第二章热传导方程习题解答

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初边值问题的分离变量法
Example 2.1
用分离变量法求下列定解问题的解: u = a2 uxx (t > 0, 0 < x < π), t u(0, t) = ux (π, t) = 0 (t > 0), u(x, 0) = f(x) (0 < x < π). 解: 设 u(x, t) = X(x)T(t), 则 T ′ + λa2 T = 0, X ′′ + λX = 0, X(0) = X ′ (π) = 0. ( 1 )2 ⇒ λk = k + , k = 0, 1, 2, . . . 2
用分离变量法求下列定解问题的解: u = a2 uxx (t > 0, 0 < x < π), t u(0, t) = ux (π, t) = 0 (t > 0), u(x, 0) = f(x) (0 < x < π).
齐海涛
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热传导方程及其定解问题的导出
Example 1.1
一均匀细杆直径为 l, 假设它在同一截面上的温度是相同的, 杆的表面和周围 介质发生热交换, 并服从规律 dQ = k1 (u − u1 )dSdt. 假设杆的密度为 ρ， 比热为 c, 热传导系数为 k, 试导出此时温度 u 满足的 方程. 解: 取杆轴为 x 轴, 考察杆位于 [x, x + ∆x]的微段的热量平衡. 单位时间从 侧面流入的热量为 dQ1 = −k1 (u − u1 )πl∆x; 单位时间从 x 处, x + ∆x 处流入的热量为 dQ2 = −k(x) ∂u πl2 (x, t) · , ∂x 4 dQ3 = k(x + ∆x) ∂u πl2 (x + ∆x, t) · , ∂x 4
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热传导方程及其定解问题的导出 初边值问题的分离变量法 柯西问题 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 解的渐近性态 补充练习
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热传导方程及其定解问题的导出
外部介质通过该微元辐射到物体表面的热量为 σf 4 dSdt. 根据热量平衡有 −k 故所求边界条件为 −k ∂u dSdt = σu4 dSdt − σf 4 dSdt. ∂n ∂u = σ(u4 − f 4 ). ∂n
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热传导方程及其定解问题的导出
Example 1.5
设物体表面的绝对温度为 u, 此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩-玻耳兹曼 (Stefan-Boltzmann) 定律正比于 u4 , 即 dQ = σu4 dSdt. 假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导, 又假设物体周围介质的绝 对温度为已知函数 f(x, y, z, t), 求此时该物体热传导问题的边界条件. 解: 考察边界上的面积微元 dS. 在 dt 时间内, 经边界微元流出的热量为 (k 为热传导系数) ∂u −k dSdt. ∂n 由该微元辐射到外部介质的热量为 σu4 dSdt.
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热传导方程及其定解问题的导出
Example 1.3
砼(混泥土)内部储藏着热量, 称为水化热, 在它浇筑后逐渐放出, 放热速度和 它所储藏的水化热成正比. 以 Q(t) 表示它在单位体积中所储的热量, Q0 为 初始时刻所储的热量, 则 ddQ t = −βQ, 其中 β 为正常数. 又假设砼的比热为 c, 密度为 ρ, 热传导系数为 k, 求它在浇筑后温度 u 满足的方程. 解: 设砼内点 (x, y, z) 在时刻 t 的温度为 u(x, y, z, t), 显然 dQ = −βQ, dt Q(0) = Q0 , ⇒ Q(t) = Q0 e−βt .
∞ ∑
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Hale Waihona Puke Baidu
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初边值问题的分离变量法
热传导方程
Heat Equations
齐 海 涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@gmail.com
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热传导方程及其定解问题的导出 初边值问题的分离变量法 柯西问题 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 解的渐近性态 补充练习
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热传导方程及其定解问题的导出
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为 ( ) ∂u πl2 ∂ k(x) · ∆x − k1 (u − u1 )πl∆x. dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x ∂x x∗ 4 综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1 , x2 ] 杆段的热量为 ) ] ∫ t2 ∫ x2 [ ( ∂u πl2 ∂ k(x) − k1 (u − u1 )πl dxdt. ∂x ∂x 4 t1 x1 而在这段时间内 [x1 , x2 ] 杆段内各点温度从 u(x, t1 ) 变到 u(x, t2 ), 其吸收热量 为 ∫ t2 ∫ x2 2 ∫ x2 πl ∂u πl2 cρ dxdt. cρ(u(x, t2 ) − u(x, t1 )) dx = 4 4 ∂t t1 x1 x1 根据热量守恒, 并注意到 x1 , x2 , t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) 1 ∂ ∂u ∂u 4k1 = (u − u 1 ). k(x) − ∂t cρ ∂x ∂x cρl
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初边值问题的分离变量法
u(x, t) = 由初始条件知
∞ ∑ k=0
Ck e−(k+ 2 )
1
2 2
a t
( 1) sin k + x. 2
( 1) Ck sin k + x 2 k=0 ∫ ( 2 π 1) ⇒ Ck = f(ξ) sin k + ξdξ. π 0 2 f(x) =
因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为 ∫ t2 ∫ t2 ∂N div(DgradN)dxdydzdt. D(x, y, z) dSdt = ∂n t1 t1 Ω Γ
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另外, 从时刻 t1 到 t2 , Ω 中该物质的增加为 ∫ [N(x, y, z, t2 ) − N(x, y, z, t1 )]dxdydz =
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Example 1.2
试直接推导扩散过程所满足的微分方程.
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Example 1.2
试直接推导扩散过程所满足的微分方程. 解: 设 N(x, y, z, t) 表示在时刻 t, (x, y, z) 点处扩散物质的浓度, D(x, y, z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为 dm = −D(x, y, z) ∂N dSdt. ∂n
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Example 1.5
设物体表面的绝对温度为 u, 此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩-玻耳兹曼 (Stefan-Boltzmann) 定律正比于 u4 , 即 dQ = σu4 dSdt. 假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导, 又假设物体周围介质的绝 对温度为已知函数 f(x, y, z, t), 求此时该物体热传导问题的边界条件.
热传导方程及其定解问题的导出
Example 1.3
砼(混泥土)内部储藏着热量, 称为水化热, 在它浇筑后逐渐放出, 放热速度和 它所储藏的水化热成正比. 以 Q(t) 表示它在单位体积中所储的热量, Q0 为 初始时刻所储的热量, 则 ddQ t = −βQ, 其中 β 为正常数. 又假设砼的比热为 c, 密度为 ρ, 热传导系数为 k, 求它在浇筑后温度 u 满足的方程.
Example 1.1
一均匀细杆直径为 l, 假设它在同一截面上的温度是相同的, 杆的表面和周围 介质发生热交换, 并服从规律 dQ = k1 (u − u1 )dSdt. 假设杆的密度为 ρ， 比热为 c, 热传导系数为 k, 试导出此时温度 u 满足的 方程.
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Ω Ω t2 t1
∂N dtdxdydz. ∂t
根据质量守恒, 并注意到 Ω, t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) ( ) ( ) ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N = D + D + D . ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
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解: 与第1题类似, 取导线轴为 x 轴, 在时刻 t1 到 t2 介于 [x1 , x2 ] 的导线段 的热量增加为: 从导线的其它部分流入的热量, 从侧面流入的热量以及电流通 过 [x1 , x2 ] 这段产生的热量之和, 即 ( ) ∫ t2 ∫ x 2 ∫ t2 ∫ x 2 ∫ x2 ∫ t2 ∂ ∂u i2 r k ωdxdt − k1 P(u − u0 )dxdt + 0.24 dxdt. ∂x ω t1 x1 ∂x t1 x1 x1 t1 因此根据热量平衡就可得导线温度满足的方程为 ∂u k ∂2 u k1 P 0.24i2 r = − (u − u0 ) + . 2 ∂t cρ ∂x cρω cρω
注意到 t1 , t2 及 Ω 的任意性, 有 [ ( ) ( ) ( )] 1 ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u β ∂u = k + k + k + Q0 e−βt . ∂t cρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z cρ
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Example 1.4
设一均匀的导线处在周围为常数温度 u0 的介质中, 试证: 在常电流作用下导 线的温度满足微分方程 ∂u k ∂2 u k1 P 0.24i2 r = − (u − u0 ) + , 2 ∂t cρ ∂x cρω cρω 其中 i 及 r 分别表示导体的电流及电阻, P 表示横截面的周长, ω 表示横截 面的面积, 而 k1 表示导线对于介质的热交换系数.
易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 Ω 中的热量的增加等于从 Ω 外部流入 Ω 的热量及砼中的水化热之和, 即
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∫
Ω t2
cρ
t1 t2
∫
t1
Ω
=− ∫
Ω t2
t1
Ω
∂u (Q(t1 ) − Q(t2 ))dxdydz+ dtdxdydz = ∂t Ω [ ( ) ( ) ( )] ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u k + k + k dxdydzdt ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∫ t2 dQ dtdxdydz+ dt t1 [ ( ) ( ) ( )] ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u k + k + k dxdydzdt. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
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