工程力学第七章 圆轴的扭转

2、空心轴 取α=d/D，取一微面积dA=2πρdρ 极惯性矩:
Iρ=∫Aρ2dA =∫D/2d/22πρ3dρ =2πρ4/4∣d/2D/2 =π/32（D4-d4） =πD4/32（1-α4） 抗扭截面模量：
WT= Iρ/R=πD3/16（1-α4）
7．2．3圆轴扭转的强度条件
∴ M=60000/2π•Np/n
=9550 Np/n (N•m)
Np—— KW n ——r/min
2、圆轴扭转时的内力——扭矩
用截面法：
在平衡状态下，截面m-m内必有一个内力偶矩MT与外 力偶矩M平衡，我们把这内力偶矩称为扭矩。
且MT=M
为了使轴的各段扭矩方向不
会混乱，用右手螺旋法则来
圆轴扭转的刚性平面假设： ① 圆轴的横截面变形后仍保持平面。 ② 圆轴的横截面变形后，其大小和形 不变，半径仍保持为直线。
2、求应力计算公式 （1）变形几何关系 根据几何关系
γ=cc’/dx=Rdψ/dx=R·dψ/dx 这是圆截面(nn)边缘上c点处的
剪应变（角应变）根据刚性平 γ
得：MT=τρ·Iρ/ρ τρ= MTρ/ Iρ
这就是横截面上距圆心为ρ的任意点的剪应力计算公式
当ρ=R时，剪应力有最大值
τmnx= MTR/ Iρ=MT/ Iρ/R= MT/WT WT叫抗扭截面模量， 单位为（长度单位）3
注意：
（1）本公式只适用于等直圆杆（变截面 杆要分段计算）
第七章 圆轴的扭转
7.1扭转的概念 扭转的外力和内力
7.1.1扭转的概念
扭转变形：杆件的两端作用两个大小相 等，方向相反，且作用平面垂直于杆件 轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截 面都发生绕杆件轴线的相对转动的变形 称为扭转变形。
扭转变形的受力特点 扭转变形的变形特点
γ
φ
7．1．2外力偶矩 扭矩和扭矩图
面假设，用同样方法可求出距 圆心为ρ的e处的剪应变为：
γρ=ρ·dψ/dx 这两式中dψ/dx为常数。 扭转变形横截面的剪应变的变化规律: ①正比横。截面上任意点的剪应变γρ与该点到圆心的距离ρ成 ②轴心处剪应变为零，圆轴表面剪应变γ最大，而所有
距圆心等距离的点，剪应变都相等。
③ 剪应变发生在垂直于半径的平面内。
解：（1）外力偶矩的计算。
作用在A,B,C轮上的外力偶矩分别为：
MA=9550NA/n=9550•4/500
=76.4N•m
MB=9550NB/n=9550•10/500
=191N•m
MC=9550NC/n=9550•6/500
=114.6 N•m
（2）扭矩计算
1——1截面，取左段列平衡方程
1、外力偶矩的计算
用输入功率和轴的转速求外力偶矩
已知：AB轴的输入功率为Np(KW)
AB轴的转速为n（r/min）
则AB轴每分钟获得的输入功率为：
A=Np×1000×60(N.m)
AB轴由外力偶M在每分钟内做的功为：
A=2πn M(N.m)
∵ 这两种功相等。
∴Np×1000×60=2πn M
将τρ=Gρ·dψ/dx代入MT =∫Aρ·τρ·dA
得：MT =∫AGρ2dψ/dx·dA=G dψ/dx∫Aρ2dA
∫IAρ叫ρ2d极A惯只性与矩截，面单的位形为状（、长大度小单有位关）的4几何量，用Iρ表示，
∴MT =Gρ·dψ/dx·Iρ
把dψ/dx=τρ/ Gρ代入MT =Gρ·dψ/dx·Iρ
（2）公式只适用于τmnx不超出材料的剪 切比例极限τp的情况
7．2．2圆截面的极惯性矩和抗扭截面模 量
1、实心轴
距圆心ρ处，取一微面积
dA=2πρdρ
∵极惯性矩Iρ=∫Aρ2dA
∴Iρ=∫Aρ22πρdρ
=2πρ4/4∣0D/2
Iρ=πD4/32
抗扭截面模量：WT= Iρ/R=πD3/16
确定扭矩MT的正负号。 以右手的四指表示扭矩的
方向，拇指的方向离开截面，
扭矩为正，反之为负。
Fra Baidu bibliotek 3、扭矩图
画法与轴力图一样。
例题：如图所示传动轴，其转速n=500rpm(r/min)，B 轮输出为功主率动分轮别，为其N输A=入1的0K功W率, NNCB==1100KKWW试，计A,算C为轴从的动扭轮矩，。
（2）变形的物理关系 扭转变形与应力的关系： ① 横截面上沿半径方向无剪应力作用。
② 横截面上 无正应力作用。
③ 与半径垂直方向有剪应力存在。
τρ=Gγρ——剪切虎克定律 将γρ=ρ·dψ/dx代入τρ=Gγρ 得τρ=Gρ·dψ/dx
τρ=Gρ·dψ/dx
扭转变形横截面的剪应力的变化规律：
①横截面上任意点处的剪应力τρ与该点到圆心 的距成正比。
②边缘处的剪应力最大，轴心处的剪应力为零。
③距轴心等距离处的剪应力相等。
④同一截面各点处的剪应力从轴心到边缘按直 线规律变化。
（3）静力平衡关系
取距圆心为ρ的微面积dA
则Fρ=τρ·dA 横截面的内力偶矩：
MT=∫Aρ·Fρ=∫Aρ·τρ·dA
得
dψ= MT/ G Iρ·dx
沿轴线积分得： ψ=∫0L dψ=∫0L MT/ G Iρ·dx
①若两截面之间MT保持不变，而且轴为等直杆
ψ=MTl/ G Iρ(red)（注意各单位要一致）
②若两截面之间MT的值是变化的或轴的截面是 变化的，则应分段计算各段的扭转角，然后相
加求代数和。
例 题 ： 一 传 动 轴 ， 已 知 ， M1=640N.m,M2=840N.m,M3=200N.m,轴材料的剪切弹 性模量G=80GPa，试求截面C相对于截面A的扭转角。
等直圆轴扭转的强度条件
τmnx= MTmnx /WT≤[τ]
一般：
塑性材料[τ] =(0.5∽0.6) [σ]
脆性材料 [τ] =( 0.8 ∽1.0) [σ]
[σ]为材料的拉伸许用应力
7．3圆轴扭转的变形及刚度条
7．3．1圆轴扭转的变形
计算相对转角
根据
MT =G Iρ·dψ/dx
ΣMx=0 MA- M1=0 ∴ M1= MA=76.4 N•m 2——2截面，取右段列平衡方程
ΣMx=0 MC+M2=0 ∴ M1=- MC=-114.6 N•m （3）画扭矩图
7.2圆轴扭转时横截面上的应力及强度条 件
7．2．1圆轴扭转时横截面上的应力 1、圆轴扭转变形的情况分析