数学物理方程-第1章-共47页文档
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本方程都属于数学物理方程的范围。
“一切科学的理论，总是从实践中来，又回到实践中去，
接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。”
力学问题 弦线振动问题
流体运动、弹性体振动、 热传导、电磁作用、
原子核-电子作用、化学反应
偏微分方程 （基本规律）
偏微分方程 求解数学物理方程 （基本规律） 定解问题
2 u ( x ,t ) a 2 2 u ( x ,t ) f( x ,t ),a 2 T /,f( x ,t ) F ( x ,t ) /
t2
x 2
二维波动方程（如薄膜振动）
t2u 2 a2( x2u2 y2u2)f(x,y,t)
三维波动方程（如电磁波、声波的传播）
t2u 2a2( x 2u 2 y 2u 2 z 2u 2)f(x,y,z,t)
在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：
t tT[u(x x,t)u(x,t)]dt
t
x
x
（4）另一方面，在在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：
x x[u(x,t t)u(x,t)]dx
x
t
t
（5）因此，根据冲量定理，得到：
t tT [ u ( x x ,t ) u ( x ,t ) ] d x t x[ u ( x ,t t ) u ( x ,t ) ] dx
由基本假设2可知，co2sco1s1，所以 T(xx)T(x)
因此，弦的张力大小与空间变量x无关 ，可以把弦线的张力T(x)在x轴方 向的分量看成常数Ｔ。
（3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直
方向上的合力为：
T (si2 n si1 )n T [ u (x x x ,t) u (x x ,t)]
数学物理方程
定义: 主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术
科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分 方程、微分积分方程等), 例如 2u(tx2,t)a22u (xx2,t)0
特点: 反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于
空间变量的导数之间的制约关系。
范畴: 连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基
段(x, x+Δx)上的外力为：
xx
F(x,t)dx
x
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
tt xx
F(x,t)dd x t
t
x
于是有： tt tx x x [ 2 u ( tx 2 ,t) T 2 u ( x x 2 ,t) F (x ,t)d ] dx 0 t
进一步由Δt， Δx 的任意性，有下面的弦振动方程（一维波动方程）：
xx
s
1(u)2dx
x
x
由基本假设2可知， ( u ) 2 与1相比可以忽略不计，所以 sx x
因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关
T(x,t) T(x)
（2）由于弦只在x轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即
T ( x x ) co 2 T s ( x ) co 1 0 s
t
x x x
t t
从而有
t t x x
[
tx
2 u (tx 2,t) T 2 u ( x x 2 ,t)]ddx t0
进一步由Δt， Δx 的任意性，有
2 u (tx 2,t)a22 u ( xx 2,t)0 , a2T/
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦
对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：
2u( x, t )
t 2
a2
2u( x, t ) x2
f
( x, t ),
1.19
t 0 : u (x), u (x),
t
1.20
x 0 : u 0,
1.21
x l : u 0.
1.22
要在区域 (0xl,t0)上（见右上图）求上述定解问题的解，就是
u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，
这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为
u (x ,0 )(x ), u (x ,0 )(x ) ( 0 x l) t 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分方 程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
2. 定解条件
弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x, t)所应满足的一 般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因 为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体 的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。
在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即
给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其 长度为 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横 振动，求弦上各点的运动规律。
基本假设：
1. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。
弦可以视为一条曲线，线密度为常数。
2. 弦在某平面内作微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，
弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。
一、波动方程 （双曲型） 2. 初值问题求解
3. 初边值问题求解
课 程 二、热传导方程（抛物型） 概 三、调和方程 （椭圆型） 览 四、二阶方程的分类总结
五、一阶偏微分方程组
七、偏微分方程的数值解
第一章 波动方程
➢ 物理背景：波的传播和弹性体振动。 §1-1 一维波动方程的导出、定解条件
首先，考察下面的物理问题：
预测自然现象变化 （气象预报等）
各种工程设计 （机械强度计算等）
数学物理方程
数学
偏微分方程理论
历史悠久
对象、 内容、
方法
纯粹数学
偏微分 方程理论
多复 样杂
分支
新课题、新方法
自然现象 实际问题
泛函分析 复变函数 微分几何 计算数学
解决问题的工具
数学物理方程
纯粹数学、分支
自然科学、技术科学
1. 方程导出、定解条件
sintan, cos1
3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。
弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形 与张力的关系服从虎克定律。
基本规律： 牛顿第二定律 F=m*a F∆t=m*a* ∆t 冲量定理 F∆t=m*(v1-v2)
用u(x, t)表示弦点在时刻t沿垂直于x轴的位移。
（1）任取一弦段(x, x+Δx)，它的弧长为
“一切科学的理论，总是从实践中来，又回到实践中去，
接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。”
力学问题 弦线振动问题
流体运动、弹性体振动、 热传导、电磁作用、
原子核-电子作用、化学反应
偏微分方程 （基本规律）
偏微分方程 求解数学物理方程 （基本规律） 定解问题
2 u ( x ,t ) a 2 2 u ( x ,t ) f( x ,t ),a 2 T /,f( x ,t ) F ( x ,t ) /
t2
x 2
二维波动方程（如薄膜振动）
t2u 2 a2( x2u2 y2u2)f(x,y,t)
三维波动方程（如电磁波、声波的传播）
t2u 2a2( x 2u 2 y 2u 2 z 2u 2)f(x,y,z,t)
在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：
t tT[u(x x,t)u(x,t)]dt
t
x
x
（4）另一方面，在在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：
x x[u(x,t t)u(x,t)]dx
x
t
t
（5）因此，根据冲量定理，得到：
t tT [ u ( x x ,t ) u ( x ,t ) ] d x t x[ u ( x ,t t ) u ( x ,t ) ] dx
由基本假设2可知，co2sco1s1，所以 T(xx)T(x)
因此，弦的张力大小与空间变量x无关 ，可以把弦线的张力T(x)在x轴方 向的分量看成常数Ｔ。
（3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直
方向上的合力为：
T (si2 n si1 )n T [ u (x x x ,t) u (x x ,t)]
数学物理方程
定义: 主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术
科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分 方程、微分积分方程等), 例如 2u(tx2,t)a22u (xx2,t)0
特点: 反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于
空间变量的导数之间的制约关系。
范畴: 连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基
段(x, x+Δx)上的外力为：
xx
F(x,t)dx
x
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
tt xx
F(x,t)dd x t
t
x
于是有： tt tx x x [ 2 u ( tx 2 ,t) T 2 u ( x x 2 ,t) F (x ,t)d ] dx 0 t
进一步由Δt， Δx 的任意性，有下面的弦振动方程（一维波动方程）：
xx
s
1(u)2dx
x
x
由基本假设2可知， ( u ) 2 与1相比可以忽略不计，所以 sx x
因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关
T(x,t) T(x)
（2）由于弦只在x轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即
T ( x x ) co 2 T s ( x ) co 1 0 s
t
x x x
t t
从而有
t t x x
[
tx
2 u (tx 2,t) T 2 u ( x x 2 ,t)]ddx t0
进一步由Δt， Δx 的任意性，有
2 u (tx 2,t)a22 u ( xx 2,t)0 , a2T/
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦
对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：
2u( x, t )
t 2
a2
2u( x, t ) x2
f
( x, t ),
1.19
t 0 : u (x), u (x),
t
1.20
x 0 : u 0,
1.21
x l : u 0.
1.22
要在区域 (0xl,t0)上（见右上图）求上述定解问题的解，就是
u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，
这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为
u (x ,0 )(x ), u (x ,0 )(x ) ( 0 x l) t 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分方 程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
2. 定解条件
弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x, t)所应满足的一 般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因 为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体 的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。
在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即
给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其 长度为 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横 振动，求弦上各点的运动规律。
基本假设：
1. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。
弦可以视为一条曲线，线密度为常数。
2. 弦在某平面内作微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，
弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。
一、波动方程 （双曲型） 2. 初值问题求解
3. 初边值问题求解
课 程 二、热传导方程（抛物型） 概 三、调和方程 （椭圆型） 览 四、二阶方程的分类总结
五、一阶偏微分方程组
七、偏微分方程的数值解
第一章 波动方程
➢ 物理背景：波的传播和弹性体振动。 §1-1 一维波动方程的导出、定解条件
首先，考察下面的物理问题：
预测自然现象变化 （气象预报等）
各种工程设计 （机械强度计算等）
数学物理方程
数学
偏微分方程理论
历史悠久
对象、 内容、
方法
纯粹数学
偏微分 方程理论
多复 样杂
分支
新课题、新方法
自然现象 实际问题
泛函分析 复变函数 微分几何 计算数学
解决问题的工具
数学物理方程
纯粹数学、分支
自然科学、技术科学
1. 方程导出、定解条件
sintan, cos1
3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。
弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形 与张力的关系服从虎克定律。
基本规律： 牛顿第二定律 F=m*a F∆t=m*a* ∆t 冲量定理 F∆t=m*(v1-v2)
用u(x, t)表示弦点在时刻t沿垂直于x轴的位移。
（1）任取一弦段(x, x+Δx)，它的弧长为