离散数学

离散数学复习题二

一、简要回答下列问题：

1．请给出⌝P，P∧Q，P∨Q的真值表。

2．请给出公式蕴涵的定义。举一个例子。

3.请给出命题∀xG(x)的真值规定。

4.什么是谓词逻辑公式的解释？

5.叙述谓词逻辑公式G与它的Skolem范式之间的区别与联系。

6.什么是图的关联矩阵？

7.什么是简单路？举一例。

8.什么是有向树？举一例

9.设G为整数加群，H为5的所有倍数组成的加法群，给出H的所有陪集。

10．设Z7={0，1，2，3，4，5，6}，⊕为其上的模7加运算，请给出每个元素的周期。11．什么是交换环？请举一例

二、判断下列公式是恒真？恒假？可满足？

a) (P→(Q∧R))∧(⌝P→(⌝Q∧⌝R))；

b) P→(P∧(Q→P))；

c) (Q→P)∧(⌝P∧Q)；

d) (⌝P∨⌝Q)→(P↔⌝Q)。

二、R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：

（1）(R•S)-1= S-1•R-1

（2）(R-1)-1= R

（20分）给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：

a) (P∧(Q∧R))∨⌝((P∨Q)∧(R∨S))

b) (⌝(P∧Q)∨⌝R)∨(((⌝P∧Q)∨⌝R)∧S)

c) (⌝(P∧Q)∨⌝R)∨((Q↔⌝P)→(R∨⌝S))

d) (P∨(Q→(R∧⌝P)))↔(Q∨⌝S)

四、（18分）设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。

(1) ∀xR(x)∧∃xS(x)

(2) ∀x(P(x)→Q(x))

（3）∀x⌝P(x)∨∀xP(x)

五、证明：连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。

六、设S={G1，…，G n}是命题公式集合。试求出在不增加新原子的情况下从S出发演绎出的所有命题公式。

提示：考虑G1∧…∧G n的主合取范式。

离散数学复习题二答案

一、简要回答下列问题：

1．请给出⌝P，P∧Q，P∨Q的真值表。

P Q ⌝P P∧Q P∨Q

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

1 1 0 1 1

0 0 1 0 0

2．请给出公式蕴涵的定义。举一个例子。

答：设G，H是两个公式，如果解释I满足G，I也满足S，称G蕴涵H。

例如：P∧Q蕴涵P。

3．请给出命题∀xG(x)的真值规定。

答：∀xG(x)取1值⇔对任意x∈D，G(x)都取1值；

∀xG(x)取0值⇔有一个x0∈D，使G(x0)取0值。

4．什么是谓词逻辑公式的解释？

答：词逻辑中公式G的一个解释I，是由非空区域D和对G中常量符号，函数符号，谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：

1. 对每个常量符号，指定D中一个元素；

2. 对每个n元函数符号，指定一个函数，即指定D n到D的一个映射；

3. 对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定D n到{0，1}的一个映射。

5叙述谓词逻辑公式G与它的Skolem范式之间的区别与联系。

答：区别：二者之间不一定等价；联系：二者之间恒假性是等价的。

6．什么是图的关联矩阵？

答：设G＝（P，L）是有限图，集合P的元数为m，集合L的元数为n，不妨设P（G）＝{v1，…，v m}，L（G）＝{l1，…，l n}。矩阵M（G）＝[a ij]称为G的关联矩阵，其中

0，当v i不是l j的端点；

a ij=

1，当v i是l j的端点。

显然，M（G）是m×n阶矩阵。

7．什么是简单路？举一例。

答：设G＝（P，L）是图，（v0,v1,…,v n）是G中从v0到v n的路，称此路为简单路，如果

1）v0,…,v n－1互不相同；

2）v1,…,v n互不相同。

8．什么是有向树？举一例。

答：有向图G称为有向树（或有根树），如果G中有一点r，并且满足：

1）G中每一点v(v≠r)都恰是一条弧e的起点。

2）r不是任一条弧的起点。

3）r是根。

9．设G为整数加群，H为5的所有倍数组成的加法群，给出H的所有陪集。

答：5G+1；5G+2；5G+3；5G+4；5G

10. 设Z7={0，1，2，3，4，5，6}，⊕为其上的模7加运算，请给出每个元素的周期。答：0的周期是1，其他元素周期是7.

11．什么是交换环？请举一例。

答：乘法满足交换律的环是交换环，如整数环。

二、判断下列公式是恒真？恒假？可满足？

a) (P→(Q∧R))∧(⌝P→(⌝Q∧⌝R))；

b) P→(P∧(Q→P))；

c) (Q→P)∧(⌝P∧Q)；

d) (⌝P∨⌝Q)→(P↔⌝Q)。

解：（1）设G=(P→(Q∧R))∧(⌝P→(⌝Q∧⌝R))

=(⌝P∨(Q∧R)) ∧(P∨ (⌝Q∧⌝R))

=(((⌝P∨( Q∧R)) ∧P) ∨ ((⌝P∨(Q∧R)) ∧⌝Q∧⌝R)

=((⌝P∧P)∨( P∧Q∧R)) ∨ ((⌝P∨(Q∧R)) ∧⌝Q∧⌝R)

=((⌝P∧P)∨( P∧Q∧R)) ∨ ((⌝P∨Q)∧ (⌝P∨R)∧⌝Q∧⌝R)

=((⌝P∧P)∨( P∧Q∧R)) ∨ (((⌝P∨Q) ∧⌝Q) ∧((⌝P∨R)∧

⌝R))

因此G是可满足的。

（2）设G= P→(P∧(Q→P))

=⌝P∨( P∧(⌝Q∨P))

=⌝P∨ P

=T

因此G是恒真的。

G=(Q→P)∧(⌝P∧Q)

=(⌝Q∨ P) ∧(⌝P∧Q)

=⌝(⌝P∧Q) ∧(⌝P∧Q)

=F