时域有限差分法论文

时域有限差分法

1 选题背景

在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量

学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]

。

经过了近四十年的发展，FDTD 法在计算方法和应用上取得了大量成果。近几年来，讨论FDTD 法的深入发展和实际应用的文章几乎按指数增长，目前FDTD 法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD 法的应用范围越来越广，而FDTD 法本身在应用中又有新的发展.

2 原理分析

2.1 FDTD 的Yee 元胞

E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理

t t ∂∂=∂∂=⨯∇E D H ε t t ∂∂-=∂∂-=⨯∇H

B E μ

图1 Yee 模型

如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]

：

1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。

2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。

3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应(n+0.5)+0.5时刻的电场值，逐步外推。

5）3个空间方向上的时间步长相等，

以保证均匀介质中场量的空间变量与时间变量完全对称。应用这种离散方式，将含时间变量的Maxwell 方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。由电磁问题的初值和边界条件，就可以逐步推进地求解以后各时刻空间电磁场分布。 2.2 Maxwell 方程FDTD 的差分格式

麦克斯韦第一、二方程 ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

⎪⎭⎫

⎝⎛+∂∂-=⨯∇+∂∂=⨯∇m t t J B E J D H （1）

式中，J 时电流密度，反映电损耗，

m

J 是磁流密度，单位2

m V /，反映磁损耗。主要

与上式对应。各向同性介质中的本构关系：

H J

E J H B E D m m

γγμε==== （2）

其中

m γ是磁阻率，计算磁损耗的。

以H E ,为变量，在直角坐标中，展开麦克斯韦第一、二方程，分别为

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z

z x y y y z

x x x

y z E

t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H γεγεγε （3） ⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z

m z x y y m y z

x x m x

y z H

t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E γμγμγμ （4） 令()t ,z ,y ,x f 代表H E,在直角坐标中的任何一个分量，离散符号取为

()()()k ,j ,i f

t n ,z k ,y j ,x i f t z y x f n

=∆∆∆∆=,,, （5）

()t ,z ,y ,x f 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似为

()()[]

()()[]

()()[]

()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎧⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-∆≈∂∂--+∆≈∂∂--+∆≈∂∂--+∆≈∂∂+∆=∆=∆=∆=

k ,j ,i f k ,j ,i f t 1t f k ,j ,i f k ,j ,i f z 1z f k ,j ,i f k ,j ,i f y 1y f k ,j ,i f k ,j ,i f x 1x f 21

-n 21n t n t 2

1n 21n z k z 2

1n

21n y

j y 2

1n

21n x

i x （6） 可以看出，每一节点上沿某一方向场分量的一阶偏微分可以用在该方向上相邻两点的

一阶中心差商来描述，将式(1)用一阶中心差商方程取代，整理后便得到一阶差分方程，

它具有二阶精度[3]

。

Yee 元胞如图1所示，规定为

1）剖分节点与场分量所在棱边中点不同，场分量的位置，即H E,节点是Yee 元胞节点的相对位置，不需要单独编码；

2）当空间存在媒质分界面时，场量自动满足场的连续性条件，

2t

1t 2t 1t H H ,E E ==

电磁分量的取样方式不仅符合法拉第电磁感应定律和安培环路定律的自然结构，也符合麦克斯韦方程的差分计算。其次，时间步长可以取为电磁波传播一个空间步长所需时间的一半，因此E 与H 在时间顺序上交替抽样，时间间隔相差半个时间步长。 2.3 一维问题

均匀平面波（TEM 波）是一维问题，设电磁波沿z 轴方向传播，则00==z z , H E ，

场量和介质参数均与x ，y 无关，即0

y ,0x =∂∂=∂∂，麦克斯韦方程为

y

m y x

x

x

y

H γt H μz E γE t E εz H +∂∂=∂∂-+∂∂=∂∂-

（7）

和

x

m x y y

y x H γt

H μz E γE t

E εz H +∂∂=∂∂-+∂∂=∂∂- （8）

旋转坐标轴后可以只保留一组公式[4]，设保留（7） Yee 元胞如图2所示