i m n ln i m C S n C ln i m S n C S，所以级数 其和为 C S 。
n 1
C
u
n
收敛，
由 n CSn可知，级数的每一项乘以同一个常数后， 它的敛散性不变。
性质2
若级数 u n 和 v n 都收敛,其和分别为 S ， ,则级数 (u n vn )
然
lim
n
Sn
，因此所给的级数是发散的。
二、数项级数的性质
性质1
第 一 节
级数若 C级 u数n 也n 收1 u n敛收，敛其，和其为和C 为S 。S ，则对任一非零常数C ，
n 1
数
项
级 数
证明：设级数 u n 与 C u n 的部分和分别为S n 和 n ,则
n 1
n 1
的 概 念
n C u 1 + C u 2 + L + C u n C S n
也收敛,且其n 和1 为S
n
1
。
n 1
第 一 节
证明
的部分和
设级数 u n n 1
， v n n 1
的部分和分别为S
n
， n
,则级数 (u n vn ) n 1
n ( u 1 v 1 ) ( u 2 v 2 ) L ( u n v n )
数
( u 1 u 2 L u n ) ( v 1 v 2 L v n ) Sn n
第八章
知识目标： 理解无穷级数概念和性质 理解级数审敛法 掌握判别数项级数敛散性的审敛法 掌握幂级数展开式及其应用
能力目标： 会求幂级数的收敛域 能将函数展开为幂级数 会应用函数幂级数展开式 能运用MATLAB软件进行级数运算
一、数项级数的概念
第 一 节 数 项 级 数 的 概 念
第 一 节 数 项 级 数 的 概 念
关于计算圆面积的方法告诉我们，可以先求有
限项的和，然后应用极限的方法来解决这个无
第 一
穷多项的累加问题。
节
既然用到了极限，就必然要探讨敛散性的
数 项
问题：什么是一个级数收敛（或发散)？如何判
级 定一个级数是收敛的（或发散的）？一个收敛
数 的
的级数具有什么性质？
请思考：
概 念
有限数列的和能称 为级数吗？
a(1qn) lim
n 1-q
1
a
q
级 数
所以级数收敛，其和等于 a 。
请思考： 级数
的 概 念
1 q
(2)当 q 1 时，等比级数部分和S n
0.9+0.09+0.009+ 0.0009+…的和是
没有极限，所以级数是发散的。 多少？
1、求
lim
n
q ，n 可以观察 y
qx
指数函数的图像，
第 一
项 级
于是
，所以 ln i m nln i m (Snn)S
n 1
来自百度文库
(un
vn )
也收敛,其和为S
．
数
的 概
性质3
念
在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛
散性。
性质4
如果级数 u n 收敛，则对此级数的项任意加括号后
第 所成的级数仍收n 1 敛，且其和不变。
一 节
注意：如果加括号后所成的级数收敛，并不能断定原